普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
不定积分计算（二）
第四章 不定积分 · 第 12 次课
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ · 反对幂指三 · 循环分部与移项 · 部分分式分解 · 万能代换 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ · 去根号
💭 上课之前 · 请想一想
💊
体内药物总量按 $A(t)=C_0te^{-kt}$ 变化，要算它在某段时间内的累计暴露量，被积函数里出现了 $t$ 乘 $e^{-kt}$。
上一课我们学的换元法，专门对付"复合结构"：把 $u=\varphi(x)$ 挖出来，剩下一个 $\varphi'(x)dx$ 配成 $du$。可是 $t\,e^{-kt}$ 里并没有谁是谁的导数 ——换元法在这里无处下手，必须换一件新工具。
🔁
求导有乘积法则 $(uv)'=u'v+uv'$，那么求积分是不是也有对应的"乘积法则"？
有。把乘积法则两边同时积分 ，移项就得到今天的主角：分部积分公式 。它专门处理"两类不同函数相乘"的积分——幂函数乘指数、幂函数乘三角、对数乘幂函数，全都归它管。
✦ 换元法管"复合"，分部法管"乘积" ✦
🤔 两个不同世界的函数乘在一起，怎么积？
"反对幂指三"这五个字，其实是一句关于"谁当 $u$"的经验口诀
🧩 分部积分：$\int u\,dv=uv-\int v\,du$，本质是乘积求导的反推
🎯 选 $u$ 的口诀：反对幂指三，让新的积分比原来的更简单
🔁 循环分部：$\int e^x\sin x\,dx$ 分部两次后把原积分移项解出
🧱 有理函数：先看真分式还是假分式，再拆成部分分式逐个积
先看一段动态演示：拖动滑块改变 $u$ 与 $dv$ 的分配方式，观察"新的积分"$\int v\,du$ 是变简单了、还是变得更难。
分部积分不是一条新的求积技巧，而是乘积求导法则的"反向书写"：
—— 从"求导容易"到"求积困难"，人类靠这条公式扳回一局
✨ 点击展开 · 分部与分解的艺术 ▼
🧮
积分比求导难：为什么必须发明"技巧"
求导有统一的机械法则，求积分却只有一堆"招法"
📖 一个不对称的事实
微积分里最不对称的一件事是：求导几乎不需要聪明 。不管函数多复杂，只要它是初等函数，你都能按乘积法则、商法则、链式法则一步步做下去，得到一个确定的答案。但求积分没有这样的通用算法 ——把一个初等函数积出来，有时需要恰好想到某个代换，想不到就卡住。
于是数学家用两个办法对付这件事。第一个办法是"反向利用求导法则" ：既然乘积求导会多出一个 $u'v$，那么在积分时就可以把它"挪走"，这就是分部积分。第二个办法是"归类化简" ：把有理函数统一拆成基本项、把三角有理式统一化为有理函数，把无穷多种花样收敛到有限几类模板上——这就是部分分式与万能代换。
🧩 反推法 把求导法则倒过来用：乘积法则倒过来就是分部积分
🧱 归一法 把有理函数拆成部分分式，每一类都有固定模板
🔄 换元法 用代换把不认识的式子变成认识的样子
⚠️ 边界 不是所有初等函数的原函数都能用初等函数表示
🌍 一句必须说清楚的边界
有一种常见误解："只要肯花时间，任何函数的积分都能算出来。" 这句话是错的。像 $e^{-x^2}$、$\dfrac{\sin x}{x}$、$\dfrac{1}{\ln x}$ 这类函数，它们的原函数存在 （因为连续函数必有原函数），但不可能 用有限个初等函数表示出来。这个结论有严格证明，不是"暂时没想到办法"。
所以本课学的三条路线——分部、分解、代换——覆盖的是一大类能积出来 的函数。看清这个边界，就不会在遇到 $e^{-x^2}$ 时白白耗掉一整晚；医学统计里遇到它，正确做法是查误差函数表或用数值积分，而不是硬凑原函数。
上一课我们把"复合结构"交给了换元法；这一课补上另外两类硬骨头：乘积结构交给分部积分，分式结构交给部分分式分解 。
💡 学这一课之前
上一课的主线是换元 ：识别出 $g'(x)dx=dg(x)$，把积分改写成 $\int f(u)\,du$ 的形式，然后直接查基本积分表。它的适用条件是"被积函数里藏着一条链式法则"。今天我们处理的是另一类式子：被积函数是两类函数相乘 ，比如 $x e^x$、$x\sin x$、$\ln x$、$x\ln x$、$e^x\sin x$——它们里面没有谁是谁的导数，换元法搬不动。这一课的工具不是"识别链式法则"，而是主动改写积分本身 ：把 $\int u\,dv$ 换成 $uv-\int v\,du$，用一个新的、更容易的积分去交换原来那个难的。
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一、本课的三个入口，靠"看形状"分流
拿到一个积分，先定型再动手：形状一 ——两类函数相乘（幂乘指数、幂乘三角、对数乘幂）⟹ 分部积分；形状二 ——有理函数 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$（多项式除以多项式）⟹ 部分分式分解；形状三 ——三角有理式 $\dfrac{R(\sin x,\cos x)}{S(\sin x,\cos x)}$ 或含根号的式子 ⟹ 代换。定型错了，怎么算都别扭。
🎯
二、分部积分的唯一判据：新的积分要更简单
公式 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 用起来只有一件事要做决定：哪一个因子当 $u$、哪一个凑进 $dv$。 决定的标准不是"口诀背得对不对"，而是选完之后 $\int v\,du$ 是否比原积分更容易。口诀"反对幂指三"是把这个标准经验化 的产物——正因为它只是经验，才必须理解背后的道理（12.2 节专门讲）。
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三、为什么医学生绕不开这三条路线
药代动力学里，恒速滴注停止后血药浓度近似按 $C_0 t e^{-kt}$ 衰减，算"总暴露量"就要求 $\int t e^{-kt}dt$（分部积分）；而一次口服的浓度曲线常用 $\dfrac{k_a F D}{V(k_a-k)}\left(e^{-kt}-e^{-k_at}\right)$ 这类有理分式形式描述，做参数估计与曲线下面积推导时会遇到部分分式；生理信号的周期成分分析又会遇到三角有理式的积分。这三条路线不是考试技巧，是后续专业课的计算底子。
✦ 上一课找"复合"，这一课拆"乘积"和"分式" ✦
12.1 分部积分法 · 把乘积求导倒过来用这一节只做一件事：把大家已经会背的乘积求导法则"倒过来写"，得到一个专门对付乘积结构的积分公式。
✏️ 公式的推导（三步，全程只需要乘积求导法则）
第一步 ：设 $u=u(x)$ 与 $v=v(x)$ 都可导，由乘积求导法则
$$(uv)'=u'v+uv'$$
第二步 ：把它写成微分形式，再两边同时求不定积分。因为 $\int (uv)'dx=uv+C$，常数并进任意常数里即可写成
$$d(uv)=u\,dv+v\,du\ \Longrightarrow\ uv=\int u\,dv+\int v\,du$$
第三步 ：把 $\int v\,du$ 移到等号左边，就得到分部积分公式
$$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$
💡 这个公式在做什么交换： 左边要求我们算 $\int u\,dv$，右边把它换成了 $uv$ 减去 $\int v\,du$。$uv$ 是白送的（直接相乘即可），代价是改用 $\int v\,du$。 所以整个分部积分法的成败，全看 $\int v\,du$ 是否比 $\int u\,dv$ 更容易——这是本课反复强调的唯一判据。
🧭 使用步骤（四步，照做即可）
步骤 做什么 要点 第一步 把被积表达式拆成 $u$ 与 $dv$ 两部分 拆分方式可以有多种，选哪种看第四步的结果 第二步 对 $u$ 求导得 $du=u'dx$；对 $dv$ 积分得 $v$ 求 $v$ 时不必 加常数 $C$，最后统一加 第三步 套公式写成 $uv-\int v\,du$ 公式里的减号不能丢，这是最常见的失分点 第四步 检查 $\int v\,du$ 是否比原积分简单 若更复杂，说明 $u$ 选错了，回到第一步换一种拆法
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📐 两个最经典的例子（一正一反）
例 1：$\displaystyle\int x e^x\,dx$
取 $u=x$、$dv=e^xdx$，则 $du=dx$、$v=e^x$。代入公式：$\displaystyle\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C$。注意 $\int v\,du=\int e^xdx$ 只剩下指数函数 ——原来那个"幂函数乘指数函数"的乘积结构被消掉了，这就是变简单。
例 2：$\displaystyle\int x\sin x\,dx$
取 $u=x$、$dv=\sin x\,dx$，则 $du=dx$、$v=-\cos x$。代入公式：$\displaystyle\int x\sin x\,dx=-x\cos x-\int(-\cos x)dx=-x\cos x+\sin x+C$。符号陷阱 ：$v=-\cos x$ 带负号，$-\int v\,du$ 里负负得正，写成 $-x\cos x-\sin x$ 就错了。
⚠️ 为什么取 $u=x$ 而不取 $u=e^x$： 若取 $u=e^x$、$dv=x\,dx$，则 $v=\dfrac{x^2}{2}$，于是 $\int v\,du=\int\dfrac{x^2}{2}e^xdx$——被积函数的次数从 1 次升到 2 次，越算越难。这就是"新的积分必须更简单"这条判据的直接体现。
📈 动态演示：乘积求导的反推与两种拆法对比
下图把同一个积分 $\int xe^xdx$ 的四种拆法并列显示。拖动滑块切换，读一读右侧"新的积分"的长相：只有一种会让次数下降。
🔍 分部积分常见错误逐条拆解 · 点击展开 ▼ 🔍 收起逐条拆解 ▲
① 把 $\int v\,du$ 的减号写丢
公式是 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$，中间是减号 。很多同学一紧张就写成 $uv+\int v\,du$。检验办法很简单：把结果求导 。若写成 $xe^x+e^x$，求导得 $e^x+xe^x+e^x=xe^x+2e^x\neq xe^x$，立刻暴露。求导回代是分部积分最可靠的验算手段。
② 误以为 $v$ 一定要加常数 $C$
在 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 中，$v$ 只是 $dv$ 的某一个 原函数。若写成 $v+C_0$，则右边变成 $u(v+C_0)-\int (v+C_0)du=uv+uC_0-\int v\,du-C_0u=uv-\int v\,du$，$C_0u$ 恰好抵消 。所以为了省事，一律取最简单的那个 $v$（不加 $C$），最后一个 $C$ 统一补。
③ 循环分部时忘了"两次分部用的是同一个 $u$ 类型"
$\int e^x\sin x\,dx$ 要分部两次。第一次取 $u=\sin x$（三角优先），第二次必须仍然取三角函数当 $u$ （$u=\cos x$）。如果第二次改取 $u=e^x$，就会得到 $0=0$ 这类无用的恒等式，或者绕回原积分却写不出方程。
④ 拆 $dv$ 时不会凑微分
$dv$ 必须能积出 $v$。$x\,dx$ 可以凑成 $d\left(\dfrac{x^2}{2}\right)$，$\dfrac{dx}{x}$ 凑成 $d\ln|x|$，$e^{2x}dx$ 凑成 $\dfrac{1}{2}d\left(e^{2x}\right)$——这些正是上一课"凑微分"的功夫。分部积分与换元法不是两套割裂的工具，凑微分是分部积分的地基 。
⑤ 结果不化简、不合并
$\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}dx=x\ln x-\int 1\,dx=x\ln x-x+C$。这里 $\int 1\,dx$ 必须老老实实积出来，不能因为"被积函数是 1"就跳过。另外 $\ln x$ 的定义域是 $x\gt0$，若题目给的是 $x\lt0$ 的一支，$\int\dfrac1xdx$ 应写成 $\ln|x|$ 形式；不定积分的标准答案在定义区间上讨论。
12.2 $u$ 的选取 · 反对幂指三分部积分只剩一个技术问题：谁当 $u$，谁进 $dv$。 这一节给出判据与口诀，并且说清楚口诀的适用边界。
⭐ 口诀：反对幂指三（排在前面优先当 $u$）
把常见的五类函数按这个顺序排列，遇到两类函数相乘时，排在前面的一类取作 $u$，排在后面的一类凑进 $dv$ ：
顺序 函数类型 典型代表 取作 $u$ 之后 1（最先当 $u$） 反三角函数 $\arcsin x$、$\arctan x$ 求导后变成代数式（根号或分式），变简单 2 对数函数 $\ln x$、$\ln(1+x^2)$ 求导后变成 $\dfrac{1}{x}$ 一类，代数化 3 幂函数 $x$、$x^2$、$x^3$ 求导后次数降低一次，能把乘积结构"降掉" 4 指数函数 $e^x$、$e^{2x}$、$a^x$ 求导、积分后形状不变，适合凑进 $dv$ 5（最适合进 $dv$） 三角函数 $\sin x$、$\cos x$ 积分容易，适合凑进 $dv$
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🎯 口诀背后的道理（比口诀重要）： 取作 $u$ 的那一类，在 $du=u'dx$ 里会被求导一次 ；凑进 $dv$ 的那一类，在 $v=\int dv$ 里会被积分一次 。所以正确的分配就是：把"求导后会变简单"的放进 $u$，把"积分后不会变复杂"的放进 $dv$。 反三角与对数函数求导后立刻代数化，所以最该当 $u$；指数与三角函数求导、积分后都是"老样子"，所以最适合进 $dv$。口诀只是把这套道理压缩成五个字。
📐 四道必会例题（覆盖口诀的每一档）
例 3：$\displaystyle\int x\ln x\,dx$ —— 对数优先
反对幂指三里"对"在"幂"前面，所以取 $u=\ln x$、$dv=x\,dx$，得 $du=\dfrac{dx}{x}$、$v=\dfrac{x^2}{2}$。于是 $\displaystyle\int x\ln x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\int\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{1}{2}\int x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}+C$。若反过来取 $u=x$，新积分里会出现 $\ln x$ 的平方，越算越难。
例 4：$\displaystyle\int \ln x\,dx$ —— 只有一项也要分部
被积函数只有 $\ln x$ 一项，看着不像乘积。技巧是把 $dx$ 当成 $dv$ ：取 $u=\ln x$、$dv=dx$，则 $du=\dfrac{dx}{x}$、$v=x$。于是 $\displaystyle\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}dx=x\ln x-x+C$。"孤零零一个函数"的积分，一律用 $dv=dx$ 的分部法处理 ，这条经验对 $\ln x$、$\arcsin x$、$\arctan x$ 都成立。
例 5：$\displaystyle\int \arctan x\,dx$ —— 反三角优先
取 $u=\arctan x$、$dv=dx$，得 $du=\dfrac{dx}{1+x^2}$、$v=x$。于是 $\displaystyle\int\arctan x\,dx=x\arctan x-\int\dfrac{x}{1+x^2}dx$。最后这个积分用凑微分：$\dfrac{x\,dx}{1+x^2}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{d(1+x^2)}{1+x^2}$，所以 $\displaystyle\int\arctan x\,dx=x\arctan x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$。注意 $\ln(1+x^2)$ 不必加绝对值，因为 $1+x^2\gt0$ 恒成立。
例 6：$\displaystyle\int x^2\sin x\,dx$ —— 分部两次
幂函数在三角前面，所以取 $u=x^2$、$dv=\sin x\,dx$，得 $du=2x\,dx$、$v=-\cos x$：$\displaystyle\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx$。括号里那个积分还要再分部一次（仍取幂函数当 $u$）：$\displaystyle\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x$。合并得 $\displaystyle\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$。规律：$x^n$ 乘三角函数或指数函数，就要分部 $n$ 次，每分部一次幂次降 1。
⚠️ 口诀的两条边界，考试和做题都会碰到： 口诀只是经验，不是定理。 当两类函数都在口诀里有位置、但按口诀选出来的新积分反而更复杂时，应当服从"新的积分更简单"这条唯一判据 ，果断换一种拆法。同类型相乘时口诀不给答案。 $\int e^x\sin x\,dx$ 是指数与三角相乘，两者都在口诀后半段，谁前谁后并不明显——这类题要靠"分部两次再移项"的固定套路解决，正是下一节的内容。
12.3 循环分部与移项 · 经典陷阱 $\int e^x\sin x\,dx$有一类积分分部一次之后，又绕回了自己 。它看起来像走进了死胡同，其实是送了一个方程过来——把原积分当成未知数解出来就行。
✏️ 完整推导（每一步都要看清楚，共六步）
记 $I=\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$。这里指数与三角"积分后形状都不变"，用口诀分不出高下，于是按惯例两次分部都取三角函数当 $u$ 。
第一次分部 ：取 $u=\sin x$、$dv=e^xdx$，得 $du=\cos x\,dx$、$v=e^x$：
$$I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx$$
第二次分部 ：对 $\displaystyle\int e^x\cos x\,dx$ 再取 $u=\cos x$、$dv=e^xdx$，得 $du=-\sin x\,dx$、$v=e^x$：
$$\int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx=e^x\cos x+I$$
注意这里出现了负负得正 ：$-\int e^x(-\sin x)dx=+\int e^x\sin x\,dx$，正好绕回了 $I$。
移项求解 ：把上式代回第一次分部的结果
$$I=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+I\right)\ \Longrightarrow\ 2I=e^x(\sin x-\cos x)$$
两边同除以 2，再加任意常数：
$$\int e^x\sin x\,dx=\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$$
🎯 为什么"移项"是合法操作： $I$ 是一个待求的函数族 ，$I=e^x\sin x-e^x\cos x-I$ 是它满足的一个方程 。把 $I$ 当作未知量解出来，得到 $2I=e^x(\sin x-\cos x)$，这正是"用方程求积分"。换一个说法：分部积分把 $\int e^x\sin x\,dx$ 与 $\int e^x\cos x\,dx$ 相互表达了，两个未知量、两个关系式，联立即可解出。它不是循环论证，而是解方程组。
📈 动态演示：移项过程可视化
下图把 $I=e^x\sin x-e^x\cos x-I$ 这条"方程"画成两条曲线。拖动滑块看 $x_0$ 处两边数值：无论 $x_0$ 取多少，$2I(x_0)$ 与 $e^{x_0}(\sin x_0-\cos x_0)$ 始终相等——这就是移项的合法性。
🧩 同类题的成套模板
被积函数 分部几次 结果 关键动作 $e^x\sin x$ 2 次 $\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$ 两次都取三角函数当 $u$，再移项 $e^x\cos x$ 2 次 $\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C$ 同上；注意第二次分部产生负号的位置 $e^{ax}\sin bx$ 2 次 $\dfrac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}+C$ 移项后分母出现 $a^2+b^2$，不是 2 $x^2\sin x$ 2 次 $-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$ 每次幂次降 1，不停在同一个函数上
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🔍 怎么判断"该不该移项"： 分部一次之后，看新的积分与原积分是不是同一类型 。若是"幂函数乘三角"，每分部一次幂次就降 1，属于有限次可结束 ，直接做下去；若是"指数乘三角"，两者形状都不变，永远做不完，这时必须停下来移项 。把这两类分清，循环分部就不再是陷阱。
⚠️ 上表中 $e^{ax}\sin bx$ 的结果请勿死记。 它最容易记错的地方是分母：是 $a^2+b^2$ 而不是 $2$，是 $b\cos bx$ 带负号而不是 $+b\cos bx$。考试时建议按 $a=b=1$ 的简版把过程写一遍 再套系数，比背公式可靠得多。
12.4 有理函数的积分 · 部分分式分解这一类积分的被积函数长得最"规矩"：一个多项式除以另一个多项式。它有一套近乎机械的流程，只要分母能因式分解，就一定能把积分算到底。
✏️ 两个定义：真分式与假分式
📗 真分式
分子次数小于 分母次数，如 $\dfrac{2x+3}{x^2+x-2}$。真分式可以直接拆成部分分式。
📕 假分式
分子次数大于或等于 分母次数，如 $\dfrac{x^3}{x+1}$。假分式必须先做多项式除法 ，把它写成一个多项式加一个真分式。
$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=W(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}\quad(\deg R\lt\deg Q)$$
这一步的依据是多项式的带余除法：$P(x)=W(x)Q(x)+R(x)$。多项式部分（$W$）直接逐项积分，剩下那个真分式再走部分分式的流程。
🧭 部分分式的四种基本型
设分母 $Q(x)$ 已经分解为一次因式与不可约二次因式的乘积（实数范围内），则真分式总能拆成下面四种基本项的和：
分母因式 拆成的部分分式 对应积分 单重一次因式 $x-a$ $\dfrac{A}{x-a}$ $A\ln|x-a|+C$ $k$ 重一次因式 $(x-a)^k$ $\dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-a)^k}$ 除第一个外都是幂函数的积分 单重不可约二次因式 $x^2+px+q$ $\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$ 拆成对数项与反正切项的组合 不可约二次因式的 $k$ 次幂 逐次拆出 $\dfrac{B_ix+C_i}{(x^2+px+q)^i}$（$i=1,\dots,k$） 递推处理，本课不展开
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🎯 三条不可省的规则： ① 分子一定是待定常数 （一次因式上放常数 $A$，二次因式上放一次式 $Bx+C$）；② 分母上的幂次必须从 1 次幂一直写到底 （$\dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}$ 两项都不能少）；③ 分解完必须通分验算 或代特殊值验算，不能直接往下积。
📐 三道必会例题
例 7：$\displaystyle\int\dfrac{x+3}{x^2+x-2}dx$ —— 单重一次因式
分母 $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$。设 $\dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$，通分后分子恒等：$x+3=A(x+2)+B(x-1)$。代特殊值法 ：令 $x=1$ 得 $4=3A$，$A=\dfrac{4}{3}$；令 $x=-2$ 得 $1=-3B$，$B=-\dfrac{1}{3}$。于是积分 $=\dfrac{4}{3}\ln|x-1|-\dfrac{1}{3}\ln|x+2|+C$。
例 8：$\displaystyle\int\dfrac{x^3}{x+1}dx$ —— 假分式先做除法
分子 3 次、分母 1 次，是假分式。做带余除法：$x^3=(x+1)(x^2-x+1)-1$，所以 $\dfrac{x^3}{x+1}=x^2-x+1-\dfrac{1}{x+1}$。逐项积分得 $\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x-\ln|x+1|+C$。若一上来就拆部分分式会完全拆不动——因为分子次数比分母高。
例 9：$\displaystyle\int\dfrac{x+2}{x(x+1)^2}dx$ —— 重因式
分母已有 $(x+1)^2$，拆成三项：$\dfrac{x+2}{x(x+1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{(x+1)^2}$。通分得 $x+2=A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx$。令 $x=0$：$2=A$；令 $x=-1$：$1=-C$，即 $C=-1$；再比较 $x^2$ 项系数：左边为 0，右边为 $A+B$，所以 $B=-A=-2$。验证 $x$ 项：右边 $2A+B+C=4-2-1=1$，与左边相符。于是积分 $=2\ln|x|-2\ln|x+1|+\dfrac{1}{x+1}+C$。
⚠️ 例 9 的验算习惯： 待定系数一旦解出，立刻回代检查 （上面用 $x$ 项系数核对）。系数错一个符号，整个积分就全错；而回代检查只要十几秒，必须养成条件反射。全部例题结论本课均已用程序求导回代验算，做法与上面完全一致。
📈 动态演示：一条曲线被拆成两条简单曲线
下图把例 7 的 $\dfrac{x+3}{x^2+x-2}$ 画成实线，把两个部分分式项 $\dfrac{4/3}{x-1}$ 与 $\dfrac{-1/3}{x+2}$ 画成虚线。拖动滑块移动竖直参考线：在任何位置，两个虚线的函数值之和都等于实线的函数值 ——这就是部分分式分解成立的图形含义。
🔍 部分分式分解的四步流程与三种求系数法 · 点击展开 ▼ 🔍 收起分解流程 ▲
① 四步流程：判真假 → 分因式 → 设系数 → 定常数
第一步判真假 ：比较分子与分母的次数。分子次数小于分母次数才是真分式，可以直接拆；否则先做多项式的带余除法，把假分式写成一个多项式加一个真分式。第二步分因式 ：把分母在实数范围内分解成一次因式与不可约二次因式的乘积。第三步设系数 ：按 12.4 节那四种基本型把待定常数摆好，分母上的幂次要从 1 次一直写到底 。第四步定常数 ：解出待定系数，回代验算后再逐项积分。
这四步里最容易被跳过的是第一步。$\dfrac{x^3}{x+1}$ 若直接去拆部分分式会完全拆不动——因为它的分子次数比分母高，必须先用带余除法得到 $x^2-x+1-\dfrac{1}{x+1}$，再逐项积分。
② 求系数的三种手段
代特殊值（最省力） ：让某个因式等于零，把其他的项全部"消掉"。例 7 里令 $x=1$，右边只剩 $A(x+2)$，立刻得 $A=\dfrac{4}{3}$；令 $x=-2$，只剩 $B(x-1)$，得 $B=-\dfrac{1}{3}$。凡是单重一次因式，都优先用这一招，一步一个系数。
比较系数 ：两边展开后按 $x$ 的同次幂对齐，令系数相等。例 9 里令 $x=0$ 得到 $A=2$、令 $x=-1$ 得到 $C=-1$ 之后，再比较 $x^2$ 项系数，左边是 $0$、右边是 $A+B$，于是 $B=-A=-2$。这一招用于"代特殊值消不掉"的系数。
赋值验算 ：系数解完后，随便取一个好算的 $x$（例如 $x=2$）代回原式，看两边是否相等。例 9 可以这样核对：原式 $\dfrac{x+2}{x(x+1)^2}$ 在 $x=2$ 时等于 $\dfrac{4}{2\cdot 9}=\dfrac{2}{9}$，而 $\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2}$ 在 $x=2$ 时等于 $1-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{2}{9}$——两边一致，说明这组系数是对的。要是把第三项前面的减号抄成加号 ，右边就变成 $1-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{4}{9}$，与原式的 $\dfrac{2}{9}$ 不相等，一个符号错误立刻暴露。这就是赋值验算的价值：只要两边对不上，就一定有一处系数错了，必须回头重解。
③ 为什么必须回代验算：三种错误都会"静默通过"
待定系数的错误有一个很坏的性质：它不会让计算卡住，只会让答案悄悄错掉。 漏写一个高次项（如 $(x+1)^2$ 只写 $\dfrac{B}{x+1}$）、符号抄错（把 $-\dfrac{1}{3}$ 写成 $+\dfrac{1}{3}$）、或者是假分式却被当成真分式硬拆——这三种错误在纸面上都"很顺"，直到最后才发现结果不对。
所以本课反复强调两件事：拆完立刻通分验算或代特殊值验算 ；积完再求导回代验算 。第二次验算的判据只有一条——把答案求导，必须等于原来的被积函数。本课三道有理函数例题的结论都已用程序求导回代验证过，做题时请照这个习惯做。
④ 部分分式的图形含义
把分解结果画出来就更直观了。$\dfrac{x+3}{x^2+x-2}$ 与它的两个部分分式项 $\dfrac{4/3}{x-1}$、$\dfrac{-1/3}{x+2}$ 画在同一张图上：后两条虚线在任何一个 $x$ 处的函数值之和，都恰好等于那条实线的函数值。 拖动滑块移动竖直参考线到不同的位置，这个等式始终成立。
这不只是一幅好看的图，它同时给出了一个交叉验算的手段 ：如果三个函数值加不回去，说明系数拆错了。符号计算软件内部做有理函数积分时，用的正是这条"先分解、再逐项积"的路线。
⑤ 各种分母因式对应的积分结果
分解完成后，每一项的积分都有固定模板：单重一次因式给出对数项 $A\ln|x-a|$；重一次因式里，一次幂那项给出对数项，高次幂那项给出幂函数（$\dfrac{1}{(x-a)^{k-1}}$ 型的项，注意带负号与系数）；单重不可约二次因式给出"对数加反正切"的组合——配方以后拆成 $\dfrac{x+c}{x^2+px+q}$（凑微分得对数）与 $\dfrac{1}{x^2+px+q}$（配方后用 $\arctan$）两部分。
也就是说，只要分母能因式分解，有理函数的积分就一定做得到底 ：结果只由对数项、幂函数项与反正切项拼成，不会出现新的函数类型。正因为有这样完整的算法，它才成为数学软件里最可靠的一类积分。
12.5 三角有理式与简单无理函数这一节处理两类"形状奇怪"的积分：被积函数由 $\sin x$ 与 $\cos x$ 经四则运算拼成，或者带有根号。共同的思路只有一条——用代换把它们变成有理函数，然后交给上一节的流程。
✏️ 万能代换：$t=\tan\dfrac{x}{2}$
令 $t=\tan\dfrac{x}{2}$，利用半角公式与直角三角形（对边 $t$、邻边 1、斜边 $\sqrt{1+t^2}$）可以推出三个必需的替换式：
$$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}$$
三条式子一代入，任何形如 $\dfrac{R(\sin x,\cos x)}{S(\sin x,\cos x)}$ 的三角有理式都必然 化为 $t$ 的有理函数，于是"能不能积出来"这个问题就彻底解决了：有理函数总是可以按 12.4 节的流程积出来的。
⚠️ 为什么说"能不用就不用"： 万能代换的代价是把次数抬高 ——$\sin x$ 与 $\cos x$ 都变成分母带 $1+t^2$ 的分式，$dx$ 又带来一个 $\dfrac{2}{1+t^2}$，最后往往得到一个分母次数很高的有理函数，拆部分分式的工作量可能非常大。所以正确的策略是：先用更省力的特殊代换，都不行了再用万能代换兜底。
🧭 三角有理式的代换选择顺序
被积函数的特点 首选代换 为什么省力 只含 $\sin x$（或 $\cos x$ 的偶次幂） 不必代换，用恒等式降次或凑微分 例如 $\int\sin^2x\,dx$ 用降幂公式直接算 关于 $\sin x$ 为奇函数（即 $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$） 令 $u=\cos x$ 剩下一个 $\sin x\,dx$ 正好配成 $-du$ 关于 $\cos x$ 为奇函数 令 $u=\sin x$ 剩下一个 $\cos x\,dx$ 正好配成 $du$ $\sin x$ 与 $\cos x$ 同时变号而函数不变 令 $u=\tan x$ $dx=\dfrac{du}{1+u^2}$，且分母可提出 $\cos^2x$ 以上都不适用 万能代换 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ 一定能化为有理函数，属于兜底方案
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📐 万能代换例题：$\displaystyle\int\dfrac{dx}{2+\cos x}$
令 $t=\tan\dfrac{x}{2}$，则 $\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$、$dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}$，代入得
$$\int\dfrac{dx}{2+\cos x}=\int\dfrac{1}{2+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\dfrac{2\,dt}{1+t^2}=\int\dfrac{2\,dt}{t^2+3}$$
右边是标准的反正切型积分，于是
$$\int\dfrac{dx}{2+\cos x}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\dfrac{t}{\sqrt{3}}+C=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\tan\dfrac{x}{2}\right)+C$$
💡 最后一步必须回代： 不定积分的结果必须是 $x$ 的函数，$t$ 只是过渡变量。"代换后忘记回代"是本节最常见的失分点 ，和上一课第二类换元法的要求完全一致。回代时把 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ 原样写回去即可。
📈 动态演示：万能代换的三角推导
下图的辅助三角形来自 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ 的定义：对边 $t$、邻边 1，由勾股定理斜边为 $\sqrt{1+t^2}$。拖动滑块改变 $t$，三角形的形状随之变化，三条替换式 $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$、$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$、$dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2}$ 里的比例关系就藏在三条边的比值中。
🔍 三角有理式的代换选择与去根号的边界 · 点击展开 ▼ 🔍 收起代换详解 ▲
① 选代换的判据：看被积函数在哪种"变号"下保持不变
面对 $\displaystyle\int R(\sin x,\cos x)\,dx$，先做三个一分钟就能做完的检查，顺序就是先易后难。
检查一 ：把 $\sin x$ 换成 $-\sin x$，若整个式子只差一个负号（关于 $\sin x$ 为奇函数），说明分子上那个 $\sin x$ 可以被"拿掉"，剩下的部分全是 $\cos x$ 的偶次幂，令 $u=\cos x$ 即可，剩下的 $\sin x\,dx$ 正好凑成 $-du$。
检查二 ：把 $\cos x$ 换成 $-\cos x$，若只差一个负号，就令 $u=\sin x$，剩下的 $\cos x\,dx$ 凑成 $du$。这是最常命中的一种。
检查三 ：把 $\sin x$ 与 $\cos x$ 同时 换成相反数，若式子完全不变，说明它只依赖 $\tan x$，令 $u=\tan x$，此时 $dx=\dfrac{du}{1+u^2}$，分母上的 $\cos^2x$ 也能提出去。
三个检查都不命中，才轮到万能代换。表中第一行的"不含代换"指的是另一条更省力的路：只用恒等式降次，例如 $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$，$\displaystyle\int\sin^2x\,dx$ 这样直接就能积出来。
② 万能代换的适应面与代价
它的适应面是"全部"：只要令 $t=\tan\dfrac{x}{2}$，任何三角有理式都必然 化为 $t$ 的有理函数，而有理函数的积分上一节已经证明一定能积到底。所以万能代换的作用是兜底 ——它保证这一类积分不会无解，但不保证算得快。
代价是次数被抬高：$\sin x$ 与 $\cos x$ 都变成分母带 $1+t^2$ 的分式，$dx$ 又带来一个因子 $\dfrac{2}{1+t^2}$。结果常常是一个分母次数很高（四次、六次）的 $t$ 的有理函数，接下来拆部分分式和待定系数的工作量可能非常大。结论就是教材那句话：能用别的代换就不用它 。可如果题目没有别的抓手，它总能把题做出来，这就是它的价值。
③ 回代：不定积分的结果里不许留下 $t$
代换是单向的，回代是必须的。$\displaystyle\int\dfrac{dx}{2+\cos x}$ 算到 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\dfrac{t}{\sqrt{3}}+C$ 只是中间结果，答案里必须把 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ 原样写回去，写成 $x$ 的函数。检查办法很简单：看答案里还有没有 $t$。
回代有时会带出绝对值问题。以 $\displaystyle\int\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}dx$ 为例，代换 $t=\sqrt{x-1}$ 隐含了 $t\ge0$，也隐含 $x\ge1$；所以回代后的表达式只在 $x\gt1$ 上有意义，这正是原被积函数的定义域。做题时顺口交代一句定义域，可以避免"没检查代换的等价性"这类丢分。
④ 去根号的两条路线怎么选
路线一：整体设根号为 $t$。 根号下是 $x$ 的一次式时最省力，因为反解 $x$ 只是解一次方程。例 10 令 $t=\sqrt{x}$，得 $x=t^2$、$dx=2t\,dt$，原式变成 $t$ 的有理函数，再用假分式除法拆开就积出来了。
路线二：先做代数变形。 有些式子根本不用代换，拆一拆就散了。例 11 里 $\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{(x-1)+1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$，两项各自凑微分即可；若改用代换 $t=\sqrt{x-1}$，得到 $2(t^2+1)$，积分结果是同一个（程序已核对两种做法给出同一个原函数族）。先做代数的拆项与配凑，再考虑代换 ，这一步的性价比最高。
⑤ 三条最容易漏掉的完整性检查
检查一：$dx$ 换了吗。 令 $t=\sqrt{x+1}$ 就必须把 $x=t^2-1$ 与 $dx=2t\,dt$ 一起 换掉，只换被积函数不换 $dx$ 是本节最高频的错误。换元法的规矩在上一课就立下了：换元要换彻底。
检查二：回代了吗。 不定积分的答案必须是 $x$ 的函数，凡是答案里还留着 $t$ 的一律算没做完。
检查三：求导回代证实了吗。 把答案求导，看是否等于原来的被积函数——这是唯一一条对任何来源的结果都有效的验算手段，对代换法尤其必要，因为代换过程中最容易在某一步把符号弄丢。
✏️ 简单无理函数：用代换把根号消掉
处理带根号的积分，目标只有一个：让根号消失 。常用的三条路线是
① 整体设根号为 $t$
根号下是 $x$ 的一次式时，直接令 $t=\sqrt{ax+b}$，反解出 $x=\dfrac{t^2-b}{a}$，$dx=\dfrac{2t}{a}dt$，根号立刻消失。
② 三角代换
根号下是 $a^2-x^2$、$a^2+x^2$、$x^2-a^2$ 这类二次式时，用 $x=a\sin t$、$x=a\tan t$、$x=a\sec t$——这正是上一课 11.4 节的内容。
③ 先做代数变形
有时不必代换：$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{(x-1)+1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$，拆开后两项都能直接积。
⚠️ 代换后别忘了 $dx$
令 $t=\sqrt{x+1}$ 就要把 $x=t^2-1$ 与 $dx=2t\,dt$ 一起 换掉。只换被积函数不换 $dx$，是本节最高频的错误。
📐 无理函数两道例题
例 10：$\displaystyle\int\dfrac{dx}{1+\sqrt{x}}$
令 $t=\sqrt{x}$（$x\gt0$），则 $x=t^2$、$dx=2t\,dt$，于是 $\displaystyle\int\dfrac{2t\,dt}{1+t}=2\int\left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)dt=2t-2\ln(1+t)+C=2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C$。这里对 $t$ 的有理函数用了假分式除法 ：$\dfrac{2t}{1+t}=2-\dfrac{2}{1+t}$。
例 11：$\displaystyle\int\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}dx$
路线③：$\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{(x-1)+1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$，两项都用凑微分 $\sqrt{x-1}=u$：$\displaystyle\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}}+2\sqrt{x-1}+C$。对照路线① ：令 $t=\sqrt{x-1}$ 得 $x=t^2+1$、$dx=2t\,dt$，被积式变成 $2(t^2+1)$，积分得 $\dfrac{2}{3}t^3+2t+C$，回代后完全一致。
📈 动态演示：去根号代换的前后对比
下图画出 $y=\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}$ 与代换后的 $y=2(t^2+1)$。拖动滑块看 $x_0$ 与 $t_0=\sqrt{x_0-1}$ 的对应关系：根号里的曲线被"拉直"成了抛物线 。
📌 本节的共同套路一句话总结： 三角有理式和简单无理函数本身没有独立的新公式 ，它们只是"用代换搬到有理函数的地盘上"。所以这一节的真正考点是选哪个代换 与代换后有没有做全 （换 $dx$、换限、回代）。
12.6 医学应用 · 与数学软件和 AI 的联系这一课的工具不是为考试准备的。药代动力学、生理信号分析、统计建模里反复出现的积分，形状恰好就是本课处理的那三类。
💊 应用一：药物总暴露量（曲线下面积 AUC）
恒速静脉滴注停止后，血药浓度常按 $C(t)=C_0te^{-kt}$ 的形式衰减，其中 $C_0$ 与 $k$ 是与剂量、消除速率有关的正常数。要算从停药到无穷远的总暴露量 （浓度—时间曲线下的面积），就要算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}C_0te^{-kt}dt$。先用本课的分部积分处理不定积分部分：
$$\int te^{-kt}dt=-\dfrac{te^{-kt}}{k}-\dfrac{e^{-kt}}{k^2}+C$$
把它求导回代可以验证：$\dfrac{d}{dt}\left(-\dfrac{te^{-kt}}{k}-\dfrac{e^{-kt}}{k^2}\right)=-\dfrac{e^{-kt}}{k}+te^{-kt}+\dfrac{e^{-kt}}{k}=te^{-kt}$，与非负性要求一致。再看 $t\to+\infty$ 时的极限：因为 $k\gt0$，$te^{-kt}\to0$（指数衰减快于幂函数增长），于是无穷区间的总暴露量收敛到 $\dfrac{C_0}{k^2}$。
🎯 这里同时用到了三件东西： ① 分部积分（算不定积分，本课 12.1）；② 极限（判断 $te^{-kt}\to0$，上一章）；③ $\displaystyle\int_0^{+\infty}$ 属于反常积分（下一课 13.5 才正式讲）。所以本课先把不定积分算对，下一课再把"无穷区间怎么取极限"这套规矩补齐。医学上的"总暴露量"是有限值，恰恰因为指数衰减足够快——这也解释了为什么药物不会永远留在体内。
💊 应用二：一级消除的浓度曲线与有理分式
一次口服给药后，血药浓度常用双指数形式 $C(t)=\dfrac{k_aFD}{V(k_a-k)}\left(e^{-kt}-e^{-k_at}\right)$ 描述，其中 $k_a$ 为吸收速率常数、$k$ 为消除速率常数。当两条速率接近时，工程上会用有理分式近似替代，此时算"平均浓度""稳态蓄积因子"等量就会出现本课 12.4 节那种部分分式分解的运算。记住一句话：有理函数积分不是为了凑题，而是为了让这类含参数的药代式子能被解析地处理。
🩺 应用三：三角有理式在哪里出现
周期性生理信号（呼吸节律、心率变异性、血压的呼吸性波动）常用正弦、余弦的叠加来建模。一旦模型里出现 $\dfrac{1}{a+b\cos\omega t}$ 这类分母形式——例如某些振荡模型的积分或周期平均——就落到本课 12.5 节的万能代换范围内。认出"这是三角有理式"，就知道该走哪条路。
🤖 数学软件与 AI：符号积分是怎么做的
今天课上手算的这些积分，计算机也能算，而且更快。理解它"快在哪里、哪里会失手"，对将来用工具做科研计算很重要。
✅ 规则库 + 模式匹配
符号计算系统内部保存了大量积分规则（基本积分表、分部积分、部分分式、代换模板）。看到一个积分，它先做模式匹配 ：像不像 $\int x^ne^{ax}dx$？像就套现成规则。这正是本课口诀"反对幂指三"的自动化版本。
🧱 有理函数是"可判定"的
有理函数的积分有完整的算法 （部分分式 + 对数项与反正切项），所以理论上一定能积出来，计算机不会失败。本课 12.4 节学的那套流程，本质上就是这个算法的手工版。
⚠️ 初等原函数可能不存在
$e^{-x^2}$、$\dfrac{\sin x}{x}$、$\dfrac{1}{\ln x}$ 的原函数无法用初等函数表示 （黎维尔的结论）。这类积分任何符号软件都给不出初等结果，只能给特殊函数或数值解——不是软件不够强，是数学上就没有。
🔍 AI 助教能做什么、不能做什么
大模型可以讲解思路、生成同类练习、指出你算错在哪一步；但它也会一本正经地写错结果 （尤其是符号与系数）。可靠用法是：让它给方法，结果自己用求导回代验证 。本课所有例题的结果都由程序求导回代验算过，这正是面对任何来源的答案都该有的习惯。
🔍 一个必须说清的区分：能算 ≠ 算对，算得出 ≠ 有初等原函数。 "算得出"是数学层面的存在性问题，"算对"是验证层面的问题。面对一个积分结果（无论来自人、软件还是 AI），唯一通用的检验手段就是求导回代 ：把答案求导，看是否等于被积函数。本课每个例题都可以这样自查，请把这一步变成习惯。
12.7 拓展资源 · 自主加练本课配有一条知识短片 （约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示 与公开课检索入口 ，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容：分部积分公式的推导 → 反对幂指三与选 $u$ 的判据 → 循环分部与移项 → 有理函数与部分分式 → 三角有理式与万能代换 → 去根号代换 → 医学中的药物暴露量 → 符号计算与 AI 的边界。本片为中文解说版 （配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
演示 位置 看什么 四种拆法对比 开场（12.0 之前） 切换 $u$ 与 $dv$ 的分配，比较 $\int v\,du$ 的次数是升还是降 拆法次数变化 12.1 节 看同一积分不同拆法下新积分的长相，理解"唯一判据" 循环分部的移项 12.3 节 拖动 $x_0$，验证方程两边数值恒相等，理解移项为何合法 部分分式的面积分解 12.4 节 看一条曲线如何被拆成几条简单曲线的叠加 万能代换的三角推导 12.5 节 看辅助三角形随 $t$ 变化，三条替换式的比例关系一目了然 去根号的"拉直"效果 12.5 节 对比带根号的曲线与代换后的多项式曲线
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📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学""不定积分"，多所高校的完整课程录像都对分部积分与有理函数积分有专题讲解。建议重点看"分部积分的例题课"和"有理函数积分"两讲。
📺 视频平台
搜索"分部积分法""部分分式分解""万能代换"，优先选择板书完整、过程不跳步的视频。看的时候把每一道例题先暂停、自己动手推一遍，再对照。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）第四章：分部积分法、有理函数的积分、三角函数有理式的积分、简单无理函数的积分。课后习题建议全部完成，其中分部积分的练习题不少于 8 道、部分分式分解不少于 5 道。
📌 复习建议： 本课最容易被"看懂"骗过去——例题都跟得上，一动笔就错在符号和系数上。建议按这个顺序练：先练"定型"（拿到题先说清用哪条路线）→ 再练分部积分的四步流程（尤其减号与 $v$ 的符号）→ 最后练部分分式的待定系数与求导回代验算 。每类各做 5 道，并且每道都求导回代一次，手感与正确率会同时上来。
12.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉 🧮 演算台
1️⃣ 计算 $\displaystyle\int xe^{2x}dx$，结果是？
A. $\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+C$
B. $\dfrac{1}{2}xe^{2x}+\dfrac{1}{4}e^{2x}+C$
C. $xe^{2x}-\dfrac{1}{2}e^{2x}+C$
D. $\dfrac{1}{4}xe^{2x}-\dfrac{1}{2}e^{2x}+C$
提交答案
🧮 演算台
2️⃣ 计算 $\displaystyle\int x^2\sin x\,dx$，结果是？
A. $-x^2\cos x-2x\sin x+2\cos x+C$
B. $x^2\cos x-2x\sin x+2\cos x+C$
C. $-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$
D. $-x^2\cos x+2x\sin x-2\cos x+C$
提交答案
🧮 演算台
3️⃣ 计算 $\displaystyle\int\dfrac{x+3}{x^2+x-2}dx$，结果是？
A. $\dfrac{4}{3}\ln|x-1|+\dfrac{1}{3}\ln|x+2|+C$
B. $\dfrac{4}{3}\ln|x-1|-\dfrac{1}{3}\ln|x+2|+C$
C. $\dfrac{1}{3}\ln|x-1|-\dfrac{4}{3}\ln|x+2|+C$
D. $\ln|x-1|+\ln|x+2|+C$
提交答案
🧮 演算台
4️⃣ 计算 $\displaystyle\int\dfrac{dx}{2+\cos x}$，结果是？
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\tan\dfrac{x}{2}\right)+C$
B. $2\arctan\!\left(\tan\dfrac{x}{2}\right)+C$
C. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\tan\dfrac{x}{2}\right)+C$
D. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\sqrt{3}\tan\dfrac{x}{2}\right)+C$
提交答案
🧮 演算台
5️⃣ 计算 $\displaystyle\int\dfrac{x+2}{x(x+1)^2}dx$，结果是？
A. $2\ln|x|+\ln|x+1|+\dfrac{1}{x+1}+C$
B. $2\ln|x|-2\ln|x+1|-\dfrac{1}{x+1}+C$
C. $2\ln|x|-2\ln|x+1|+\dfrac{1}{x+1}+C$
D. $\ln|x|-\ln|x+1|+\dfrac{1}{(x+1)^2}+C$
提交答案
12.9 数学思维导图 · 本课小结🧠 不定积分计算（二）知识思维导图
📘 不定积分
分部积分法
由乘积求导反推 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 四步流程 减号与 $v$ 的符号 $u$ 的选取
反对幂指三 求导变简单的当 $u$ 积分不变形的进 $dv$ 口诀只是经验 循环分部
$e^x\sin x$ 分部两次 出现原积分 移项解出 $I$ 解方程而非循环论证 有理函数积分
假分式先做除法 分母因式分解 四种基本型 待定系数 + 验算 代换去根号
万能代换 $t=\tan\frac{x}{2}$ 能不用就不用 整体设根号为 $t$ 代换后要回代
✅ 本课小结
🧩
分部积分公式 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 是乘积求导法则的反向书写 ：$d(uv)=u\,dv+v\,du$ 两边积分再移项即得。它的作用是用一个新的积分去交换原来的积分 ，成败全看新积分是否更简单。
🎯
选 $u$ 的口诀是"反对幂指三"，但本质判据只有一个：让 $\int v\,du$ 比原积分简单。 做法上就是"求导后会变简单的放进 $u$，积分后形状不变的放进 $dv$"。口诀只是这条判据的经验化压缩，遇到不合用时以判据为准。
🔁
指数乘三角要分部两次再移项 ：$\int e^x\sin x\,dx$ 分部两次后回到自身，得到方程 $2I=e^x(\sin x-\cos x)$，解出 $\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$。移项是解方程，不是循环论证。 判断该不该移项，看新积分与原积分是否"同一类型、降不下来"。
🧱
有理函数积分有近乎机械的流程 ：假分式先用带余除法拆出多项式；真分式把分母因式分解，按四种基本型拆成部分分式，待定系数用"代特殊值 + 比较系数"求出，解出后必须回代验算 ，最后逐项积分（对数项 + 幂函数项 + 反正切项）。
🔄
三角有理式与简单无理函数靠代换"搬家"到有理函数 ：万能代换 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ 理论上万能但会抬高次数，能不用就不用 ；遇到根号就用整体设根号为 $t$ 或三角代换把根号消掉。代换后换 $dx$、换限、回代 三件事一件都不能漏。
🏥
医学上的直接用处 ：$\int te^{-kt}dt$ 用分部积分算出 $-\dfrac{te^{-kt}}{k}-\dfrac{e^{-kt}}{k^2}$，是药物浓度曲线下面积（总暴露量）计算的基础；配合极限可证总暴露量收敛到 $\dfrac{C_0}{k^2}$——药物不会永远滞留体内，靠的正是指数衰减。
🤖
与 AI 的联系 ：符号计算系统靠"规则库 + 模式匹配"求积分，有理函数有完整算法（不会失败），而 $e^{-x^2}$ 这类函数数学上就不存在初等原函数 ，软件给不出结果是正常的。AI 能讲思路但也会写错结果——只信"求导回代"验证过的答案。
🚀
下节预告：定积分基础。 本课算的都是原函数族 （结果带常数 $C$）；下一课要把积分放到闭区间 $[a,b]$ 上，得到的是一个确定的数 ，并用牛顿-莱布尼茨公式 把两者接起来：$\displaystyle\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$。同一个原函数，两种用法，务必分清"函数族"与"数"。