普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
不定积分基础
第三章 不定积分 · 第 10 次课（教学进度表第 12 节 · 2 学时）
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
高等数学 C · 授课对象：医学生 · 2 学时
$\int f(x)dx=F(x)+C$ · 原函数族整体上下平移 · 连续必有原函数 · 基本积分表 · 直接积分法 · 常数 C 不能漏 · $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$
💭 上课之前 · 请想一想
🔁
加法有减法、乘法有除法，那么求导的逆运算是什么？
已知路程求速度，是求导；反过来，已知速度求路程，该怎么做？这正是本课要建立的新运算——积分。它把"求变化率"这件事倒过来做：从变化率还原出原来的函数。
➕
如果两个函数的导数完全相同，这两个函数一定相同吗？
不一定。$x^2$、$x^2+1$、$x^2-5$ 的导数都是 $2x$——它们的图像只是上下平移了不同的距离。所以"逆运算"的结果天然是一整族函数，而不是一个函数。这个族的记号，就是那个必须写上的常数 $C$。
✦ 带着这两个问题，进入今天的主角 ✦
🤔 已知 $F'(x)=f(x)$，能不能把 $F(x)$ 找回来？
能，但找回的是一整族函数——它们彼此只差一个常数
🔄积分是求导的逆运算，符号 $\int$ 与 $\mathrm{d}$ 一相遇就"抵消"
🎯$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$，常数 $C$ 一个都不能漏
🏔️连续函数必有原函数（存在性定理），但原函数不一定能写成初等形式
📋把导数公式表"倒过来读"，就是基本积分表
🧩直接积分法：拆项、配方、恒等变形，拆成表里的样子再套表
先看一段动态演示：同一族原函数 $F(x)=x^2+C$ 的曲线。拖动滑块改变 $C$，可以看到整条曲线上下平移——而每一条曲线在同一个 $x$ 处的切线斜率都完全相同。
微积分有两只手：一只手把函数"切开"看它的瞬时变化率；另一只手把变化率"接回来"，还原出原来的函数。
—— 求导与积分，互为逆运算
🧭
从"求变化率"到"求累积量"
积分的思想与微分几乎同时萌芽
但"如何把它算出来"花了很久，直到基本定理把两条路接通
📖 两条路：切分与还原
微积分的历史上，其实存在两条彼此独立的思路。一条是微分的思路：把一段变化切得无限细，看某一点上的瞬时变化率——它能回答"此刻有多快"。另一条是积分的思路：把无数个微小的部分累加起来，求总面积、总药量、总路程——它能回答"一共累积了多少"。
本课处理的 不定积分，走的是第二条路的最初形态：不求和，而是求逆。既然求导把 $F(x)$ 变成了 $F'(x)$，那么给定 $F'(x)$，能不能把它"还原"回去？答案是能，而且还原的结果天然带着一个不确定的常数。
🔄 逆运算积分是求导的逆运算，两者互相"撤销"
👪 函数族结果不是一个函数，而是一族只差常数的函数
📋 可查表把导数公式表倒过来读，就得到基本积分表
🧩 靠变形能直接查表的积分不多，多数要先做恒等变形
🌍 为什么"逆运算"总是丢信息
求导会丢掉常数项：$x^2+1$ 与 $x^2-5$ 的导数都是 $2x$。从数学上说，这是因为求导是一种"差分再取极限"的操作——它只关心函数怎么变，完全不关心函数从哪开始。
丢掉的信息能不能补回来？只靠导数补不回来，必须再给一个条件。医学上这类条件比比皆是：给药开始时体内药量为零、滴注开始时血药浓度为零、初始时刻的浓度已知。给出一个初始条件，就能把常数 $C$ 定下来，函数族随即收缩成唯一的一条曲线。这也是后面"微分方程"的全部起点。
上一次课我们学会了"看变化率"：给定函数，求它的导数。这一课我们掉过头来：给定导数，把原来的函数找回来。
记住一句话——找回来的不是一个函数，而是一整族只在纵向平移上不同的函数。
💡 学这一课之前
第 8、9 次课我们把"求导"练熟了：给定 $y=f(x)$，能算出 $f'(x)$，并用它判断单调性、求极值、解最优化问题。但实际工作中经常遇到的是反过来的问题：已知一个量随时间的变化快慢（也就是它的导数），要问它本身随时间怎么变。比如"已知药物消除的速率，问体内药量还剩多少"。这就是不定积分要解决的问题。
🔗
一、本课在整门课里的位置
前一条主线（第 4 至第 9 次课）是微分学：极限 → 导数 → 微分 → 导数的应用。从这一课开始，我们进入第二条主线积分学：不定积分 → 不定积分的计算（换元、分部）→ 定积分 → 定积分的应用。而把两条主线真正缝合在一起的，是后面要学的微积分基本定理；本课要做的，是把这条主线的地基打牢。
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二、为什么医学生必须学它
医学里"由速率还原总量"是每天的功课：已知恒速滴注的给药速率，求体内累积的药量；已知肌酐的消除速率，估算肾功能；已知血流速度沿血管截面的分布，求血流量。这些问题的共同结构是——速率已知，总量待求。不定积分就是处理这个结构的标准工具。
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三、本课的四条主线
①定义：原函数与不定积分，为什么结果里必须带常数 $C$；②存在性：连续函数必有原函数，有第一类间断点的函数则没有；③工具：基本积分表——它是导数公式表的"倒读版"，以及三条基本性质；④方法：直接积分法，靠拆项、配方、三角恒等变形把被积函数变成表里的样子。每条主线都配一个可以拖动验证的交互演示。
✦ 上一次课问"变化有多快"，这一课问"总共变了多少" ✦
10.1 数学文化 · 逆着算回去
把一个运算"倒过来做"，是数学里最常见的创造方式：减法由加法倒推，开方由平方倒推。求导的倒推，就是积分。
🕰️ 一次"倒着算"带来的新麻烦
| 运算 | 正向 | 倒过来 | 倒推带来的新问题 |
|---|
| 加法 | $3+5=8$ | 减法：$8-5=3$ | 没有新问题，结果唯一 |
| 乘法 | $3\times5=15$ | 除法：$15\div5=3$ | 要考虑除数能否为零 |
| 乘方 | $3^2=9$ | 开方：$\sqrt{9}=3$ | 一个平方对应两个平方根，结果不唯一 |
| 求导 | $F(x)\mapsto F'(x)$ | 积分：由 $F'$ 求 $F$ | 常数被丢掉了，结果是一族函数，必须补上 $C$ |
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🌍 为什么"倒推"的结果总要多带一个东西
对比一下就清楚了。开方之所以有两个结果，是因为平方这个运算不是一对一的：$3$ 和 $-3$ 都平方得 $9$，信息在正向运算中就已经合并了。求导也一样：$x^2$、$x^2+1$、$x^2-100$ 求导之后全变成 $2x$，常数项的信息在求导时被彻底抹掉。
这带来一个重要的认识：逆运算的解通常是一个"集合"，而不是一个数或一个函数。要把它变成唯一的答案，就必须额外补充信息。开方时我们补充"取算术平方根"这条约定；积分时我们补充"初始时刻的值是多少"这条实际条件。
🔬 一个必须记住的结论：若两个函数的导数在某个区间上处处相等，则它们在这个区间上只相差一个常数。这条结论（由拉格朗日中值定理推出）是不定积分记号里那个 $+C$ 的全部依据，也是本课 10.2 节的起点。
📌 为什么这件事在医学上格外重要：临床上我们常常只能测到"变化速率"这种量（滴注速度、消除速率、血流剪切率），而真正关心的是"总量"（累积药量、剩余药量、血流量）。从速率还原总量，数学上就是求原函数；而"总量到底从多少开始算"，只能靠初始条件来定——这就是常数 $C$ 的医学含义。
10.2 原函数与不定积分
这一节只做两件事：把"原函数"定义清楚，把"不定积分"这个记号写清楚。看上去简单，但考试里丢分最多的地方恰在这里——漏写常数 $C$。
✏️ 定义一 · 原函数
设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。如果存在函数 $F(x)$，使得对区间 $I$ 上的每一点 $x$ 都有
$$F'(x)=f(x)\quad \text{或}\quad \mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x$$
则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，$f(x)$ 称为被积函数。
💡 定义的关键词是"一个"：只要找到一个满足 $F'=f$ 的函数，它就是一个原函数。原函数从来不唯一——这正是下面必须引入常数 $C$ 的原因。
🔁 原函数族定理：相差一个常数
$$\text{若}\ F'(x)=G'(x)\ \text{在区间}\ I\ \text{上处处成立},\ \text{则}\ F(x)-G(x)\equiv C\ (\text{常数})$$
这条结论说明：同一函数的任意两个原函数之间，只相差一个常数。于是只要知道一个原函数 $F(x)$，全部原函数就都知道了——它们就是 $F(x)+C$（$C$ 取遍一切常数）。
⚠️ 注意前提是"在区间上"：这条结论要求 $I$ 是一个区间（连成一片）。如果定义域是分成几段的不连通集合，不同段上的常数可以各不相同——这一点在 10.3 节讲 $\ln|x|$ 时还要用到。
✏️ 定义二 · 不定积分
在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的全体原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记作 $\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x$，其中 $\int$ 叫积分号，$f(x)$ 叫被积函数，$x$ 叫积分变量。于是有
$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C\qquad (\text{其中 }F'(x)=f(x),\ C\ \text{为任意常数})$$
这里的 $C$ 称为积分常数。请把这句话当成一条纪律：不定积分的结果必须带 $C$。
① 从"族"的角度看 $C$
$\int 2x\,\mathrm{d}x=x^2+C$。取 $C=0,1,-5$，得到三条曲线。这三条曲线是纵向平移的关系：在任何同一个横坐标处，它们上升的快慢完全相同。也就是说，"导数只知道形状的陡缓，不知道高度的基准"。
② 从"验算"的角度看 $C$
要检验 $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$ 是否正确，唯一的办法是求导回代：把右边的 $F(x)+C$ 求导，看是否等于 $f(x)$。注意常数 $C$ 求导为 0，所以求导验算无法检验 $C$ 是否正确——$C$ 的正确性只能由初始条件决定，不能由求导检验。这是初学最容易混淆的一点。
③ 漏写 $C$ 为什么算错
因为漏写 $C$ 等于把一个函数族写成了一个函数。反例最容易构造：若认为 $\int 2x\,\mathrm{d}x=x^2$，那就等于断言"所有导数等于 $2x$ 的函数只有 $x^2$"。但 $x^2+1$ 的导数也是 $2x$，矛盾。漏写 $C$，是把无限多条曲线当成了一条。
④ 记号里的 $dx$ 有什么用
$\mathrm{d}x$ 指明积分变量是 $x$，别的字母都当常数。所以 $\int a x\,\mathrm{d}x=\dfrac{a x^2}{2}+C$（$a$ 是常数），而 $\int a t\,\mathrm{d}t=\dfrac{a t^2}{2}+C$。它也保证了"积分号与微分号能配成一对"：$\mathrm{d}\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)=f(x)\mathrm{d}x$，写成导数形式就是 $\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)'=f(x)$。
⑤ 一个容易搞混的区别
"$F$ 是 $f$ 的原函数"与"$f$ 是 $F$ 的导数"是同一句话的两种说法。所以做题时不要问"哪一个是原函数"，而要想"谁求导之后是谁"。方向搞反，后面所有的表都会背错。
🏔️ 存在性定理：什么样的函数才有原函数
$$\text{若}\ f(x)\ \text{在区间}\ I\ \text{上连续},\ \text{则}\ f(x)\ \text{在}\ I\ \text{上必有原函数}$$
这条定理只保证存在，不给表达式。它有两层重要含义。
✅ 连续性 ⟹ 有原函数
连续是原函数存在的充分条件。初等函数在其定义区间内连续，所以在定义区间上总能积分——这一点让人放心。
⚠️ 有原函数 ⟹ 连续？不一定
"连续"不是必要条件。一个函数可以在某些点不可导甚至间断（第二类），却仍然有原函数。所以不要把"有原函数"与"连续"直接划等号。
🚫 有第一类间断点 ⟹ 没有原函数
如果 $f$ 在区间内某点有第一类间断点（可去或跳跃），那么 $f$ 在该区间上没有原函数。因为导数具有介值性质，不可能出现可以"取到"的断口。
🔍 这条结论怎么用
题目问"下列函数在 $[-1,1]$ 上是否有原函数"，先找有没有第一类间断点：符号函数 $\operatorname{sgn}x$ 在 $0$ 处是跳跃间断，没有原函数；而 $\dfrac{\sin x}{x}$（补充定义 $f(0)=0$ 后）在 $0$ 处是可去间断，同样没有原函数。
⚠️ 必须分清两件事：有原函数 ≠ 原函数能写成初等形式。例如 $e^{-x^2}$、$\dfrac{\sin x}{x}$、$\dfrac{1}{\ln x}$ 在其定义区间上都是连续的，因此都有原函数；但它们的原函数无法用有限个初等函数表示出来。医学统计与概率里大量出现的正是这类积分，实际计算只能靠数值方法。"存在"是理论保证，"算得出"是另一回事。
🧮 一类特殊的原函数问题：已知切线斜率求曲线
因为 $F'(x_0)$ 就是曲线 $y=F(x)$ 在 $x_0$ 处切线的斜率，"求原函数"在几何上就是"已知每一点的切线斜率，求曲线"。给一个附加条件（曲线过某点），就能从曲线族中挑出唯一一条。
例 1 · 曲线过定点
已知曲线 $y=F(x)$ 上任一点处的切线斜率都等于 $2x$，且曲线过点 $(1,3)$。由 $\int 2x\,\mathrm{d}x=x^2+C$ 得 $F(x)=x^2+C$；代入 $F(1)=3$：$1+C=3$，得 $C=2$。所以 $F(x)=x^2+2$。求导验算：$(x^2+2)'=2x$，正好是被积函数。
例 2 · 已知加速度求位置
若某质点运动的加速度恒为 $a(t)=2\ \text{m/s}^2$，初速度 $v(0)=0$，初位置 $s(0)=0$，则 $v(t)=\int 2\,\mathrm{d}t=2t+C_1$，由 $v(0)=0$ 得 $C_1=0$；再积分 $s(t)=\int 2t\,\mathrm{d}t=t^2+C_2$，由 $s(0)=0$ 得 $C_2=0$，于是 $s(t)=t^2$。注意这里连续用了两次积分，每次都会产生一个常数，两个常数要各自由条件确定。
10.3 基本积分表 · 本课重点
积分表不是一串要死记的公式，而是导数公式表的倒读版。每一条都能在上一章找到出处：把导数公式左边右边交换，就得到一条积分公式。
📋 基本积分表（与导数公式对照）
| # | 积分公式 | 它的来源（导数公式） | 要点提醒 |
|---|
| 1 | $\displaystyle\int k\,\mathrm{d}x=kx+C$ | $(kx)'=k$ | $k$ 为常数 |
| 2 | $\displaystyle\int x^a\mathrm{d}x=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C\ (a\neq-1)$ | $\left(\dfrac{x^{a+1}}{a+1}\right)'=x^a$ | 指数加 1 再除新指数；$a=-1$ 时失效，见第 3 条 |
| 3 | $\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C$ | $(\ln|x|)'=\dfrac{1}{x}$ | ★ 必须带绝对值，不能写成 $\ln x$ |
| 4 | $\displaystyle\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$ | $(e^x)'=e^x$ | 唯一"求导不变"的函数 |
| 5 | $\displaystyle\int a^x\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\ (a\gt0,\ a\neq1)$ | $\left(\dfrac{a^x}{\ln a}\right)'=a^x$ | 除以 $\ln a$，最容易漏的一个系数 |
| 6 | $\displaystyle\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C$ | $(-\cos x)'=\sin x$ | 负号不能丢 |
| 7 | $\displaystyle\int\cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+C$ | $(\sin x)'=\cos x$ | 不带负号，与第 6 条对照记 |
| 8 | $\displaystyle\int\sec^2x\,\mathrm{d}x=\tan x+C$ | $(\tan x)'=\sec^2x$ | 另一个写法：$\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^2x}$ |
| 9 | $\displaystyle\int\csc^2x\,\mathrm{d}x=-\cot x+C$ | $(-\cot x)'=\csc^2x$ | 同样带负号 |
| 10 | $\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C$ | $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$ | 分母是"$1+x^2$"，配 $\arctan$ |
| 11 | $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C$ | $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | 分母带根号，配 $\arcsin$ |
| 12 | $\displaystyle\int\sec x\tan x\,\mathrm{d}x=\sec x+C$ | $(\sec x)'=\sec x\tan x$ | 成对出现，"配对记" |
| 13 | $\displaystyle\int\csc x\cot x\,\mathrm{d}x=-\csc x+C$ | $(-\csc x)'=\csc x\cot x$ | 带负号 |
| 14 | $\displaystyle\int\mathrm{d}x=x+C$ | $(x)'=1$ | 第 1 条中 $k=1$ 的特例 |
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🧠 怎么记才不会混
🔄 倒读法
把导数表 $F'\to f$ 从右往左读。例如 $(\sin x)'=\cos x$ 倒读得 $\int\cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+C$。凡是记不清的积分公式，都回到导数表去找。
➕ 指数法
幂函数积分只有一个套路：指数加 1，再除以加 1 以后的指数。$\int x^2\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}+C$、$\int\sqrt x\,\mathrm{d}x=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C$。
⚠️ 唯一的例外
$a=-1$ 时"加 1 后除"会让分母为 0，公式失效。此时原函数不再是幂函数，而是对数函数 $\ln|x|$——这是全表里唯一"跳出幂函数家族"的一条。
✅ 验算法
任何一条都只需一秒验算：把右边求导，看能否得到左边的被积函数。$\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)'=\frac{a^x\ln a}{\ln a}=a^x$，对上了——这比反复背诵可靠。
★ 红线精讲：为什么 $\ln|x|$ 的绝对值不能省
$\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C$ 里的绝对值，不是"写着好看"，而是必须写。理由分三层。
① 定义域的问题：$\ln x$ 在负半轴根本没有定义
$\dfrac{1}{x}$ 的定义域是 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$；而 $\ln x$ 只在 $(0,+\infty)$ 上有定义。如果写成 $\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln x+C$，那么当 $x\lt0$ 时右边根本没有意义——用定义域更小的函数去表示范围更大的积分，逻辑上就错了。$\ln|x|$ 在正、负半轴都有定义，正好与 $\frac1x$ 的定义域相匹配。
② 导数的问题：$\ln|x|$ 在两侧的导数都等于 $\frac1x$
分情况求导：当 $x\gt0$ 时 $|x|=x$，$\ln|x|=\ln x$，导数为 $\dfrac1x$；当 $x\lt0$ 时 $|x|=-x$，$\ln|x|=\ln(-x)$，用复合函数求导：$\dfrac{1}{-x}\cdot(-1)=\dfrac1x$。两侧结果都等于 $\dfrac1x$，所以 $\ln|x|$ 在整个定义域上都是 $\frac1x$ 的原函数。而 $\ln x$ 只覆盖了一半。
③ 常数的问题：两个区间上的常数可以不同
因为 $\dfrac1x$ 的定义域分成互不相连的两段，10.2 节那条"相差一个常数"的结论只能逐段成立。所以最一般的原函数其实是
$$F(x)=\begin{cases}\ln x+C_1, & x\gt0 \\ \ln(-x)+C_2, & x\lt0\end{cases}$$
其中 $C_1$ 与 $C_2$ 可以取不同的常数。平时写成 $\ln|x|+C$ 是取 $C_1=C_2=C$ 的常用形式，够用，但要知道它并不是"最一般"的写法。
④ 一个实用的记忆办法
凡是幂函数公式失效（指数为 $-1$）的位置，都改用对数：$\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C$；推广一步，$\displaystyle\int\dfrac{1}{ax+b}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|+C$（$a\neq0$），绝对值同样不能丢。
⑤ 与第 2 条公式的分界线
$\displaystyle\int x^{-1}\mathrm{d}x$ 与 $\displaystyle\int x^{-2}\mathrm{d}x$ 走的是两条完全不同的路：后者用幂函数公式得 $-\dfrac1x+C$；前者只能用对数得 $\ln|x|+C$。做题时看到指数是 $-1$，立刻切换公式，这是最常见的一处失分点。
10.4 不定积分的性质与直接积分法
积分表给了"零件"，这一节给出"装配线"：先用线性性质把被积函数拆开，再用恒等变形把它改造成表里的样子。
⭐ 两条最基本的性质
$$\int\left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]\mathrm{d}x=\alpha\int f(x)\mathrm{d}x+\beta\int g(x)\mathrm{d}x$$
这就是线性性：常数可以自由进出积分号，和差可以拆成两个积分。要注意的是，乘法与除法没有对应的简单性质——$\int f\cdot g\,\mathrm{d}x$ 一般不等于 $\int f\mathrm{d}x\cdot\int g\mathrm{d}x$。这一点是初学者最容易臆造出来的错误公式。
$$\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)'=f(x),\qquad \int f'(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$$
这两条合起来说明：求导与积分互为逆运算。但要留意两条式子的写法差别：先积后导，常数 $C$ 被"导掉"了，所以结果里没有 $C$；先导后积，常数 $C$ 还在，所以必须补上。下面这张图把这条互逆链路画了出来。
⚠️ 积分号与微分号相消时，别把 $C$ 弄丢：$\mathrm{d}\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)=f(x)\mathrm{d}x$（微分形式）与 $\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)'=f(x)$ 都不含 $C$，因为它们做的是"先积后导"；而 $\int F'(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$ 做的是"先导后积"，必须有 $C$。记法：谁最后落在"积分"上，谁就要带 $C$。
🧩 直接积分法：三步走
"直接积分法"并不是"一步查表"，而是"先变形，再查表"。标准动作只有三步。
| 步骤 | 做什么 | 常见手法 |
|---|
| 第一步 | 看被积函数能否直接对应表中某一条 | 能就直接写，别多此一举 |
| 第二步 | 不能直接套表时，做恒等变形 | 拆项（除式拆成几项）、展开（乘积展开）、配方、三角恒等变形、分子加一项减一项 |
| 第三步 | 对每一项套表积分，最后合并并记一个 $C$ | 每一项不必各写一个常数，合并成一个即可 |
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① 线性性为什么成立
因为求导本身是线性的：$(\alpha F+\beta G)'=\alpha F'+\beta G'$。把这条性质倒过来读，就得到积分号可以逐项分配。例如 $\displaystyle\int\left(2x+3\cos x\right)\mathrm{d}x=2\int x\,\mathrm{d}x+3\int\cos x\,\mathrm{d}x=x^2+3\sin x+C$。验算：$(x^2+3\sin x)'=2x+3\cos x$，与原被积函数一致。整个式子最后只写一个常数 $C$ 就够了——两个积分各自带一个常数，合并起来仍然只是一个任意常数。
② 乘法没有对应的简单性质
有人会想当然地写成 $\int f(x)g(x)\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\cdot\int g(x)\mathrm{d}x$，这是错的。反例：取 $f(x)=g(x)=1$，左边是 $\int1\,\mathrm{d}x=x+C$，右边是 $x\cdot x=x^2$，两者不相等（连"相差一个常数"都不满足）。所以在积分号内部必须先把被积函数合成一个整体，再想办法变形查表。
③ 先积后导：为什么结果里没有 $C$
$\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)'=f(x)$。因为 $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$，而 $(F(x)+C)'=F'(x)=f(x)$——常数被求导消掉了。记忆要点："先积后导"的最后一步是求导，常数活不下来，所以结果里不出现 $C$。
④ 先导后积：为什么必须有 $C$
$\int F'(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$。因为被积函数是 $F'(x)$，而积分是"求全体原函数"的操作，$F'(x)$ 的全体原函数正是 $F(x)+C$ 这一族，所以必须把 $C$ 写出来。记忆要点："先导后积"的最后一步是积分，常数在这一步才出现，所以必须带上。
⑤ 两条性质合起来说明什么
把 $\left(\int f\mathrm{d}x\right)'=f$ 与 $\int f'\mathrm{d}x=f+C$ 并排看，就得到一句话：求导与积分互为逆运算，来回走一趟只多出一个任意常数。这也解释了为什么"已知速度求路程"时总要再给一个初始条件——逆运算本身丢掉了那个常数，只有初始条件能把它找回来。
⑥ 常见误用清单
错误一：$\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{x^2}+C$——那是 $x^{-1}$ 的导数，不是它的积分；积分应当用对数公式。错误二：把和式拆开时漏掉某一项（$\int\left(x^2+2+\frac1x\right)\mathrm{d}x$ 丢掉 $\ln|x|$）。错误三：认为乘积可以分别积分再相乘（见第 ② 条的反例）。错误四：在"先积后导"的等式右边又补上 $C$，把 $\left(\int f\mathrm{d}x\right)'=f(x)$ 写成 $=f(x)+C$。
📝 六个必会例题（结论均已求导回代验算）
例 3 · 幂函数基本型
$\displaystyle\int\left(5x^4-3x^2+2\right)\mathrm{d}x=5\cdot\dfrac{x^5}{5}-3\cdot\dfrac{x^3}{3}+2x+C=x^5-x^3+2x+C$。验算：$(x^5-x^3+2x)'=5x^4-3x^2+2$，与原被积函数一致。
例 4 · 拆项（除式）
$\displaystyle\int\dfrac{x^3+2x+1}{x}\mathrm{d}x=\int\left(x^2+2+\dfrac1x\right)\mathrm{d}x=\dfrac{x^3}{3}+2x+\ln|x|+C$。要点：先把分式拆成三项，其中第三项必须用对数公式且带绝对值。验算：$\left(\dfrac{x^3}{3}+2x+\ln|x|\right)'=x^2+2+\dfrac1x=\dfrac{x^3+2x+1}{x}$。
例 5 · 展开（乘积）
$\displaystyle\int(x+1)^2\mathrm{d}x=\int\left(x^2+2x+1\right)\mathrm{d}x=\dfrac{x^3}{3}+x^2+x+C$。要点：先把括号展开再逐项积分，不能对 $x+1$ 直接套幂函数公式。验算：$\left(\dfrac{x^3}{3}+x^2+x\right)'=x^2+2x+1=(x+1)^2$。
例 6 · 指数函数
$\displaystyle\int\left(3e^x-\dfrac{2^x}{\ln 2}\right)\mathrm{d}x=3e^x-\dfrac{2^x}{(\ln 2)^2}+C$。要点：两项分开积：$\int 3e^x\mathrm{d}x=3e^x$；而 $\int\dfrac{2^x}{\ln2}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{\ln2}\int2^x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{\ln2}\cdot\dfrac{2^x}{\ln2}=\dfrac{2^x}{(\ln2)^2}$，所以结果为 $3e^x-\dfrac{2^x}{(\ln2)^2}+C$。验算：$\left(\dfrac{2^x}{(\ln2)^2}\right)'=\dfrac{2^x\ln2}{(\ln2)^2}=\dfrac{2^x}{\ln2}$，恰好是被积函数的第二项；$(3e^x)'=3e^x$ 恰好是第一项。
例 7 · 三角恒等变形（降幂）
$\displaystyle\int\cos^2x\,\mathrm{d}x=\int\dfrac{1+\cos 2x}{2}\mathrm{d}x=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}+C$。要点：$\cos^2x$ 不能直接查表，要用降幂公式 $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$ 变成常数加三角函数。验算：$\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin2x}{4}\right)'=\dfrac12+\dfrac{2\cos2x}{4}=\dfrac{1+\cos2x}{2}=\cos^2x$。
例 8 · 配方后套反正切
$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+2x+5}\mathrm{d}x$：先配方 $x^2+2x+5=(x+1)^2+4=4\left[1+\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^2\right]$。于是原式 $=\dfrac14\int\dfrac{\mathrm{d}x}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}=\dfrac14\cdot2\arctan\dfrac{x+1}{2}+C=\dfrac12\arctan\dfrac{x+1}{2}+C$。验算：$\left(\dfrac12\arctan\dfrac{x+1}{2}\right)'=\dfrac12\cdot\dfrac{1}{1+\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}\cdot\dfrac12=\dfrac{1}{(x+1)^2+4}=\dfrac{1}{x^2+2x+5}$，与原被积函数一致。
🔍 直接积分法的边界：能靠"拆项、展开、配方、三角变形"解决的积分其实只占一小部分。像 $\displaystyle\int xe^x\mathrm{d}x$、$\displaystyle\int\ln x\,\mathrm{d}x$、$\displaystyle\int\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x$ 这类，无论怎么变形都套不进基本表——下一次课要学的换元法与分部积分法，正是为它们准备的。本课的任务是先把手上的表用熟，并用求导验算把每一道题都锁死。
10.5 五个高频错误 · 以及唯一的裁判：求导验算
不定积分这一章的错题有一个共同特征：错误都能在一秒内被发现——只要养成求导回代的习惯。
⚠️ 五个高频错误逐条对照
| 错误写法 | 错在哪 | 正确写法 | 一句话记法 |
|---|
| $\int 2x\,\mathrm{d}x=x^2$ | 漏了积分常数 | $\int 2x\,\mathrm{d}x=x^2+C$ | 结果是一族，不是一个 |
| $\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln x+C$ | 漏了绝对值，负半轴无定义 | $\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C$ | 分母是 $x$ 就带竖线 |
| $\int 2^x\mathrm{d}x=2^x+C$ | 漏了系数 $\dfrac{1}{\ln2}$ | $\int2^x\mathrm{d}x=\dfrac{2^x}{\ln2}+C$ | 底数不是 $e$ 就除对数 |
| $\int\sin x\,\mathrm{d}x=\cos x+C$ | 符号错，反了 | $\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C$ | 正弦积分带负号 |
| $\int x^{-1}\mathrm{d}x=\dfrac{x^0}{0}+C$ | 用了失效的幂函数公式 | $\int x^{-1}\mathrm{d}x=\ln|x|+C$ | 指数是 $-1$ 就换公式 |
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🧪 求导验算：三步锁死一道积分题
第一步 · 写出候选原函数
把你算出的结果写成 $F(x)$，暂时不看常数 $C$（求导会把它消掉），也不看附加条件。
第二步 · 对 $F(x)$ 求导
严格按求导法则算 $F'(x)$，特别注意复合函数与分式求导，这一步错就等于白算。
第三步 · 化简比对
把 $F'(x)$ 通分、约分、用三角恒等式化简，看是否恒等于被积函数 $f(x)$。恒等即为正确。
⚠️ 验算管不了 $C$
因为 $(F+C)'=F'$，求导验算无法判断 $C$ 对不对。$C$ 只能靠初始条件定：$F(x_0)=y_0$ 代入解出 $C$。
📌 为什么这套办法特别适合医学生：临床上"验算"也是同一套逻辑——给一个估计值，代回原始条件看是否吻合。积分题的求导验算只花十几秒，却能挡住绝大多数丢分；凡是不能求导回代的答案，就说明你没有算完。
🔢 数值验算：当原函数写不出初等形式时怎么办
像 $\displaystyle\int e^{-x^2}\mathrm{d}x$ 这类积分，原函数存在但写不出初等形式。这时"求导验算"没有对象，只能改用数值验算：把一个候选结果 $F$ 用数值微分（差商）算出来，再与被积函数在同一个点比较。这正是本课最后一个交互演示在做的事。
💻 中心差商公式
$F'(x)\approx\dfrac{F(x+h)-F(x-h)}{2h}$（$h$ 取很小的正数）。它用两次函数值之差来近似一点的导数，误差随 $h$ 减小而变小。当候选答案对得上时，$\left|F'(x)-f(x)\right|$ 在整段区间上都应该是 $0$（实际计算中是非常小的数）。
10.6 医学中的"由速率还原总量" · 以及 AI 里的两个方向
不定积分在医学里有一个固定的提问方式：已知变化速率，求总量本身。这个提问方式几乎覆盖了药代动力学（药物在体内随时间变化的规律）与血流动力学的入门模型。
💊 恒速静脉滴注：从给药速率到体内药量
设恒速静脉滴注的给药速率为每小时 $R$ 毫克（$R$ 为常数）。在只考虑输入、暂不考虑消除的简化模型里，"体内药量 $A(t)$ 的变化率等于给药速率"，即
$$A'(t)=R\qquad\Longrightarrow\qquad A(t)=\int R\,\mathrm{d}t=Rt+C$$
常数 $C$ 由初始条件定：若滴注开始时体内药量为零，即 $A(0)=0$，代入得 $0=0+C$，所以 $C=0$，于是 $A(t)=Rt$。验算：$A'(t)=R$，与给定的变化率一致。结论很有临床味：给药速率恒定时，体内药量随时间线性累积；给药 $t$ 小时后的总输入量就是 $Rt$。
📐 数量级体会（取 $R=4$ mg/h）
$A(1)=4$ mg，$A(2)=8$ mg，$A(5)=20$ mg。注意这只说明"进去多少"，不是"血药浓度"——真实的血药浓度还要同时考虑消除（消除会让 $A'$ 变成 $R-kA$ 这种形式，属于后续微分方程的内容）。本课只处理能直接积分的最简情形，不做过度的模型推广。
🩸 血流与肌酐：两个同构的应用
血流量的估算
血管内血流速度沿截面分布不均匀（越靠管壁越慢）。把"速度的分布"在截面上累加起来才得到总流量——这类"由局部速率求总量"的问题，求积与积分是同一个数学结构。
肌酐与肾功能
肌酐在体内的生成与消除都有速率，临床上用"单位时间的清除量"来推断总体肾功能。若某段时间内清除速率为常数 $k$，则累计清除量就是 $kt+C$，常数由起始时刻的基线值确定。
为什么总要初始条件
因为积分一次就丢一个常数。测量只能给出变化，想得到水平，必须再知道某个时刻的值——这就是临床上做基线检测（给药前抽血）的数学理由。
注意边界
本课所有应用都限制在"变化率已知且能直接积分"的情形。真实药代模型里消除项与药量本身有关，会使方程变成微分方程——那是后续课程的事，不要在这里提前套用更复杂的公式。
📈 动态演示：速率曲线的"面积"就是累积量
下面画出速率曲线 $r(s)$。拖动时间 $t$，看阴影面积（即速率在 $[0,t]$ 上的累积）如何在数值上等于累积量 $A(t)$——这正是定积分与不定积分将要连接起来的地方。下方读数同时给出阴影面积的数值积分与 $A(t)$ 的公式值，两者应当一致。
🤖 数学与 AI：两个方向不能混
在机器学习里，"求导"和"积分"扮演着完全不同的角色，把它们混为一谈是初学 AI 时的一个典型误解。
➡️ 求导方向：模型怎么学
训练神经网络用的自动微分，是"求导"这一侧的技术：把损失函数对每一个参数求偏导，得到梯度，再沿梯度下降。它是精确的（到机器精度），不是近似。
⬅️ 积分方向：连续型问题怎么算
连续概率分布的期望是积分：$E[X]=\int x\,p(x)\mathrm{d}x$；连续情形下的极大似然也要对密度函数积分。很多概率密度（如正态密度）的积分写不出初等形式，只能数值积分。
🧮 数值积分：梯形法与辛普森法
把区间切成很多小段，用窄梯形的面积近似每一小段，再加起来。这就是梯形法；用抛物线近似每一小段则得到辛普森法，精度更高。它们对应"积分"这一侧，与自动微分不是一回事。
🔁 一条真实的联系
生成模型里的"连续归一化流"用到变量替换公式：密度变换时要乘上雅可比行列式，而累积分布的求值本身就是一个积分。这里积分与求导同时出现，正好是本课"互逆"关系的一次真实应用。
⚠️ 一个必须纠正的说法：常听到"反向传播就是积分的逆运算"——这是不对的。反向传播是求导（链式法则）的高效实现，方向与积分相反的那一半并不存在。正确的对应是：求导 ↔ 自动微分；积分 ↔ 数值积分 / 精确积分。把这两个方向摆正，后面学梯度与概率时才不会乱。
10.7 拓展资源 · 自主加练
本课配有一条知识短片（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容：从"求导的逆运算"说起 → 原函数与不定积分 → 常数 $C$ 为什么不能漏 → 连续必有原函数 → 基本积分表与导数表对照 → 直接积分法的拆项与变形 → 绝对值的必要性 → 医学中的速率还原 → AI 里求导与积分的两个方向 → 求导验算。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
| 演示 | 位置 | 看什么 |
|---|
| 原函数的曲线族 | 开场（10.1 之前） | 拖动 $C$ 让曲线整体上下平移，注意每个 $x$ 处的切线斜率不变 |
| 积分表与导数表对照 | 10.2 节 | 切换被积函数，看左边的导数公式如何倒读成右边的积分公式 |
| 拆项变形演示 | 10.3 节 | 看"原式 → 拆开后 → 逐项积出"三段式，理解拆项只是形式改写，值不变 |
| 绝对值为何必要 | 10.3 节 | 对照 $f(x)=\dfrac1x$ 与候选答案，看负半轴上 $\ln x$ 为什么画不出来 |
| 求导与积分互逆流程 | 10.4 节 | 沿链路走四步，注意"先积后导"没有 $C$、"先导后积"必须有 $C$ |
| 求导回代验算 | 10.5 节 | 比较候选原函数的数值导数与被积函数，误差处处为零即为正确 |
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📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学"，不定积分通常作为独立一章出现，一般包含原函数概念、基本积分表、换元积分法与分部积分法四节。建议按节次顺序看，不要跳到计算技巧。
📺 视频平台
在主流视频平台搜索"不定积分""基本积分表""直接积分法"，建议优先选择板书把导数表与积分表并列写出来的讲解——对照记忆比孤立背诵牢固得多。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）第三章：原函数与不定积分的概念、基本积分表、不定积分的性质、直接积分法。课后习题建议全部完成，其中"已知导数求原函数并定常数"的题至少做 3 道。
📌 复习建议：这一章最容易被"看懂了"骗过去——公式都认识，一算就漏 $C$、错符号。建议按这个顺序练：先默写基本积分表（13 到 14 条）→ 再练直接积分法的六类变形（拆项、展开、配方、降幂、分离常数、凑成表内形式）→ 最后每道题强制做一次求导验算。坚持两周，"漏 $C$"这种错就会自动消失。
10.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉
1️⃣ $\displaystyle\int\left(3x^2-4x+1\right)\mathrm{d}x=$
A. $x^3-2x^2+x$
B. $x^3-2x^2+x+C$
C. $6x-4+C$
D. $x^3-4x^2+x+C$
2️⃣ 下列结果中，写法完整正确的是？
A. $\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln x$
B. $\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|$
C. $\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C$
D. $\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{x^2}+C$
3️⃣ 下列函数中，在 $[-1,1]$ 上没有原函数的是？
A. $f(x)=|x|$
B. $f(x)=\operatorname{sgn}x=\begin{cases}-1, & x\lt0 \\ 0, & x=0 \\ 1, & x\gt0\end{cases}$
C. $f(x)=x^3$
D. $f(x)=\cos x$
4️⃣ 若 $\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=x^2e^x+C$，则 $f(x)=$
A. $2xe^x$
B. $x^2e^x$
C. $\left(x^2+2x\right)e^x$
D. $\left(x^2-2x\right)e^x$
5️⃣ 某恒速静脉滴注的给药速率为 $4$ mg/h，滴注开始时体内药量为零。仅考虑输入时 5 小时后体内累积药量为？
A. $4$ mg
B. $9$ mg
C. $20$ mg
D. 无法确定，缺少消除速率
10.9 数学思维导图 · 本课小结
🧠 不定积分知识思维导图
📘 不定
积分基础
原函数与定义
- $F'(x)=f(x)$ 则 $F$ 是原函数
- 两原函数相差常数
- 全体原函数 $=F(x)+C$
- 常数 $C$ 不能漏
存在性
- 连续必有原函数
- 有原函数未必连续
- 第一类间断点则没有
- 存在 ≠ 能写成初等形式
基本积分表
- 导数公式表倒读
- 幂函数：加1再除
- $\int\frac1x\mathrm{d}x=\ln|x|+C$
- $\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$
性质与互逆
- 线性性可拆项
- $(\int f\mathrm{d}x)'=f(x)$
- $\int f'\mathrm{d}x=f(x)+C$
- 乘除没有简单公式
方法与应用
- 直接积分法：拆项、配方
- 三角恒等变形降幂
- 医学：速率还原总量
- 裁判：求导回代验算
✅ 本课小结
🎯
不定积分 = 求导的逆运算：$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$（其中 $F'(x)=f(x)$）。它是"全体原函数"的记号，所以结果必须带积分常数 $C$——漏写 $C$ 等于把一个函数族写成了一个函数，属于实质性错误。
👪
原函数族 = 一条曲线整体上下平移：$x^2$、$x^2+1$、$x^2-5$ 的导数都是 $2x$，它们的图像只差纵向位移，每个横坐标处的切线斜率完全相同。常数 $C$ 只能由初始条件确定，不能由求导验算检验。
🏔️
连续函数必有原函数（存在性定理，只保证存在不给表达式）；反之不成立——有原函数不必连续。若函数在某点有第一类间断点（可去或跳跃），则它在含该点的区间上没有原函数。
📋
基本积分表就是导数公式表的倒读版：$\int x^a\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\ (a\neq-1)$、$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$、$\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$、$\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C$、$\int\sec^2x\,\mathrm{d}x=\tan x+C$、$\int\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C$、$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C$。
★
红线一：$\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C$ 的绝对值必须写。因为 $\dfrac1x$ 在负半轴也有定义，而 $\ln x$ 只在正半轴有定义；并且 $\ln|x|$ 在正、负两侧的导数都等于 $\dfrac1x$。推广：$\int\dfrac{1}{ax+b}\mathrm{d}x=\dfrac1a\ln|ax+b|+C$。
🔗
求导与积分互为逆运算：$\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)'=f(x)$（没有 $C$，因为常数被导掉了）；$\int f'(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$（必须有 $C$，因为先导后积）。加上线性性 $\int[\alpha f+\beta g]\mathrm{d}x=\alpha\int f\mathrm{d}x+\beta\int g\mathrm{d}x$，就构成全部基本性质。切记乘除没有对应的简单公式。
🧩
直接积分法 = 先变形再查表：常见变形有拆项（$\frac{x^3+2x+1}{x}$ 拆成三项）、展开（$(x+1)^2$ 先展开）、配方（$x^2+2x+5=(x+1)^2+4$ 配成 $\arctan$）、三角降幂（$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$）。表中的每一项都要能一眼认出来。
🧪
唯一的裁判是求导回代：把结果求导，看是否恒等于被积函数。$\int xe^x\mathrm{d}x$、$\int\ln x\,\mathrm{d}x$ 这类变形套不进基本表的题目，下一课用换元积分法与分部积分法处理——但无论用什么方法，验算的这一步永远不变。
🚀
下节预告：不定积分的计算（一）· 换元积分法——第一类换元（凑微分）的核心是把 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 写成 $\mathrm{d}\varphi(x)$，例如 $\int 2x\cos(x^2)\mathrm{d}x$ 里那个 $2x$ 正好是 $x^2$ 的导数；第二类换元则靠三角代换把根号去掉。下一次课的两条红线先记住：换元后 $\mathrm{d}x$ 必须一并换掉，第二类换元最后必须回代。