普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
不定积分计算（一）
第三章 不定积分 · 第 11 次课（教学进度表第 13 节 · 2 学时）
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
高等数学 C · 授课对象：医学生 · 2 学时
$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm{d}x=\int f(u)\mathrm{d}u$ · 凑微分 · $\varphi'(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}\varphi(x)$ · 第二类换元 $x=\psi(t)$ 与回代 · 三角代换去根号 · 换元后 $\mathrm{d}x$ 必须一并换掉
💭 上课之前 · 请想一想
🧩
$\displaystyle\int\cos 2x\,\mathrm{d}x$ 能直接查表吗？
基本积分表里只有 $\int\cos u\,\mathrm{d}u=\sin u+C$，没有一条是 $\cos 2x$ 的。但这个积分并不难：把 $2x$ 整体看成一个字母 $u$，只不过 $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$，所以要补一个系数 $1/2$。补系数的过程，就是本课主角——换元法。
🔗
为什么"换个变量"就能把不会的积分变成会的？
回忆复合函数求导：$[\sin(x^2)]'=2x\cos(x^2)$。把这条链式法则反过来读，就得到 $\int 2x\cos(x^2)\mathrm{d}x=\sin(x^2)+C$——式子里那个 $2x$，恰好是内层函数 $x^2$ 的导数。积分能不能做，取决于能不能认出这种配对。
✦ 带着这两个问题，进入今天的主角 ✦
🤔 根号 $\sqrt{x}$ 出现在被积函数里，怎么处理？
令 $\sqrt{x}=t$ 试试——如果 $x=t^2$，那么 $\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$，根号就不见了
🔗换元法的全部依据，就是链式法则反过来读
🎯第一类换元（凑微分）：把 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 认成 $\mathrm{d}\varphi(x)$，不引入新字母
🔤第二类换元：主动令 $x=\psi(t)$，最后必须回代成 $x$ 的式子
📐三角代换专门对付根号：$\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 各有配方
⚠️两条红线：$\mathrm{d}x$ 必须一并换掉；第二类换元必须回代
先看一段动态演示：滑动滑块切换被积函数，观察它与"可凑出来的整体"如何配对。只有当内外两层能够配上对，换元才走得通。
"换元"不是变魔术，而是把"复合函数求导"这条规则倒过来用：
凡是能凑出内层函数的导数，这个积分就一定能算。
—— 凑微分：把导数藏回微分号里去
🔁
换元：数学里最通用的"转化"手法
从"令 $u=x^2$"到"令 $\sqrt{x}=t$"，再到"令 $x=3\sin t$"
换元法的每一步都在做同一件事：把陌生的结构变成熟悉的结构
📖 换元法的两条通道
设 $F$ 是 $f$ 的原函数，链式法则给出 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(\varphi(x))=f(\varphi(x))\varphi'(x)$。把两边同时积分，就得到换元公式
$$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(u)\,\mathrm{d}u=F(u)+C=F(\varphi(x))+C$$
这条式子可以从左往右走：看到被积函数里藏着 $\varphi(x)$ 和 $\varphi'(x)$ 这一对，就把 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 整体换成 $\mathrm{d}\varphi(x)$，把 $\varphi(x)$ 换成 $u$——这就是第一类换元法（凑微分），新变量只是"心里想着"，不必回代，因为最后一步本来就用 $x$ 写。
也可以从右往左走：如果我们发现把 $x$ 换成某个 $t$ 的式子以后积分更容易，那就主动令 $x=\psi(t)$，于是 $\mathrm{d}x=\psi'(t)\mathrm{d}t$，积分变成 $t$ 的积分；算完必须把 $t$ 换回 $x$——这就是第二类换元法。本课要讲的"去根号"与"三角代换"，全部属于第二类。
🅰️ 第一类凑微分：认配对，不引入新字母，不回代
🅱️ 第二类变量代换：主动设 $x=\psi(t)$，算完必须回代
📐 去根号三角代换：用平方关系把根号整个消掉
✅ 验算无论如何换元，最后都能用求导回代检验
🌍 为什么"改变未知量"是科学的通用方法
把问题换一个变量来描述，让它落到熟悉的形式上——这件事在自然科学里反复出现，而且每一次都带来实质性的进步。
天文学里，把行星的位置从地心坐标改写成日心坐标，椭圆轨道立刻变得简单；化学里，把浓度对时间的关系改写成浓度的倒数对时间的关系，二级反应就变成一条直线；医学里，把体重换算成体表面积再折算剂量，不同体型患者的用药规律才能用同一个公式描述。这些做法的共同点是：问题本身没变，换的只是描述它的坐标。
换元法就是这套思想在积分上的落地。它提醒我们：一个积分算不出来，通常不是因为它"太难"，而是因为我们还没有选对变量。
上一课我们认识了不定积分这个"逆运算"，但只会算表里有的那十几条。
这一课解决表里没有的积分：靠换元，把陌生的积分变成表里见过的样子。
💡 学这一课之前
第 10 次课我们建立了不定积分的概念与基本积分表：$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$，并且学会了直接积分法——靠拆项、展开、配方、三角变形，把被积函数改写成表里的样子。但直接积分法有一个天花板：它只做"形式改写"，不做"变量替换"。像 $\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\mathrm{d}x$ 这样的积分，无论怎么拆项配方，都变不出表中的基本形式——因为它的结构里藏着一层复合。
🔗
一、从"改写法"升级到"换变量法"
直接积分法的动作是"把式子改个写法"；换元法的动作是"把未知量换掉"。为什么会有效？因为积分本来就是对变量做的运算——$\int f(u)\mathrm{d}u$ 里的 $u$ 只是一个名字，叫什么都可以。于是当内层函数 $\varphi(x)$ 出现时，我们可以暂时把它当成一个整体字母 $u$，等积分完成再换回来。这一步之所以合法，全靠复合函数求导（链式法则）。
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二、为什么医学生必须学它
药代动力学里算"一段时间内药物消除的总量"，会得到 $\displaystyle\int e^{-kt}\mathrm{d}t$ 这样的积分；算"药物瞬时效应随时间的累积"，会得到含 $\dfrac{1}{1+(\cdot)^2}$ 的积分；统计与检验中大量出现的正态分布积分，则要先把变量标准化才能算。这些积分都不在基本表里，但都能靠一次换元落到表上。此外，第二类换元所训练的"把根号消掉"的思路，正是后面定积分的换元与各类物理建模的基础。
🎯
三、本课的四条主线
①凑微分：六条常见配对，把 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 认成 $\mathrm{d}\varphi(x)$；②第一类换元：把内层整体设为 $u$，三步走完，结果直接用 $x$ 写；③第二类换元：主动令 $x=\psi(t)$，算完必须回代；④三角代换：用直角三角形辅助图，专治 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 三类根号。四条主线都配有可拖动验证的交互演示。
✦ 上一课问"哪些能算"，这一课问"算不出来的怎么变" ✦
11.1 数学文化 · 把导数藏回微分号里
凑微分这个技巧有一个很朴素的想法：既然 $2x$ 是 $x^2$ 的导数，那么在 $\mathrm{d}$ 号前面看到一个 $2x$，就可以把它"收"回到 $\mathrm{d}$ 号里面去——$\mathrm{d}(x^2)=2x\,\mathrm{d}x$。这一收一放，积分就从陌生变成了熟悉。
🕰️ 从"看整体"开始的技艺
| 阶段 | 做法 | 局限 |
|---|
| 直接积分法 | 拆项、展开、配方、三角恒等变形，把被积函数改写成表中形式 | 只改变写法，不改变变量；藏在复合结构里的那部分变不出来 |
| 凑微分 | 把 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 整体认成 $\mathrm{d}\varphi(x)$，于是积分变成 $\int f(\varphi(x))\mathrm{d}\varphi(x)$ | 要求被积函数里恰好有一个因子是内层函数的导数（允许差常数倍） |
| 第二类换元 | 主动令 $x=\psi(t)$，把积分整体改成 $t$ 的积分，算完再回代 | 最后必须完成回代，否则答案不是 $x$ 的函数；$\mathrm{d}x$ 必须一并换掉 |
| 三角代换 | 对含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 等根号的积分，令 $x=a\sin t$ 一类，用平方关系把根号消掉 | 要写清 $t$ 的取值范围（保证开方后不需讨论正负号） |
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🌍 一条被反复重用的数学思想
换元法背后的想法，比积分本身要古老得多：如果一个式子在你的坐标系里很难看，那就换一个坐标系。
数学史上第一次把这件事做得很彻底的是坐标几何——同一个圆，在直角坐标里是 $x^2+y^2=a^2$，在极坐标里却是极简单的一条 $r=a$；同一个积分，在 $x$ 变量下可能毫无头绪，在 $t$ 变量下却是一条基本公式。人们后来把这种"换描述"的做法系统化，才有了变量代换、坐标变换、乃至微分方程里各种变换方法。
微积分中，这套想法因为链式法则而变成一个可以机械执行的动作：设 $x=\psi(t)$，那么 $\mathrm{d}x=\psi'(t)\mathrm{d}t$——只要把这一条一起换掉，积分就等价于原来的积分。所以换元法的可靠性不是"经验"，而是有严格依据的。
🔬 两条容易记混的规则，先分清：第一类换元（凑微分）是"把 $x$ 的函数收进 $\mathrm{d}$ 号"，算完不需要回代；第二类换元是"把 $x$ 换成 $t$ 的式子"，算完必须回代。前者是被动认配对，后者是主动换变量。
📌 为什么"换个变量"在医学里格外有意义：临床上的经验公式几乎都是"换元"的产物。用体重折算剂量对儿童不准，换成体表面积就准了；把血药浓度对时间的关系换成它的对数对时间的关系，指数衰减就变成一条直线；把"血压随年龄"换成"血压随体质指数"，个体差异被大幅吸收。换元不是数学游戏，它是把杂乱数据变成规律的标准手段。
11.2 常见凑微分公式 · 六条配对 · 本课重点
这一节只做一件事：把"哪些东西能被收进 $\mathrm{d}$ 号"列成一张表。这张表是后面所有例题的零件库，必须背到一眼认出。
📋 六条必背配对（左边是常见因子，右边是它可以收成的微分）
| # | 常见因子 | 收进 $\mathrm{d}$ 号 | 由哪个导数公式而来 | 典型用法 |
|---|
| 1 | $x\,\mathrm{d}x$ | $\dfrac{1}{2}\mathrm{d}(x^2)$ | $(x^2)'=2x$ | $\displaystyle\int xe^{x^2}\mathrm{d}x$ |
| 2 | $\dfrac{\mathrm{d}x}{x}$ | $\mathrm{d}(\ln|x|)$ | $(\ln|x|)'=\dfrac{1}{x}$ | $\displaystyle\int\dfrac{\ln x}{x}\mathrm{d}x$ |
| 3 | $e^x\mathrm{d}x$ | $\mathrm{d}(e^x)$ | $(e^x)'=e^x$ | $\displaystyle\int e^x\cos(e^x)\mathrm{d}x$ |
| 4 | $\cos x\,\mathrm{d}x$ | $\mathrm{d}(\sin x)$ | $(\sin x)'=\cos x$ | $\displaystyle\int\cos x\,e^{\sin x}\mathrm{d}x$ |
| 5 | $\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}$ | $2\,\mathrm{d}(\sqrt{x})$ | $(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}\mathrm{d}x$ |
| 6 | $\dfrac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$ | $\mathrm{d}(\arctan x)$ | $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\displaystyle\int\dfrac{2x+1}{x^2+x+3}\mathrm{d}x$（第 7 条推广） |
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💡 第 1 条的一个极其常用的推广：从 $x\,\mathrm{d}x=\frac12\mathrm{d}(x^2)$ 立刻得到 $\displaystyle\int f(x^2)\,x\,\mathrm{d}x=\dfrac12\int f(x^2)\mathrm{d}(x^2)$。凡是看到"某个式子的平方 + 一个 $x$"的结构，先考虑这条。例如 $\displaystyle\int\dfrac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x=\dfrac12\int\dfrac{\mathrm{d}(1+x^2)}{1+x^2}=\dfrac12\ln(1+x^2)+C$。同理，第 6 条的推广是 $\dfrac{\mathrm{d}x}{(x+b)^2+a^2}$ 型——先配方，再凑 $\arctan$。
下面这个演示把"配对"画出来：内层函数 $\varphi(x)$ 与它的导数 $\varphi'(x)$ 必须同时出现在式子里，换元才走得通。拖动滑块切换四组配对。
⭐ 第一步：认清公式里的两个角色
第一类换元法的公式是
$$\int f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(u)\,\mathrm{d}u\qquad(\text{其中 }u=\varphi(x))$$
把它读成一句话：被积函数里要同时看到"内层 $\varphi(x)$"和"内层的导数 $\varphi'(x)$"。找到这一对，就把 $\varphi(x)$ 整体记作 $u$、把 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 整体记作 $\mathrm{d}u$，积分立刻变成 $\int f(u)\mathrm{d}u$。
✅ 配对成功的样子
$\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\mathrm{d}x$：内层是 $x^2$，它的导数是 $2x$，而式子里正好有一个 $2x$。配上了，可以换元。
⚠️ 差一个常数也照样配对
$\displaystyle\int x\cos(x^2)\mathrm{d}x$ 里只有 $x$，而 $(x^2)'=2x$。允许差一个常数因子：$x\,\mathrm{d}x=\frac12\mathrm{d}(x^2)$，补上 $\frac12$ 即可。
🚫 配对失败的样子
$\displaystyle\int\cos(x^2)\mathrm{d}x$ 里只有 $\cos(x^2)$，根本没有 $x$ 这个因子，凑不出 $\mathrm{d}(x^2)$。它的原函数存在但写不出初等形式。
🎯 判断口诀
先问"这一堆里面，谁最像是某个东西的导数"。找到了它就确定了内层 $\varphi$；若找得到且内层也出现在式子里，换元可行。
⚠️ 红线提醒：凑微分的过程中，$\mathrm{d}x$ 不是可以忽略的装饰。写 $x\,\mathrm{d}x=\frac12\mathrm{d}(x^2)$ 时，$x$ 与 $\mathrm{d}x$ 一起被换掉；如果只把 $x$ 处理了而把 $\mathrm{d}x$ 留在原地，整个式子就错了。本课的第二条红线（$\mathrm{d}x$ 必须一并换）在这一步就要养成习惯。
11.3 第一类换元法（凑微分）· 完整流程
第一类换元法有一个非常固定的四步流程。把这四步走熟，本课绝大多数题目都能拿下。
🧩 四步流程
| 步骤 | 做什么 | 以 $\displaystyle\int 2x\cos(x^2)\mathrm{d}x$ 为例 |
|---|
| 第一步 | 看出内层函数 $\varphi(x)$，并确认它的导数（允许差常数倍）在式子里 | 内层 $\varphi(x)=x^2$，$\varphi'(x)=2x$，式子里的 $2x$ 正好就是它 |
| 第二步 | 凑微分：把 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 整体写成 $\mathrm{d}\varphi(x)$ | $2x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}(x^2)$，原式 $=\displaystyle\int\cos(x^2)\,\mathrm{d}(x^2)$ |
| 第三步 | 换元：令 $u=\varphi(x)$，把积分变成 $\int f(u)\mathrm{d}u$ 并算出来 | 令 $u=x^2$，得 $\displaystyle\int\cos u\,\mathrm{d}u=\sin u+C$ |
| 第四步 | 回代（把 $u$ 换回 $\varphi(x)$）——第一类换元通常不必单独写这一步，因为第三步心里当 $u$ 用，落笔直接写 $\varphi(x)$ | $\sin(x^2)+C$ |
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📌 为什么第一类换元"不用回代"：因为新变量 $u$ 从头到尾只是心里临时用的替身，从未真正替换掉题目里的 $x$。我们只是把 $\varphi(x)$ 和 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 这两块"打包"看一眼，用完立刻还原成 $x$ 的写法。而第二类换元不同：那时 $x$ 被实实在在地换成了 $t$，所以必须回代。
📝 六个必会例题（结论均已用程序求导回代验算）
例 1 · 幂函数与 $x\,\mathrm{d}x$
$\displaystyle\int xe^{x^2}\mathrm{d}x=\dfrac12\int e^{x^2}\mathrm{d}(x^2)=\dfrac12e^{x^2}+C$。要点：内层 $x^2$，补系数 $\frac12$。验算：$\left(\dfrac12e^{x^2}\right)'=\dfrac12e^{x^2}\cdot2x=xe^{x^2}$。
例 2 · 对数与 $\dfrac{\mathrm{d}x}{x}$
$\displaystyle\int\dfrac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=\int\ln x\,\mathrm{d}(\ln x)=\dfrac{(\ln x)^2}{2}+C$。要点：内层 $\ln x$，它的导数 $\frac1x$ 正好在式子里。验算：$\left(\dfrac{(\ln x)^2}{2}\right)'=\ln x\cdot\dfrac1x=\dfrac{\ln x}{x}$。
例 3 · 分子恰好是分母的导数
$\displaystyle\int\dfrac{2x+1}{x^2+x+3}\mathrm{d}x=\int\dfrac{\mathrm{d}(x^2+x+3)}{x^2+x+3}=\ln\left(x^2+x+3\right)+C$。要点：$(x^2+x+3)'=2x+1$，与分子一模一样——这是最"舒服"的一种情形。验算：$\left(\ln(x^2+x+3)\right)'=\dfrac{2x+1}{x^2+x+3}$。
例 4 · 三角降幂（凑成幂函数）
$\displaystyle\int\cos^3x\,\mathrm{d}x=\int\left(1-\sin^2x\right)\mathrm{d}(\sin x)=\sin x-\dfrac{\sin^3x}{3}+C$。要点：先拆出一个 $\cos x$ 与 $\mathrm{d}x$ 配成 $\mathrm{d}(\sin x)$，再用 $\cos^2x=1-\sin^2x$ 把剩下的都写成 $\sin x$ 的式子。验算：$\left(\sin x-\dfrac{\sin^3x}{3}\right)'=\cos x-\sin^2x\cos x=\cos x\left(1-\sin^2x\right)=\cos^3x$。
例 5 · 三角降幂（凑成线性内层）
$\displaystyle\int\sin^2x\,\mathrm{d}x=\int\dfrac{1-\cos2x}{2}\mathrm{d}x=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin2x}{4}+C$。要点：降幂公式把平方降成一次，其中 $\int\cos 2x\,\mathrm{d}x=\frac12\sin 2x$ 这一步本身也是一次凑微分。验算：$\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin2x}{4}\right)'=\dfrac12-\dfrac{2\cos2x}{4}=\dfrac{1-\cos2x}{2}=\sin^2x$。
例 6 · 正切：拆成两个对数
$\displaystyle\int\tan x\,\mathrm{d}x=\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x=-\int\dfrac{\mathrm{d}(\cos x)}{\cos x}=-\ln|\cos x|+C$。要点：把 $\sin x\,\mathrm{d}x$ 凑成 $-\mathrm{d}(\cos x)$，那个负号千万不能丢；内层取 $\cos x$ 而不是 $\sin x$，是因为分子正好是它的导数（差一个负号）。验算：$(-\ln|\cos x|)'=-\dfrac{-\sin x}{\cos x}=\tan x$。
① 幂函数型：$x\,\mathrm{d}x=\frac12\mathrm{d}(x^2)$ 及其推广
最常用的一条。看到"某个式子的平方"外面挂着一个 $x$，立刻想到它。例：$\displaystyle\int\dfrac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x=\dfrac12\int\dfrac{\mathrm{d}(1+x^2)}{1+x^2}=\dfrac12\ln(1+x^2)+C$。
推广到线性内层：$\displaystyle\int(2x+3)^5\mathrm{d}x=\dfrac12\int(2x+3)^5\mathrm{d}(2x+3)=\dfrac{(2x+3)^6}{12}+C$。注意那个 $\frac12$ 是内层导数的倒数，最容易被漏。
② 对数型：$\dfrac{\mathrm{d}x}{x}=\mathrm{d}(\ln|x|)$
只要被积函数里出现 $\dfrac{1}{x}$ 或 $\dfrac{1}{ax+b}$，就要想到对数。例：$\displaystyle\int\dfrac{1}{2x+5}\mathrm{d}x=\dfrac12\int\dfrac{\mathrm{d}(2x+5)}{2x+5}=\dfrac12\ln|2x+5|+C$。绝对值不能省（第 10 课的红线）。
推广到 $u$ 为任意函数：只要分子恰是分母的导数，立刻得对数。$\displaystyle\int\dfrac{2x+1}{x^2+x+3}\mathrm{d}x=\ln\left(x^2+x+3\right)+C$（见例 3）。
③ 指数型：$e^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}(e^x)$
$e^x$ 求导还是 $e^x$，所以它可以自己把自己收进 $\mathrm{d}$ 号。例：$\displaystyle\int e^x\cos\left(e^x\right)\mathrm{d}x=\int\cos\left(e^x\right)\mathrm{d}\left(e^x\right)=\sin\left(e^x\right)+C$。
更一般地，$\displaystyle\int e^{ax}\mathrm{d}x=\dfrac1ae^{ax}+C$（$a\neq0$）。
④ 三角型：$\cos x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sin x)$、$\sin x\,\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\cos x)$
两条配对成对记，第二条带负号。例 6 的 $\int\tan x\,\mathrm{d}x$ 用的就是第二条。再如 $\displaystyle\int\sin^3x\,\mathrm{d}x=-\int\left(1-\cos^2x\right)\mathrm{d}(\cos x)=-\cos x+\dfrac{\cos^3x}{3}+C$。
附带一个常用的结论：$\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^2x}=\tan x+C$，因为 $\mathrm{d}x/\cos^2x=\sec^2x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\tan x)$。
⑤ 根号型：$\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=2\,\mathrm{d}(\sqrt{x})$
把 $\sqrt{x}$ 整体当内层。例：$\displaystyle\int\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2\int e^{\sqrt{x}}\mathrm{d}(\sqrt{x})=2e^{\sqrt{x}}+C$。这一条在第二类换元 $\sqrt{x}=t$ 里还会遇到，两处可以互相印证。
⑥ 反三角型：$\dfrac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\mathrm{d}(\arctan x)$、$\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\mathrm{d}(\arcsin x)$
这两条的正向就是第 10 课积分表里的第 10、11 条，倒过来看就是凑微分。它们的常见用法是配合配方：
$$\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2+6x+13}=\int\dfrac{\mathrm{d}(x+3)}{(x+3)^2+4}=\dfrac12\arctan\dfrac{x+3}{2}+C$$
配方把分母变成"平方加常数"，再凑 $\arctan$，得到的结果里那个系数 $\dfrac1a$（此处 $a=2$）必须写对。
⑦ 一个必须知道的"失败"情形
不是所有积分都能靠凑微分解决。$\displaystyle\int\cos(x^2)\mathrm{d}x$ 里缺少 $x$ 这个因子，凑不出 $\mathrm{d}(x^2)$；它的原函数存在，但无法用有限个初等函数表示。这类积分（连同 $\displaystyle\int e^{-x^2}\mathrm{d}x$、$\displaystyle\int\dfrac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$）只能用数值方法。做题时辨认"是否可初等积出"是重要能力，不要硬凑。
11.4 第二类换元法 · 主动换掉变量，算完必须回代
第一类换元是"被动认配对"，第二类换元是"主动换变量"。当我们发现含根号的积分怎么凑都不成时，就反过来做：把 $x$ 写成某个 $t$ 的式子，让根号在 $t$ 的语言里消失。
✏️ 公式与两个必须走的动作
设 $x=\psi(t)$ 单调可导且 $\psi'(t)\neq0$，则 $\mathrm{d}x=\psi'(t)\mathrm{d}t$，于是
$$\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(\psi(t))\,\psi'(t)\,\mathrm{d}t$$
算完之后，右边是 $t$ 的函数，而题目要的是 $x$ 的函数，所以必须做两件事——这两件事就是本课的两条红线：
★ 红线一：$\mathrm{d}x$ 必须一并换掉
令 $x=\psi(t)$ 之后，$\mathrm{d}x$ 不再等于 $\mathrm{d}t$，而等于 $\psi'(t)\mathrm{d}t$。漏掉 $\psi'(t)$ 是这一类题目最常见的错。
★ 红线二：结果必须回代
算出来的是 $t$ 的表达式，必须由 $x=\psi(t)$ 反解出 $t=\psi^{-1}(x)$ 回代。含根号时通常不用反三角函数，而是画一个辅助直角三角形直接读出（见 11.5 节）。
⚠️ $t$ 的取值范围要写清
要保证 $\psi$ 单调，并且开方时不出现正负号讨论。例如令 $\sqrt{x}=t$ 时须 $t\ge0$；令 $x=a\sin t$ 时取 $t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$，这样 $\cos t\ge0$。
✅ 永远能验算
无论用哪一类换元，最后把结果对 $x$ 求导，看是否回到被积函数。换元法只是"怎么算"的技巧，验算标准从来不因方法而改变。
📝 三个必会例题（结论均已用程序求导回代验算）
例 7 · 根号本身设为 $t$：$\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{x}}$
令 $\sqrt{x}=t$（$t\ge0$），则 $x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$。于是 $\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{x}}=\int\dfrac{2t}{1+t}\mathrm{d}t=2\int\left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)\mathrm{d}t=2t-2\ln(1+t)+C$。回代 $t=\sqrt{x}$：得 $2\sqrt{x}-2\ln\left(1+\sqrt{x}\right)+C$。验算：$\left(2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{1+\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1+\sqrt{x}-1}{1+\sqrt{x}}=\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}$，与被积函数一致。
例 8 · 根号配 $\arctan$：$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}\mathrm{d}x$
仍令 $\sqrt{x}=t$：$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}\mathrm{d}x=\int\dfrac{t\cdot2t}{1+t^2}\mathrm{d}t=2\int\dfrac{t^2}{1+t^2}\mathrm{d}t=2\int\left(1-\dfrac{1}{1+t^2}\right)\mathrm{d}t=2t-2\arctan t+C$。回代 $t=\sqrt{x}$：得 $2\sqrt{x}-2\arctan\sqrt{x}+C$。验算：$\left(2\sqrt{x}-2\arctan\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{1+x}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1+x-1}{\sqrt{x}(1+x)}=\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}$，正确。
例 9 · 一次换元解决两处根号：$\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\,\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}$
两个根号次幂不同（$2$ 次与 $3$ 次），取公共的最小公倍数次幂：令 $x=t^6$（$t\ge0$），则 $\sqrt{x}=t^3$、$\sqrt[3]{x}=t^2$、$\mathrm{d}x=6t^5\mathrm{d}t$。于是原式 $=\displaystyle\int\dfrac{6t^5}{t^3\left(1+t^2\right)}\mathrm{d}t=6\int\dfrac{t^2}{1+t^2}\mathrm{d}t=6\left(t-\arctan t\right)+C$，回代 $t=\sqrt[6]{x}$ 得 $6\sqrt[6]{x}-6\arctan\sqrt[6]{x}+C$。要点：根号次数分别是 $2$ 与 $3$ 时，令 $x=t^{6}$ 能一次把两个根号都化掉——这是"取最小公倍数"的典型用法。
🔍 怎么选代换式？看到 $\sqrt{x}$ 就令 $\sqrt{x}=t$；看到两个不同次数的根号就取最小公倍数；看到 $\sqrt{a^2-x^2}$ 这类"平方差在根号里"的结构，就要用三角函数——这正是下一节的三角代换。
⚠️ 一个常被略过但必须写清的细节：令 $x=t^2$ 时 $\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$ 里的那个 $2t$ 来自 $x=t^2$ 对 $t$ 求导，不是凭空出现的系数。做题时把"$x=\psi(t)$ 求导得 $\psi'(t)$"这一步写出来，能挡住绝大多数漏系数、错系数的错误。
11.5 三角代换 · 用直角三角形把根号消掉 · 本课难点
被积函数里出现 $\sqrt{a^2-x^2}$ 这类根号时，凑微分与简单代换都不管用。此时唯一的常用办法是三角代换：利用 $\sin^2t+\cos^2t=1$、$1+\tan^2t=\sec^2t$，把"根号里的平方差"变成"完全平方"，根号就整个消失了。
📐 三类根号与三种代换（本课最重要的一张表）
| 被积函数里的根号 | 代换式 | $t$ 的取值范围 | 代换后 $\sqrt{\ }$ 变成 | $\mathrm{d}x$ |
|---|
| $\sqrt{a^2-x^2}$ | $x=a\sin t$ | $t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ | $a\cos t$（$\cos t\ge0$，不带绝对值） | $a\cos t\,\mathrm{d}t$ |
| $\sqrt{a^2+x^2}$ | $x=a\tan t$ | $t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ | $a\sec t$（$\sec t\gt0$，不带绝对值） | $a\sec^2t\,\mathrm{d}t$ |
| $\sqrt{x^2-a^2}$ | $x=a\sec t$ | 取 $t\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$（即 $x\gt a$） | $a\tan t$（$\tan t\gt0$，不带绝对值） | $a\sec t\tan t\,\mathrm{d}t$ |
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💡 为什么第四列可以"不带绝对值"——这才是三角代换真正省事的地方：开方 $\sqrt{a^2\cos^2t}$ 本来等于 $a|\cos t|$。但因为我们一开始就把 $t$ 限制在使 $\cos t\ge0$ 的范围里，绝对值就可以直接去掉。所以$t$ 的取值范围不是可写可不写的细节，它是让代换合法的前提。三行都遵守同一个原则：选一个使开方结果非负的区间。
🔺 回代：不用反三角函数，画一个直角三角形
积分算完后得到的是 $t$ 的式子（常常是 $\sin t$、$\cos t$、$\tan t$、$\sec t$ 或 $\ln|\sec t+\tan t|$），必须换回 $x$。硬套反三角函数既麻烦又易错，标准做法是由代换式画一个直角三角形，直接用勾股定理读出各边。
$\sqrt{a^2-x^2}$ 型（$x=a\sin t$）
画斜边为 $a$、对边为 $x$ 的直角三角形，邻边即 $\sqrt{a^2-x^2}$。于是 $\cos t=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$、$\tan t=\dfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$。三个量一眼读出，不必反解。
$\sqrt{a^2+x^2}$ 型（$x=a\tan t$）
画邻边为 $a$、对边为 $x$ 的直角三角形，斜边即 $\sqrt{a^2+x^2}$。于是 $\sec t=\dfrac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}$、$\sin t=\dfrac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$。
$\sqrt{x^2-a^2}$ 型（$x=a\sec t$）
画斜边为 $x$、邻边为 $a$ 的直角三角形，对边即 $\sqrt{x^2-a^2}$。于是 $\tan t=\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$、$\sec t=\dfrac{x}{a}$。
🎯 一句话记住
直角三角形的三条边分别是"根号里的那一项、$x$、参数 $a$"。哪条边放哪里，由代换式 $x=a\sin t$（对边比斜边）一类的关系决定——把代换式当"比"来读，图就画对了。
📝 三个必会例题（结论均已用程序求导回代验算）
例 10 · $\sqrt{a^2-x^2}$ 型：$\displaystyle\int\sqrt{9-x^2}\,\mathrm{d}x$
令 $x=3\sin t$，$t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$，则 $\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9\sin^2t}=3\cos t$（$\cos t\ge0$，故不带绝对值），$\mathrm{d}x=3\cos t\,\mathrm{d}t$。于是原式 $=\displaystyle\int 3\cos t\cdot3\cos t\,\mathrm{d}t=9\int\cos^2t\,\mathrm{d}t=9\left(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\sin2t}{4}\right)+C$。回代：$t=\arcsin\dfrac{x}{3}$，且 $\dfrac{\sin2t}{4}=\dfrac{2\sin t\cos t}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{3}=\dfrac{x\sqrt{9-x^2}}{18}$，故结果为 $\dfrac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+\dfrac{9}{2}\arcsin\dfrac{x}{3}+C$。验算：对结果求导得 $\sqrt{9-x^2}$，与被积函数一致。
例 11 · $\sqrt{a^2+x^2}$ 型：$\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+16}}$
令 $x=4\tan t$，$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，则 $\sqrt{x^2+16}=4\sec t$，$\mathrm{d}x=4\sec^2t\,\mathrm{d}t$。于是原式 $=\displaystyle\int\dfrac{4\sec^2t}{4\sec t}\mathrm{d}t=\int\sec t\,\mathrm{d}t=\ln|\sec t+\tan t|+C$。回代：由直角三角形 $\sec t=\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{4}$、$\tan t=\dfrac{x}{4}$，得 $\ln\left|\dfrac{\sqrt{x^2+16}+x}{4}\right|+C=\ln\left(x+\sqrt{x^2+16}\right)+C$（常数 $\ln4$ 并入 $C$）。验算：$\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+16}\right)\right)'=\dfrac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}}{x+\sqrt{x^2+16}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+16}}$，正确。
例 12 · $\sqrt{x^2-a^2}$ 型：$\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-9}}$（$x\gt3$）
令 $x=3\sec t$，取 $t\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，则 $\sqrt{x^2-9}=3\tan t$，$\mathrm{d}x=3\sec t\tan t\,\mathrm{d}t$。于是原式 $=\displaystyle\int\dfrac{3\sec t\tan t}{3\tan t}\mathrm{d}t=\int\sec t\,\mathrm{d}t=\ln|\sec t+\tan t|+C$。回代：由直角三角形 $\sec t=\dfrac{x}{3}$、$\tan t=\dfrac{\sqrt{x^2-9}}{3}$，得结果为 $\ln\left|x+\sqrt{x^2-9}\right|+C$。验算：$\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2-9}\right)\right)'=\dfrac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}}{x+\sqrt{x^2-9}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-9}}$，正确。
🔍 去根号的"前后对比"
下面这个演示把同一个积分在"代换前"与"代换后"并排画出来：你会看到根号不是被近似掉，而是被平方关系整整齐齐地消掉。
⚠️ 三角代换的四条纪律：①代换式与 $t$ 的取值范围必须同时写出；②$\mathrm{d}x$ 必须写成 $\psi'(t)\mathrm{d}t$；③算完必须回代成 $x$ 的表达式；④结果必须求导验算。四条里少任何一条，这道题都不算做完。另外要留意：$\displaystyle\int\sec t\,\mathrm{d}t=\ln|\sec t+\tan t|+C$ 是一条需要记住的基本结果（它的正确性可用"求导右端得被积函数"来核对）。
① $\sqrt{a^2-x^2}$ 型：令 $x=a\sin t$，$t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$
此时 $\cos t\ge0$，所以 $\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}=\sqrt{a^2\cos^2t}=a\cos t$，绝对值可以直接去掉；并且 $\mathrm{d}x=a\cos t\,\mathrm{d}t$。
本课例 10 就是这一型：$\displaystyle\int\sqrt{9-x^2}\,\mathrm{d}x$，取 $a=3$，令 $x=3\sin t$，于是原式 $=\displaystyle\int 3\cos t\cdot3\cos t\,\mathrm{d}t=9\int\cos^2t\,\mathrm{d}t$，用降幂公式 $\cos^2t=\dfrac{1+\cos2t}{2}$ 积分得 $9\left(\dfrac t2+\dfrac{\sin2t}{4}\right)+C$。
回代：画斜边为 $3$、对边为 $x$ 的直角三角形，邻边即 $\sqrt{9-x^2}$。于是 $t=\arcsin\dfrac x3$，而三角项 $\dfrac{\sin2t}{4}=\dfrac{2\sin t\cos t}{4}=\dfrac12\cdot\dfrac x3\cdot\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{3}=\dfrac{x\sqrt{9-x^2}}{18}$，整理得 $\dfrac x2\sqrt{9-x^2}+\dfrac92\arcsin\dfrac x3+C$。
② $\sqrt{a^2+x^2}$ 型：令 $x=a\tan t$，$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$
此时 $\sec t\gt0$，所以 $\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+a^2\tan^2t}=\sqrt{a^2\sec^2t}=a\sec t$（不带绝对值）；并且 $\mathrm{d}x=a\sec^2t\,\mathrm{d}t$。
例 11：$\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+16}}$，取 $a=4$，令 $x=4\tan t$，原式 $=\displaystyle\int\dfrac{4\sec^2t}{4\sec t}\mathrm{d}t=\int\sec t\,\mathrm{d}t=\ln|\sec t+\tan t|+C$。回代：画邻边为 $4$、对边为 $x$ 的直角三角形，斜边即 $\sqrt{x^2+16}$，于是 $\sec t=\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{4}$、$\tan t=\dfrac x4$，得 $\ln\left|\dfrac{\sqrt{x^2+16}+x}{4}\right|+C=\ln\left(x+\sqrt{x^2+16}\right)+C$——常数 $-\ln4$ 并入 $C$，所以两种写法都对。
③ $\sqrt{x^2-a^2}$ 型：令 $x=a\sec t$，取 $t\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$（即 $x\gt a$）
此时 $\tan t\gt0$，所以 $\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{a^2\sec^2t-a^2}=\sqrt{a^2\tan^2t}=a\tan t$（不带绝对值）；并且 $\mathrm{d}x=a\sec t\tan t\,\mathrm{d}t$。
例 12：$\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-9}}$（$x\gt3$），取 $a=3$，令 $x=3\sec t$，原式 $=\displaystyle\int\dfrac{3\sec t\tan t}{3\tan t}\mathrm{d}t=\int\sec t\,\mathrm{d}t=\ln|\sec t+\tan t|+C$。回代：画斜边为 $x$、邻边为 $3$ 的直角三角形，对边即 $\sqrt{x^2-9}$，得结果为 $\ln\left|x+\sqrt{x^2-9}\right|+C$。
④ 三型共同的"三件套"检查法
第一件：代换式与 $t$ 的范围同时写出（范围决定开方是否要绝对值）。第二件：$\sqrt{\ }$ 与 $\mathrm{d}x$ 两项都替换掉，一样都不能留。第三件：算完回代成 $x$ 的表达式，并做一次求导验算。
还要分清边界：本课的三类配方针对的是"平方和差在根号里"。若根号里是一次式（如 $\sqrt{x}$、$\sqrt[3]{x}$），用 11.4 节的"根号设为 $t$"或"取最小公倍数"即可，不要把三角代换硬套上去。
11.6 医学应用 · "由速率还原总量" · 以及 AI 里的换元
不定积分在医学里有一个固定的提问方式：已知变化速率，求总量本身。而本课新添的换元法，解决的正是这类积分"查不到表"的困境。
💊 恒速滴注与消除速率：两个最简模型
先看最简单的一种。设某药恒速静脉滴注的给药速率为每小时 $R$ 毫克（$R$ 为常数），在只考虑输入、暂不考虑消除的简化模型里，"体内药量 $A(t)$ 的变化率等于给药速率"，即
$$A'(t)=R\qquad\Longrightarrow\qquad A(t)=\int R\,\mathrm{d}t=Rt+C$$
常数 $C$ 由初始条件确定：若滴注开始时体内药量为零，即 $A(0)=0$，代入得 $C=0$，于是 $A(t)=Rt$。验算：$A'(t)=R$，与给定的变化率一致。这个积分连换元都不需要，直接查表就够。
稍微复杂一点的是消除过程。若消除速率为常数 $k$（单位时间消除固定量），则"变化率"这一侧就是一个常数，积分同样直接完成。但真实药代动力学里最常见的描述是按比例消除，这时出现的是本课的典型积分：
$$\int e^{-kt}\,\mathrm{d}t=-\dfrac{1}{k}e^{-kt}+C\qquad(k\neq0)$$
它为什么必须换元：基本积分表里只有 $\int e^{u}\mathrm{d}u=e^{u}+C$，没有 $\int e^{-kt}\mathrm{d}t$ 这一条。做法正是本课 11.2 节的第 3 条配对——把 $-k$ 收进微分号：$\mathrm{d}(-kt)=-k\,\mathrm{d}t$，所以 $\mathrm{d}t=-\dfrac{1}{k}\mathrm{d}(-kt)$，补上系数 $-\dfrac{1}{k}$ 就配平了，积分随之落回表上。验算：$\left(-\dfrac{1}{k}e^{-kt}\right)'=-\dfrac{1}{k}\cdot\left(-k e^{-kt}\right)=e^{-kt}$，正确。
📐 数量级体会（取 $R=4$ mg/h）
$A(1)=4$ mg，$A(2)=8$ mg，$A(5)=20$ mg。注意这只说明"进去多少"，不是"血药浓度"——真实的血药浓度还要同时考虑消除（消除会让 $A'$ 变成 $R-kA$ 这种形式，属于后续微分方程的内容）。本课只处理能直接积分或一次换元就能积出的最简情形，不做过度的模型推广。
🔗 半衰期不是新公式
半衰期只是把积分结果代入求值，不需要记第二条公式。把 $\int_0^{T}e^{-kt}\mathrm{d}t$ 算出来，令它等于总量的一半，解出的 $T$ 就是半衰期——积分负责"累积"，代数负责"解方程"，两件事不要混在一起记。
🩸 由局部速率求总量
血管内血流速度沿截面分布不均匀（越靠管壁越慢）。把"速度的分布"在整个截面上累加起来才得到总流量——这类"由局部速率求总量"的问题，与本节的提问方式同构。
⚠️ 为什么总要初始条件
因为积分一次就丢一个常数。测量只能给出变化，想得到水平，必须再知道某个时刻的值——这就是临床上做基线检测（给药前抽血）的数学理由。
🤖 数学与 AI：换元的本质是"换一个坐标"
换元法在人工智能里反复出现，因为它做的是一件很通用的事：换一个坐标来描述同一个问题。数据预处理里的归一化、对数变换、特征缩放，做的都是这件事——把量纲、尺度不同的量换成便于处理的形式，模型才学得动。
➡️ 方向不能混：求导归自动微分
训练神经网络用的自动微分，是"求导"这一侧的技术：把损失函数对每个参数求偏导得到梯度，再沿梯度下降。它是精确的（到机器精度），不是近似。
⬅️ 方向不能混：积分归数值积分
连续概率分布的期望是积分；连续情形的极大似然也要对密度函数积分。很多密度函数的积分写不出初等形式（如正态密度的原函数），只能数值积分——这与本课 11.3 节提到的"可初等积出"是同一件事的两面。
🧮 数值积分：梯形法与辛普森法
把区间切成很多小段，用窄梯形近似每一小段再相加，就是梯形法；用抛物线近似每一小段则得到辛普森法，精度更高。它们对应"积分"这一侧。
🔁 一条真实的联系
生成模型里的"连续归一化流"用到变量替换公式：密度变换时要乘上雅可比行列式。这与本课"换掉变量、同时按比例换掉微分"是同一个思想的高维版本。
⚠️ 一个必须纠正的说法：常听到"反向传播就是积分的逆运算"——这是不对的。反向传播是求导（链式法则）的高效实现，而本课的换元法是"把链式法则反过来读"从而把积分算出来，两者方向相反但都不是"互逆运算"这个意思。正确的对应是：求导 ↔ 自动微分；积分 ↔ 数值积分 / 精确积分。把这两个方向摆正，后面学梯度与概率时才不会乱。
① 回代前的检查表（四问四答）
一问：代换式写出了吗？——必须写成 $x=\psi(t)$，并注明 $t$ 的取值范围。二问：$\mathrm{d}x$ 换成 $\psi'(t)\mathrm{d}t$ 了吗？——这是最常漏的一步。三问：算完的结果是 $t$ 的函数吗？——如果是，就还没做完。四问：回代之后求导能回到被积函数吗？——这是唯一的验收标准。
② 三类回代的标准动作
根号本身设为 $t$（如 $\sqrt{x}=t$、$x=t^6$）：回代最简单，直接把 $t$ 写成根号形式，例如 $t=\sqrt{x}$、$t=\sqrt[6]{x}$。这类题不需要辅助三角形。
三角代换：回代要处理 $\sin t$、$\cos t$、$\tan t$、$\sec t$ 这些量。标准做法是画辅助直角三角形，用勾股定理把三边写出来，各三角函数值就直接是两条边的比，不必反解。
反三角函数式：若结果里本来就有 $t=\arcsin\dfrac{x}{a}$ 这类项，直接照写即可；只有"三角函数的乘积项"（如 $\dfrac{\sin 2t}{4}$）才必须用辅助三角形化回 $x$。
③ 三个最容易丢分的细节
细节一：$\psi'(t)$ 是"求导得来"的，不是凭空的系数。写 $\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$ 时，要能说出那个 $2t$ 来自 $(t^2)'=2t$。
细节二：$t$ 的取值范围必须保证开方结果非负，否则开方要带绝对值，后面每一步都要分情况讨论。三角代换的全部省事之处，都建立在把 $t$ 限制在合适的区间上。
细节三：常数项不用纠结。回代过程中若多出 $\ln 4$ 这样的常数（如例 11），把它并入任意常数 $C$ 即可，写 $\ln 4+C$ 或直接写 $+C$ 都对——但用求导验算查不出常数，所以这一步只能靠规范写法保证。
④ 为什么"回代"这一步能训练思维
回代迫使我们把同一个对象用两套语言各写一遍：一套是三角函数的语言，一套是代数（根式）的语言。能把两套语言自由互译，正是后续学定积分换元、解微分方程、做积分变换的基础功。只写 $t$ 的答案不算做完，写回 $x$ 才算真正回答了原题。
11.7 拓展资源 · 自主加练
本课配有一条知识短片（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线）：从"查不到表的积分"说起 → 链式法则反过来读 → 凑微分的六条配对 → 第一类换元的三步走 → 指数与对数、三角降幂与正切 → 为什么要第二类换元 → 两条红线（$\mathrm{d}x$ 一并换、算完必须回代）→ 两个根号取最小公倍数 → 三角代换三类配方 → $t$ 的取值范围 → 辅助三角形回代 → 医学中的速率还原 → AI 里"换一个坐标" → 本课小结。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
| 演示 | 位置 | 看什么 |
|---|
| 内层与导数的配对 | 开场（11.1 之前） | 切换四组，看"内层函数"与"它的导数"是否同时出现在被积函数里 |
| 六条凑微分配对表 | 11.2 节 | 逐条看左边那个因子怎么收进 $\mathrm{d}$ 号，理解配对是"导数公式倒读" |
| 第一类换元四步走 | 11.2 节 | 以 $\int 2x\cos(x^2)\mathrm{d}x$ 为例，逐步看"认内层 → 凑微分 → 换元 → 结果" |
| 第二类换元的回代 | 11.4 节 | 以 $\int\dfrac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{x}}$ 为例，重点看 $\mathrm{d}x=2t\,\mathrm{d}t$ 与最后的 $t=\sqrt{x}$ 回代 |
| 辅助直角三角形 | 11.5 节 | 拖动 $x$ 看三边如何变：斜边恒为 $3$、对边为 $x$、邻边为 $\sqrt{9-x^2}$ |
| 去根号前后对比 | 11.5 节 | 切换三类根号，看根号如何被平方关系整整齐齐地消掉，而不是被近似 |
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📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学"，换元积分法通常与分部积分法合成一节。建议按"凑微分 → 第一类换元 → 第二类换元 → 三角代换"的顺序看，不要跳到计算技巧。
📺 视频平台
搜索"凑微分""换元积分法""三角代换"，建议优先选择把六条凑微分配对单独列一张表的讲解——这张表是全部例题的零件库，对照记忆比孤立背题牢固得多。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）第三章"不定积分的计算（一）"：第一类换元积分法（凑微分法）、第二类换元积分法、三角代换。课后习题建议全部完成，其中"含 $\sqrt{x}$ 的换元"与"三角代换去根号"两类各至少做 4 道。
📌 复习建议：这一课最容易被"看懂了"骗过去——步骤都明白，一动手就漏系数、忘换 $\mathrm{d}x$、忘回代。建议按这个顺序练：先默写六条凑微分配对 → 再练第一类换元的六个例题（每题标注内层 $\varphi$ 与它的导数）→ 再练第二类换元（每题强制写出 $\mathrm{d}x=\psi'(t)\mathrm{d}t$ 与回代两步）→ 最后每道题都做一次求导回代验算。坚持两周，"漏 $\dfrac12$、漏 $2t$"这类错就会自动消失。
11.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉
1️⃣ $\displaystyle\int 2x\cos\left(x^2\right)\mathrm{d}x=$
A. $\sin\left(x^2\right)+C$
B. $x\sin\left(x^2\right)+C$
C. $\dfrac{1}{2}\sin\left(x^2\right)+C$
D. $2\sin 2x+C$
2️⃣ $\displaystyle\int\dfrac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x=$
A. $\ln\left(1+x^2\right)+C$
B. $\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+C$
C. $\dfrac{1}{2}\ln|x|+C$
D. $\arctan x+C$
3️⃣ $\displaystyle\int\dfrac{(\ln x)^2}{x}\mathrm{d}x=$
A. $\dfrac{1}{2}(\ln x)^2+C$
B. $\dfrac{\ln\left(x^3\right)}{3}+C$
C. $\dfrac{1}{3}(\ln x)^3+C$
D. $\dfrac{1}{2}(\ln x)^2+\ln x+C$
4️⃣ 用三角代换求 $\displaystyle\int\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x=$
A. $\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{x}{2}+C$
B. $\dfrac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\arcsin\dfrac{x}{2}+C$
C. $\dfrac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C$
D. $-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}+C$
5️⃣ $\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{16+x^2}=$
A. $\arctan\dfrac{x}{4}+C$
B. $\dfrac{1}{4}\arctan x+C$
C. $\dfrac{1}{4}\arctan\dfrac{x}{4}+C$
D. $\dfrac{1}{4}\ln\left(x^2+16\right)+C$
11.9 数学思维导图 · 本课小结
🧠 换元积分法知识思维导图
🔁 换元
积分法
依据：链式法则
- $[F(\varphi(x))]'=f(\varphi)\varphi'$
- 两边积分即得换元公式
- 内层与它的导数成对出现
- 允许差一个常数倍
第一类·凑微分
- 六条配对本课重点
- $x\,\mathrm{d}x=\frac12\mathrm{d}(x^2)$
- $\frac{\mathrm{d}x}{x}=\mathrm{d}(\ln|x|)$
- 认配对，无需回代
第二类·变量代换
- 主动令 $x=\psi(t)$
- 红线：$\mathrm{d}x=\psi'(t)\mathrm{d}t$
- 红线：算完必须回代
- 两个根号取最小公倍数
三角代换去根号
- $\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin t$
- $\sqrt{a^2+x^2}$：$x=a\tan t$
- $\sqrt{x^2-a^2}$：$x=a\sec t$
- 辅助三角形直接回代
应用与验收
- 医学：由速率还原总量
- $\int e^{-kt}\mathrm{d}t$ 靠凑微分
- AI：换元＝换坐标
- 裁判：求导回代验算
✅ 本课小结
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换元法的全部依据是链式法则反过来读：由 $\left[F(\varphi(x))\right]'=f(\varphi(x))\varphi'(x)$ 两边积分，得到 $\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm{d}x=\int f(u)\mathrm{d}u$。被积函数里必须同时出现"内层 $\varphi(x)$"与"内层的导数 $\varphi'(x)$"这一对，换元才走得通。
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第一类换元（凑微分）＝被动认配对：把 $\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 整体认成 $\mathrm{d}\varphi(x)$，允许差一个常数倍（补系数）。六条必背配对是本课的零件库；不引入真正的新变量，所以不需要回代——$u$ 只是心里临时用的替身。
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第二类换元＝主动换变量，算完必须回代：令 $x=\psi(t)$ 单调可导且 $\psi'(t)\neq0$，则 $\mathrm{d}x=\psi'(t)\mathrm{d}t$，积分整体改成 $t$ 的积分。算出来的是 $t$ 的函数，必须换回 $x$ 才算做完。
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两条红线：$\mathrm{d}x$ 必须一并换掉；第二类换元必须回代。写 $x\,\mathrm{d}x=\dfrac12\mathrm{d}(x^2)$ 时，$x$ 与 $\mathrm{d}x$ 一起被换；令 $x=\psi(t)$ 时，$\mathrm{d}x$ 不再等于 $\mathrm{d}t$，而等于 $\psi'(t)\mathrm{d}t$。漏掉 $\psi'(t)$ 是这一类题最常见的错。
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三角代换是"去根号"的专用工具：$\sqrt{a^2-x^2}$ 令 $x=a\sin t$、$\sqrt{a^2+x^2}$ 令 $x=a\tan t$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 令 $x=a\sec t$。$t$ 的取值范围必须写——它的作用就是保证开方结果非负，从而不必带绝对值。回代时画一个辅助直角三角形，把三边关系一眼读出，不必反解反三角函数。
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不是所有积分都能初等积出：$\displaystyle\int\cos(x^2)\mathrm{d}x$ 缺少 $x$ 这个因子，凑不出 $\mathrm{d}(x^2)$，它的原函数存在但无法用有限个初等函数表示（同类还有 $\int e^{-x^2}\mathrm{d}x$、$\int\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$）。辨认"是否可初等积出"是重要能力，不要硬凑。
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唯一的裁判仍是求导回代：换元法只改变"怎么算"，不改变验收标准——把结果对 $x$ 求导，看是否回到被积函数。但要记住：求导验算查不出常数 $C$，所以回代过程中并入 $C$ 的常数项（如 $\ln 4$）只能靠规范写法保证。
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医学口径：由速率还原总量。"已知变化速率求总量"是不定积分在医学里的固定提问方式——只考虑输入时 $A(t)=Rt+C$；按比例消除时出现 $\int e^{-kt}\mathrm{d}t$，它不在表里，靠凑微分补系数 $-\dfrac1k$ 落回表上。常数 $C$ 一律由初始条件（基线值）确定。
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下节预告：不定积分计算（二）· 分部积分法——本课解决的是"复合结构"的积分（换元），下一课解决"乘积结构"的积分：$\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$，专治 $\int xe^x\mathrm{d}x$、$\int x\cos x\,\mathrm{d}x$、$\int\ln x\,\mathrm{d}x$ 这类换元也拿不下的题。选谁是 $u$、谁是 $\mathrm{d}v$ 有口诀，我们下次课讲。