普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
定积分基础
第五章 定积分 · 第 13 次课
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
高等数学 C · 授课对象：医学生 · 2 学时
$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$ · 分割 · 近似 · 求和 · 取极限 · 代数和的面积含义 · 牛顿-莱布尼茨公式
💭 上课之前 · 请想一想
🌡️
体温曲线下面的"面积"，和病人的病情有什么关系？
把体温看成时间的函数，曲线在某一时段的下方面积可以粗略反映"热负荷"的总量：体温越高、持续越久，面积越大。问题是——曲线是弯的，这个面积怎么算？
💊
恒速滴注的总药量，为什么等于"速率曲线下面积"？
因为总量是无数个很小的增量累加出来的。上一课我们学会把"累加"写成不定积分，但它只回答了"原函数是谁"，没有给出一个数。今天要回答的正是：怎样把累加的结果算成一个确定的数。
✦ 带着这两个问题，进入今天的主角：定积分 ✦
🤔 弯边图形的面积怎么求？
不能套矩形公式——那就用"很多很多个矩形"去逼它
✂️分割：把区间切成 n 小段
📏近似：每小段用一个矩形替代
➕求和：把 n 个矩形面积加起来
🎯取极限：让最大段长趋于 0，得到精确值
先看一段动态演示：拖动滑块增加分割份数，观察矩形面积和怎样一点点贴近曲边梯形的真实面积。图中曲线为 $y=x^2$、区间为 $[0,1]$，真实面积是 $\dfrac13$。
"把不会算的图形，切成会算的矩形，再把切分无限变细。"
——这就是定积分的思想，也是整个积分学的起点。
—— 从"穷竭法"到极限语言
∫
积分思想的历史脉络
从"用多边形逼近曲线图形"的朴素想法，到"和式的极限"这一严格定义
人类花了大约两千年
📖 一个古老的难题：弯边的图形
矩形、三角形、圆的面积，古人都能算；但一条曲线围成的图形该怎样求面积？古代数学家给出的思路是"穷竭"：在内接一个多边形、外切一个多边形，让边数不断增加，两个多边形的面积同时向同一个值挤压，那个共同的值就是曲线图形的面积。
这个方法的局限在于：它每次都针对一个具体图形做一次巧妙的构造，没有通用的计算步骤。曲线换一条，办法就得重新想一遍。真正把它变成"可操作的方法"的，是把求和与极限两件事接起来。
🧱 分割把整体切成有限多个"近似会算"的小块
➕ 求和把小块的贡献加起来，得到一个近似总量
🎯 取极限让分割无限变细，近似值的极限就是精确值
🔁 可复用同一套步骤对面积、体积、功、总药量都适用
🌍 为什么叫"定"积分
上一课的积分（不定积分）给出的是一族函数，带一个任意常数 $C$，答案是"一个函数"。而今天要讲的积分，答案是一个数：它由被积函数和两个端点 $a$、$b$ 一起定下来，所以叫"定积分"。
这个名字里的"定"，正是本课最重要的一条红线：定积分是一个确定的数，不定积分是一个函数族。两者记号相似、来源相通（都由"求和"来），但结果的性质完全不同——一个是数，一个是函数。做题时第一个要问自己的问题就是：这题要的是数，还是函数？
上一课我们说积分是求导的逆运算；这一课加上一句：如果把积分的两端"钉住"，它就从函数族变成一个数。
一个负责"求原函数"，一个负责"算总量"，分工完全不同。
💡 学这一课之前
上一课我们学会用不定积分求原函数：$\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$，右边是一族函数。但医学生真正关心的问题往往是"总量是多少"：这一段时间里体温曲线下的面积是多少、这一疗程总药量是多少。这些问题要的是一个数，不是一族函数。今天要做的，就是给积分加上两个端点，把它变成一个确定的数。
🔗
一、从"求原函数"到"算总量"
不定积分回答"谁的导数是 $f$"；定积分回答"$f$ 在 $[a,b]$ 上的累积总量是多少"。两者由牛顿-莱布尼茨公式连起来：只要找到原函数 $F$，把两个端点代进去相减就得到那个数。这是本课最核心的一座桥。
🧱
二、定义本身：四步走
定积分的定义不是一句口号，而是四个动作：分割（把 $[a,b]$ 切成 $n$ 段）→ 近似（每段用一个矩形代替）→ 求和（$n$ 个矩形面积相加）→ 取极限（让最大段长 $\lambda\to0$）。这四步里，最后一步最关键，也最容易被草草略过。
🎯
三、本课的四条主线
①定义：和式的极限，结果是一个数；②几何意义：$f\ge0$ 时是面积，$f$ 变号时是代数和；③性质：线性、区间可加性、保号性、估值定理、积分中值定理；④计算：变上限积分架桥，牛顿-莱布尼茨公式落地。
✦ 上一课求"原函数是什么"，这一课求"总量是多少" ✦
13.1 数学文化 · 从求和到求积
人类先会加，后会乘；先会算矩形面积，才会算曲线下的面积。定积分所做的，正是把"加法"做到无限细、无限多。
🕰️ 一条从"巧法子"到"通用法子"的路
| 阶段 | 人们怎样求曲线下的面积 | 留下的问题 |
|---|
| 穷竭阶段 | 内接、外切多边形轮番逼近，用几何技巧"夹"出面积 | 每换一条曲线都要重新设计，没有通用步骤 |
| 求和阶段 | 把区间分成若干小段，每段用矩形代替，算出和式 | 和式只是近似；分多少段才够？误差怎么控制？ |
| 极限阶段 | 让最大段长 $\lambda$ 趋于 $0$，取和式的极限，定义为定积分 | 极限是否存在？哪些函数保证可积？ |
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🌍 定积分带来的两样东西
第一样是统一的算法。不管是面积、体积、变速运动的路程、变力做的功，只要能把"总量"切成"小块贡献之和"，就能写成一个定积分。医学里的曲线下面积、总药量、累积剂量，用的都是同一个框架。
第二样是一条捷径。如果只会按定义求和，那几乎每一道题都算不动。微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）把定积分的计算转化为求原函数：先找到 $F$ 使 $F'=f$，再算 $F(b)-F(a)$。上一课辛苦背下来的基本积分表，价值在这里一下子被放大了。
🔬 记号 $\int$ 的来历：它是拉丁文 summa（总和）的首字母 $S$ 的拉长写法。这个记号本身就提示了定积分的出身——它是一个和式的极限。而 $\mathrm{d}x$ 则记着"每一小段的宽度"。
📌 一个容易混淆的点："积分"这个词在本课程里有两个完全不同的用法。不定积分 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ 没有上下限，结果是一族函数 $F(x)+C$；定积分 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ 有上下限，结果是一个数。看到记号先看有没有上下限、再看要把答案写成什么，这是本课的第一个习惯。
🧭 本课的四个动作，先记住名字
✂️ 分割
在 $[a,b]$ 内插入分点 $a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b$，把区间切成 $n$ 个小区间，第 $i$ 段长度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。
📏 近似
在第 $i$ 段上任取一点 $\xi_i$，用矩形面积 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 近似那一小条曲边梯形的面积。
➕ 求和
把 $n$ 个小矩形加起来，得到和式 $\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$，它是对总面积的近似值。
🎯 取极限
令 $\lambda=\max\{\Delta x_i\}\to0$，若和式的极限存在且与分法、与 $\xi_i$ 的取法都无关，这个极限就叫定积分。
13.2 定积分的定义 · 本课重点
定义看起来长，其实只有一句话：定积分是一个和式的极限。真正要抓住的是"极限存在"意味着什么。
✏️ 定义（四步写成一个式子）
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。用分点
$$a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_{n-1}\lt x_n=b$$
把 $[a,b]$ 任意分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$，记第 $i$ 段的长度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，并在每一段上任取一点 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作和式
$$S_n=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$$
记 $\lambda=\max\limits_{1\le i\le n}\Delta x_i$（称为分割的模，也就是最宽的那一小段）。如果当 $\lambda\to0$ 时，$S_n$ 的极限存在，并且这个极限既不依赖于区间的分法，也不依赖于 $\xi_i$ 的取法，就称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，并把这个极限叫做 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分：
$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$$
其中 $a$ 叫积分下限，$b$ 叫积分上限，$[a,b]$ 叫积分区间，$f(x)$ 叫被积函数，$x$ 叫积分变量，$f(x)\,\mathrm{d}x$ 叫被积表达式。
⚠️ 为什么是 $\lambda\to0$ 而不是 $n\to\infty$？因为"段数变多"并不等于"每段都变细"——完全可以分成一万段，其中有一段特别宽。只有当最宽的那一段都趋于 $0$ 时，所有段都一起变细，近似才可能真的精确。这是本课第一个容易被忽略的细节。
① 分割：把不会算的切成会算的
在 $[a,b]$ 内插入有限个分点，就把一个大区间切成 $n$ 个小区间。之所以要切，是因为"曲边梯形"不会算，但"矩形"会算。分割这一动作本身没有技巧，它的价值在于把问题降到已知。
注意分点可以任意取，不必等分。等分只是最方便的一种取法：此时每段长度都是 $\dfrac{b-a}{n}$，和式写起来最整齐。
② 近似：每一步都"以直代曲"
在小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上，函数值变化不大，就用其中一个函数值 $f(\xi_i)$ 当作这一整段的高度，于是这一小条曲边梯形被换成了一个矩形，面积近似为 $f(\xi_i)\Delta x_i$。
这里"以直代曲"是关键：区间越窄，这种替换的误差越小。所以第 ④ 步必须让段长趋于零——近似是在无限细分的过程中被"磨"成精确的。
③ 求和：把近似值拼成整体
把 $n$ 个小矩形加起来得到 $S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$。它是对总面积的近似，也是可以真算出来的一个数——因为它是有限多项的和。
当 $f(x)\ge0$ 时，每个 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 都是正数，$S_n$ 随着分割变细而单调地逼近真实面积；但当 $f$ 变号时，$f(\xi_i)$ 可能为负，$S_n$ 里的项就有正有负——这正是 13.3 节要讲的"代数和"。
④ 取极限：把"近似"变成"精确"
令 $\lambda\to0$，$S_n$ 是否一定趋于某个确定的数？不一定。$\lambda\to0$ 时 $n$ 必然无限增大，这个极限是无限多项和的极限，与我们上一课熟悉的极限、和上一课学的数列极限都不同，需要单独定义。
关键在于"两无关"：换一种分法、换一种取 $\xi_i$ 的方式，极限值都必须一样。只有满足这一点，这个极限才配称为"$f$ 在 $[a,b]$ 上的积分"——因为它必须只由 $f$、$a$、$b$ 决定，不能沾上人为选择的痕迹。
⑤ 一个具体验算：$f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上
等分并把 $\xi_i$ 取在每段右端点，得 $S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\dfrac{i}{n}\right)^2\cdot\dfrac1n=\dfrac{1}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$，当 $n\to\infty$ 时趋于 $\dfrac{2}{6}=\dfrac13$。
同一题改取左端点，和式为 $\dfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$，极限同样是 $\dfrac13$；取中点算出的和式极限也是 $\dfrac13$。三种取法给出同一个数，这正是"与 $\xi_i$ 取法无关"的直观体现。本例的三种和式都经程序逐步验算（误差分别为 $\dfrac{3n-1}{6n^2}$、$\dfrac{3n+1}{6n^2}$）。
⭐ ★红线：定积分是一个数，不定积分是一个函数族
| 对比项 | 不定积分 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ | 定积分 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ |
|---|
| 结果是什么 | 一族函数 $F(x)+C$，含任意常数 | 一个确定的数，不含任何任意常数 |
| 与上下限的关系 | 没有上下限 | 上限、下限都是它的一部分，改端点就改结果 |
| 与积分变量记号的关系 | 结果的变量就是 $x$，换成 $t$ 就换了变量 | 与积分变量记号无关：$\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ |
| 常见错误 | 漏写常数 $C$ | 末尾画蛇添足写上 $+C$ |
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🎯 为什么定积分里绝不会出现 $C$：按定义，定积分是和式的极限，和式里的每一项都是确定的数，极限当然也是确定的数，跟"任意常数"没关系。等 13.5 节用牛顿-莱布尼茨公式计算时你会看到：$C$ 会在 $F(b)-F(a)$ 的相减中自动抵消，所以写不写都不影响结果——但正确的做法是不写。
📐 可积的充分条件（本课只给结论，不要求证明）
✅ 条件一：闭区间上连续
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。这是最常用的一条，本课遇到的函数基本都满足。
✅ 条件二：有界且只有有限个间断点
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，并且只有有限个间断点，则 $f$ 可积。分段函数只要段数有限、每段连续，就属于这一类。
🚫 反例：无界一定不可积
$f(x)=\dfrac1{x^2}$ 在 $[-1,1]$ 上无界，无论怎样分割，靠近 $0$ 的那一小段都能让和式任意大，所以它在 $[-1,1]$ 上不可积（这类问题属于下一章的反常积分）。
🧷 有界但不连续，也可能可积
"连续"是可积的充分条件而不是必要条件。例如在 $[0,1]$ 上只挖掉一点、令该点函数值为别的数，函数有界、只有一个间断点，仍然可积，而且积分值与挖点前相同。
🔍 注意"可积"与"能算出来"是两件事：可积说的是极限存在（定积分有意义），能不能算出具体数值则是另一回事。也有一类函数可积但没有初等原函数（例如 $e^{-x^2}$），这时只能用数值方法求近似值。可积性保证"这个数存在"，牛顿-莱布尼茨公式负责"怎样把它算出来"。
📈 动态演示：矩形阶梯怎样贴合曲边梯形
下图仍以 $y=x^2$、区间 $[0,1]$ 为例，用左端点作矩形高度。增大 $n$，看阶梯的"锯齿"怎样一点点被磨平。
📊 一个必须说清的细节（误差是几阶？）
对 $f=x^2$ 在 $[0,1]$ 上、取左端点的矩形和，误差恰好是 $\dfrac{3n-1}{6n^2}$，当 $n$ 很大时约等于 $\dfrac{1}{2n}$——它是 $h=\dfrac1n$ 的一阶量，所以 $n$ 加倍，误差只降为约一半，而不是四分之一。梯形法才是二阶的：梯形和误差为 $\dfrac{1}{6n^2}$，$n$ 加倍误差降为四分之一。别把两种方法的阶数混在一起。
🔍 从这张图能读出什么
① $f\ge0$ 时，矩形和始终是真实面积的近似值，可以从下方或上方逼近；② 分割越细，和式越接近真实值，但永远不是"等于"，等号只在取完极限之后才成立；③ 极限值 $\dfrac13$ 与"取左端点、右端点还是中点"无关。
13.3 定积分的几何意义 · 有向面积 · ★红线
$f\ge0$ 时，定积分就是曲边梯形的面积；但 $f$ 一旦变号，它就不再是"面积"了，而是代数和——这才是定积分几何意义的完整说法。
📐 情形一：$f(x)\ge0$ 时是面积
设 $f(x)\ge0$ 且在 $[a,b]$ 上连续。由直线 $x=a$、$x=b$、$x$ 轴以及曲线 $y=f(x)$ 围成的图形叫做曲边梯形，它的面积就是定积分
$$A=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\quad(f(x)\ge0)$$
理由很直接：在分割—求和的过程中，每一项 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 都是正的，代表一个小矩形的面积；取极限后，和式就成了曲边梯形的面积。
🎯 情形二：$f$ 变号时是代数和（★红线）
如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取负值，那么对应的 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 也是负数。因此定积分不再等于"图形面积"，而是各块面积的代数和：$x$ 轴上方的部分取正号，$x$ 轴下方的部分取负号，正负相抵之后的净结果，才是定积分的值。
$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=A_{\text{上}}-A_{\text{下}}$$
⚠️ 务必分清两个不同的量：「定积分」是有向面积（代数和，可以为负、可以为零）；「图形的面积」是几何面积（永远非负）。若题目问的是"图形面积"，而 $f$ 在区间上变号，就必须先找出零点、分段积分，再把各段积分取绝对值相加。
📈 动态演示：正负面积怎样抵消
取 $f(x)=x^3-x$，区间 $[-1,1]$。它在 $[-1,0]$ 上为正、在 $[0,1]$ 上为负，两块面积大小相等（各为 $\dfrac14$）。拖动滑块左右移动分界点 $c$，观察两段积分怎样从"完全抵消"变成"不再抵消"。
🧮 本例的三组数（均已程序验算）
① $\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,\mathrm{d}x=+\dfrac14$（这一段 $f\gt0$）；② $\int_{0}^{1}(x^3-x)\,\mathrm{d}x=-\dfrac14$（这一段 $f\lt0$）；③ 于是 $\int_{-1}^{1}(x^3-x)\,\mathrm{d}x=0$，而图形的几何面积是 $\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12$。0 与 1/2 是两个不同的答案，取决于题目问的是定积分还是面积。
🔬 顺带一个结论：奇函数在对称区间上积分为零
$x^3$、$x$ 都是奇函数，它们的差也是奇函数，而区间 $[-1,1]$ 关于原点对称，所以正负两块恰好相抵。这不是巧合：奇函数的图像关于原点中心对称，$x$ 轴上下的两块面积总是一样大。第 14 次课会把这条结论正式写出来。
🧮 用几何意义直接算的几个例子
| 定积分 | 几何图形 | 结果 |
|---|
| $\int_0^1 x\,\mathrm{d}x$ | 底为 1、高为 1 的直角三角形 | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x$ | 半径为 1 的上半圆 | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $\int_{-1}^{1}x^3\,\mathrm{d}x$ | 关于原点对称，正负两块全等 | $0$ |
| $\int_{0}^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x$ | 上半波与下半波全等，符号相反 | $0$ |
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💡 为什么这几条值得记：它们说明定积分不总需要"求原函数"才能算。当图形是熟悉的几何形状（三角形、半圆、全等的正负块）时，看图就能写答案，而且可以作为检验算错的照妖镜——如果你用公式算 $\int_{-1}^{1}x^3\,\mathrm{d}x$ 得到非零，那一定是算错了。
13.4 定积分的基本性质
这些性质没有一条需要"重新求极限"来证明——它们都能从定义里的和式直接看出来。理解它们的来路，比背下来更有用。
🔧 三条约定与线性性质
为了书写方便，先约定两条：$\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0$；$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x$（交换上下限，积分变号）。在此约定下成立：
$$\int_a^b\bigl[\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr]\mathrm{d}x=\alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\beta\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$$
这就是线性性质：常数可以提到积分号外，加减可以拆开算。它的根据是极限的线性运算法则——和式本身是线性的，取极限后依然线性。
💡 线性性质的实用价值：一个复杂的被积函数，只要能拆成几个"好算"的部分，就可以分开算再合并。例：$\int_0^2(x^2+1)\,\mathrm{d}x=\int_0^2x^2\,\mathrm{d}x+\int_0^21\,\mathrm{d}x=\dfrac83+2=\dfrac{14}{3}$。
➕ 区间可加性
$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x$$
不论 $c$ 落在 $[a,b]$ 的内部还是外部，这个等式都成立。它的直觉含义是"总量可以分段累加"：从 $a$ 走到 $b$ 的累积量，等于先从 $a$ 走到 $c$、再从 $c$ 走到 $b$ 的累积量之和。
⚠️ 它的最重要作用是"处理间断点"：若 $f$ 在 $c$ 处不连续（例如分段函数的接缝），就必须以 $c$ 为界把积分拆成两段分别算，不能直接跨过 $c$ 使用牛顿-莱布尼茨公式。分段函数积分题的标准第一步，就是找出所有接缝。
📊 保号性、估值定理与积分中值定理
| 性质 | 条件 | 结论 | 直觉说法 |
|---|
| 保号性 | $f(x)\ge0$（且不恒为 0），$a\lt b$ | $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\ge0$（且 $\gt0$） | 横轴上方的图形，累积量不为负 |
| 保序性 | $f(x)\le g(x)$，$a\lt b$ | $\int_a^b f\le\int_a^b g$ | 处处更小，积分也更小 |
| 估值定理 | $m\le f(x)\le M$ | $m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le M(b-a)$ | 图形夹在两个矩形之间 |
| 积分中值定理 | $f$ 在 $[a,b]$ 上连续 | 存在 $\xi\in[a,b]$，使 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)$ | 必有一点的函数值等于"平均值" |
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积分中值定理里出现的那个值 $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$，就是函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值。它把"积分"与"平均"这两件事连了起来：积分除以区间长度，就是平均值。
① 为什么 $\int_a^a=0$
当上限与下限相等时，区间长度为 $0$，任何分法下每一小段的长度 $\Delta x_i$ 都是 $0$，和式每一项都等于 $0$，极限当然是 $0$。它也可以看成区间可加性在 $b=c$ 时的特例。
② 为什么交换上下限要变号
回到和式：如果区间方向反过来，每一小段的长度就从 $\Delta x_i\gt0$ 变成了 $-\Delta x_i$，整个和式随之取相反数，取极限后积分变号。所以 $\int_b^a=-\int_a^b$，这不是人为规定，而是"有向面积"的必然结果。
③ 区间可加性的两种用法
用法一（拆）：遇到分段函数或变号的被积函数，先找分界点，把积分拆成几段，每段上函数表达式统一、符号不变，再逐段计算。
用法二（合）：如果两段积分的被积函数相同、区间恰好相接，可以把它们合成一段，省去一次计算。要留意 $c$ 在区间外时同样成立，例如 $\int_0^1=\int_0^5+\int_5^1$——后一项是负数，正好把多算的部分扣回来。
④ 估值定理怎么用
估值定理不需要求出积分的值，只用来判断积分落在什么范围里。以 $\int_0^2(x^2+1)\,\mathrm{d}x$ 为例：在 $[0,2]$ 上 $x^2+1$ 的最小值是 $1$、最大值是 $5$，于是
$$2\times1\le\int_0^2(x^2+1)\,\mathrm{d}x\le2\times5,\quad\text{即}\quad 2\le I\le10.$$
而精确值是 $\dfrac{14}{3}\approx4.67$，确实落在区间内。这类不等式题考的不是计算，而是"夹住"的能力。
⑤ 积分中值定理的医学味道
把 $f(t)$ 看成血药浓度、$[0,T]$ 看成一个给药间隔，那么 $\dfrac{1}{T}\int_0^Tf(t)\,\mathrm{d}t$ 就是这一间隔内的平均血药浓度，而中值定理保证：一定存在某个时刻 $\xi$，那一刻的浓度恰好等于平均值。
注意定理只保证"存在"，不保证"唯一"，也不告诉你 $\xi$ 具体是多少。但这种"存在性"保证在临床上很有分量——它是"平均浓度"这个概念能够落到某个真实时刻的依据。
📈 动态演示：区间可加性
下图取 $f(x)=x^3-x$ 在 $[-1,3]$ 上。拖动分界点 $c$（$c$ 可以跑到区间外面），观察两段积分如何随 $c$ 变化，而它们的和始终保持不变。
🧮 本例的数字（已用 sympy 逐步验算）
先求原函数：$\int(x^3-x)\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}$。于是 $\int_{-1}^{3}(x^3-x)\,\mathrm{d}x=\left(\dfrac{81}{4}-\dfrac{9}{2}\right)-\left(\dfrac14-\dfrac12\right)=\dfrac{63}{4}-\left(-\dfrac14\right)=16$。程序还验证了：对区间内、外的多个 $c$，分段和 $\int_{-1}^{c}+\int_{c}^{3}$ 都等于 $16$。
13.5 变上限积分 · 牛顿-莱布尼茨公式 · 本课核心
这一节回答本课最实际的问题：不用真的去求和，怎样把定积分算出来？答案分两步——先造一个"会求导的积分"，再用它搭一座桥。
🔗 第一步：把上限变成变量，造一个新函数
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。固定下限 $a$，让上限在 $[a,b]$ 内变动，记作 $x$，就得到一个以 $x$ 为自变量的函数：
$$\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\qquad(a\le x\le b)$$
它叫变上限积分（也叫积分上限函数）。请注意被积变量写成了 $t$ 而不是 $x$——因为 $x$ 已经"占"给了上限，必须换个字母，以免一个符号身兼两职。
$\Phi(x)$ 的含义是"从 $a$ 累积到 $x$ 的总量"。$x$ 越大，累积得越多，所以它天然是一个函数；而它的自变量正是那个上限。
⭐ 第二步：Φ 的导数就是被积函数
$$\Phi'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t=f(x)\qquad(f\ \text{连续})$$
这条结论叫微积分基本定理。它的意思是：变上限积分对被积函数求导，等于把上限直接代进被积函数。也就是说 $\Phi$ 正是 $f$ 的一个原函数——这一下就把"积分"和"原函数"这两件原本分开的事接上了。
💡 直观理解：$\Phi(x)$ 是"累积到 $x$ 的量"，$\Phi'(x)$ 是"在 $x$ 处累积增长的速度"。增长速度当然等于此处被积函数的值——$f$ 越大，累积得越快。这正是上一课"积分是求导的逆运算"的另一面。
🌉 第三步：牛顿-莱布尼茨公式
既然 $\Phi$ 是 $f$ 的一个原函数，而 $f$ 的任意两个原函数只相差一个常数，那么只要我们能找到 $f$ 的任何一个原函数 $F$（$F'=f$），就有 $\Phi(x)=F(x)+C$。利用 $\Phi(a)=0$ 定出常数，再取 $x=b$，就得到
$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b$$
这就是牛顿-莱布尼茨公式（简称 N-L 公式）。它把定积分的计算彻底转化成了求原函数：上一课背下来的基本积分表，从这一课起真正有了用武之地。
🎯 ★红线（必须写在卷面上的一步）：使用 N-L 公式前，必须先确认$f$ 在 $[a,b]$ 上连续（至少要有原函数存在且在闭区间上连续）。若 $f$ 在区间内有间断点，公式可能给出完全错误的结果——例如 $\dfrac{1}{x^2}$ 在 $[-1,1]$ 上有一个无穷间断点，直接套公式会算出 $-2$，但这个积分其实根本不存在。做题时请养成习惯：先看条件，再套公式。
① 标准三步走
第一步（查条件）：确认被积函数在积分区间上连续。有接缝、有奇点就先按区间可加性拆开。
第二步（求原函数）：求出一个原函数 $F(x)$（不必写 $+C$，写了也会在相减时抵消）。
第三步（代端点相减）：算 $F(b)-F(a)$，用记号 $\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b$ 书写，最后得到一个数。
② 三个算例（均经程序独立验算）
$\int_0^2(x^2+1)\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^2=\dfrac83+2=\dfrac{14}{3}$。
$\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\pi}=1-(-1)=2$。
$\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\Bigl[\arctan x\Bigr]_0^1=\dfrac{\pi}{4}$。
③ 陷阱一：被积函数在区间内有间断点
经典反例：$\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x$。若硬套公式：原函数 $-\dfrac1x$，代入得 $(-1)-1=-2$，得到一个负数——而 $\dfrac{1}{x^2}\gt0$，积分不可能为负！
错在哪里？$\dfrac{1}{x^2}$ 在 $x=0$ 处无界且不连续，$x=0$ 是第二类间断点，"$f$ 在 $[a,b]$ 上连续"这一前提被破坏了。事实上 $\int_{1/2}^{1}\dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x=1$，而把左端往 $0$ 靠近时这个积分可以任意大，所以它作为正常积分不存在。这类无界情形的处理属于下一章（反常积分）。
④ 陷阱二：把定积分与不定积分的写法混在一起
常见错法：写成 $\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^3}{3}+C=\dfrac13+C$。这里有两处问题：一是带上下限的积分结果必须是数，不该再含 $x$；二是不该出现 $C$。正确的写法是 $\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac13$。方括号加两条竖线，是"代端点"的信号。
⑤ 陷阱三：变上限积分求导遇上复合上限
如果上限不是 $x$，而是 $x$ 的函数 $u(x)$，就要用链式法则：把 $\Phi$ 看成 $\Phi=\int_a^{u}f(t)\,\mathrm{d}t$，于是
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^{u(x)}f(t)\,\mathrm{d}t=f\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).$$
例如 $\Phi(x)=\int_0^{x^2}t^2\,\mathrm{d}t$：先算出 $\Phi(x)=\dfrac{(x^2)^3}{3}=\dfrac{x^6}{3}$，再求导得 $\Phi'(x)=2x^5$；用链式法则一步到位也对：$(x^2)^2\cdot(x^2)'=x^4\cdot2x=2x^5$。两种做法结果一致，程序已验算。
⑥ 陷阱四：积分变量用什么字母都行
$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ 与 $\int_a^bf(t)\,\mathrm{d}t$ 是同一个数——积分变量只是"占位符"，它的名字不影响结果。这一点在 N-L 公式里格外重要：因为算完 $F(b)-F(a)$ 之后，字母全都消失了，剩下的只是一个数。
🧪 数值验证：N-L 公式到底对不对
下图取 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,4]$ 上。拖动上限，同时读出两个量：累积面积（按定义算，即 $\Phi(x)=\dfrac23x^{3/2}$）与被积函数值 $f(x)=\sqrt{x}$。前者正是后者的原函数——两者的数值关系一眼可见。
🧮 两种算法给出同一个数
对 $\int_0^{b}\sqrt{x}\,\mathrm{d}x$：用 N-L 公式得 $\dfrac23b^{3/2}$；用梯形法把 $[0,b]$ 分成 200 段做数值积分，两者之差小于千分之一。这就是本课全部结论的验算方式——凡是用公式算出的定积分，都可以再用数值积分交叉核对一遍。
📐 一个重要提醒
数值方法（矩形法、梯形法）与 N-L 公式各有分工：数值方法几乎对任何可积函数都可用，但只能给近似值；N-L 公式只要条件满足就能给出精确值，但要求先找到原函数。有些可积函数没有初等原函数，这时只能回到数值方法。
13.6 医学应用与 AI 联系
定积分在医学里几乎无处不在，因为它的本质就是"把连续变化的量累加起来"。而在 AI 里，它同样扮演两个角色：描述总量，以及训练时"把梯度累加"。
💊 应用一：血药浓度—时间曲线下面积（AUC）
设某药的血药浓度为 $C(t)$（随时间连续变化），从给药时刻 $0$ 到观察终点 $T$，曲线下方的面积记作
$$\mathrm{AUC}=\int_0^{T}C(t)\,\mathrm{d}t$$
它反映的是药物在这段时间内的总暴露量：浓度越高、维持越久，积分越大。
🔬 为什么必须是"定积分"而不是"不定积分"
临床上要的是一个数——总暴露量是多少，用来比较两种给药方案的暴露高低。不定积分给出的是一族函数，无法直接比较大小；而一旦把区间钉成 $[0,T]$，得到的 AUC 就是一个确定的数。这正是本课第一条红线在医学里的具体体现。
📏 单位信息也藏在积分里
若浓度单位是 mg/L、时间单位是 h，那么"浓度乘时间"的单位就是 mg·h/L——AUC 的单位是"浓度乘时间"。积分号里的 $\mathrm{d}t$ 不只是记号，它带着时间量纲；漏掉它，单位就说不通了。
⏱️ 为什么会有"从 0 到无穷"的面积
严格说药物要完全消除需要无限长时间，所以理论上会考虑 $\int_0^{+\infty}C(t)\,\mathrm{d}t$。这种"上限取无穷"的积分已经超出本课范围，它叫反常积分，是第 15 次课的内容。本课只处理"It 有界"的定积分——先把有界情形学扎实，再看无穷的情形。
🌡️ 应用二：把"总量"读成面积
| 医学量 | 写成定积分 | 读法 |
|---|
| 总暴露量（AUC） | $\int_0^{T}C(t)\,\mathrm{d}t$ | 浓度曲线下的面积 |
| 恒速滴注的总药量 | $\int_0^{T}v\,\mathrm{d}t=vT$ | 速率恒定，面积就是矩形 |
| 某时段的平均浓度 | $\dfrac{1}{T}\int_0^{T}C(t)\,\mathrm{d}t$ | 积分中值定理保证必有一刻等于它 |
| 累积剂量（变化率已知） | $\int_{t_1}^{t_2}r(t)\,\mathrm{d}t$ | 速率曲线下的面积 |
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⚠️ 不要被"面积"两个字绑住：定积分的"面积"是有向的。如果某个被积函数（例如"浓度相对基线的偏差"）在观察期内由正变负，那么定积分算的是净偏差，正负会相抵；若关心的是"偏差的绝对大小"，就必须先找零点、分段积分、再取绝对值相加。先问清题目要的是"代数和"还是"几何面积"。
🤖 数学与 AI：积分在模型里的两个身份
📉 身份一：描述"总量"
把损失函数沿训练过程的曲线记为 $L(t)$，那么 $\int_0^{T}L(t)\,\mathrm{d}t$ 就是这段时间内的"累计损失"，是一个标量指标；类似地，验证集误差曲线下的面积也常被用来比较不同训练的稳定性。
➕ 身份二：梯度累加与有限和
训练时"把一批样本的梯度加起来再更新"，本质就是积分定义里的求和那一步：每一样本贡献一个"小块"，加起来得到总方向。批量越大、分得越细，这个和就越接近真实的期望梯度。
🧮 身份三：数值求积就是"黎曼和"
很多概率模型要对连续分布求积分才能得到边缘似然，而这个积分往往算不出原函数，于是用数值求积：采样若干个点、各自乘一个权重再求和——这正是本课"分割—近似—求和"的计算机版本，只不过 $\lambda\to0$ 被换成了"采足够多的点"。
🔍 身份四：$\lambda\to0$ 的纪律
本课强调"必须是最宽的那一段趋于 $0$"。这句话在采样里同样成立：如果绝大多数点采得很好、却有几个点落得极远，那么和就可能被那些"最宽的段"带偏。这正是"分割的模"这一概念在数值计算中的现实意义。
🔍 必须分清的一点："有限和"与"定积分"不是同一个东西。批量梯度是有限项的和，只有当批量足够大、并且样本确实来自目标分布时，它才近似于那个积分。把近似当成相等，是理解这类模型时最常见的偏差。本课给的是这两种运算之间的桥梁，不是"它们完全一样"。
🧠 一条把医学与 AI 串起来的思路
把这节课的三件事放在一条线上：分割—近似—求和—取极限给出总量（医学的 AUC、AI 的累计损失）；代数和告诉我们正负会相抵（必要时先分段再取绝对值）；N-L 公式让我们不必真的求和，只要找到原函数就能算出那个数。这条线上的每一步，都可以在页面上用鼠标拖动验证。
13.7 拓展资源 · 自主加练
本课配有一条知识短片（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容：从求和到求积 → 分割—近似—求和—取极限 → 定积分是一个数（与不定积分的区别）→ 曲边梯形与有向面积 → 可积的充分条件 → 基本性质（线性·可加性·保号性·估值定理·中值定理）→ 变上限积分与微积分基本定理 → 牛顿-莱布尼茨公式与用它的三个前提 → 医学 AUC 与 AI 里的累加。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
| 演示 | 位置 | 看什么 |
|---|
| 分割—近似—求和 | 开场 | 增大 $n$，左端点和与右端点和一升一降，把真实值 $1/3$ 夹在中间 |
| 曲边梯形面积 | 13.2 节 | 阶梯锯齿怎样被磨平；顺便看清"误差是一阶还是二阶" |
| 有向面积的正负抵消 | 13.3 节 | 拖动分界点，看两段积分什么时候正好抵消、什么时候不再抵消 |
| 区间可加性 | 13.4 节 | 分界点 $c$ 跑到区间外，两段积分之和为什么仍然不变 |
| 变上限积分与它的导数 | 13.5 节 | 累积面积的增长速度是否恰等于曲线的高度 |
| N-L 公式的数值验证 | 13.5 节 | $F(b)-F(a)$ 与数值积分是否给出同一个数 |
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📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学"或"医科高等数学"，可找到多所高校的完整课程录像。定积分这一章通常归在"定积分及其应用"模块内，重点看"定积分的定义""微积分基本定理"两讲。
📺 视频平台
在主流视频平台搜索"定积分定义""牛顿莱布尼茨公式""变上限积分求导"，建议优先选择播放量大、有板书推导的视频，边看边把"分割—近似—求和—取极限"四步自己写一遍。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）第五章：定积分的概念、定积分的性质、微积分基本定理（变上限积分与牛顿-莱布尼茨公式）。课后习题建议全部完成，其中"用定义或几何意义求值"的题至少做 3 道，"用 N-L 公式计算"的题至少做 8 道。
📌 复习建议：本课最容易"听懂但做错"的地方有三处——① 把定积分的结果写成含 $C$ 的函数；② 被积函数变号时直接当面积算；③ 不检查连续性就套 N-L 公式。建议按这个顺序练：先练几何意义直接读面积 → 再练 N-L 公式的标准三步 → 最后专门找几道"有间断点"的题练查条件。
13.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉
1️⃣ 关于 $\int_2^5 f(x)\,\mathrm{d}x$ 与 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$，下列说法正确的是？
A. 前者是一个函数，后者是一个数
B. 两者都是函数族，都含任意常数 $C$
C. 两者都是数，只是写法不同
D. 前者是一个数，后者是一个函数族
2️⃣ 下列积分中，其值一定等于 $0$ 的是？
A. $\int_{-1}^{1}x^2\,\mathrm{d}x$
B. $\int_{-1}^{1}(x^2+1)\,\mathrm{d}x$
C. $\int_{-1}^{1}x^5\,\mathrm{d}x$
D. $\int_{0}^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x$
3️⃣ 设 $\Phi(x)=\int_0^x(2t+1)\,\mathrm{d}t$，则 $\Phi(3)$ 与 $\Phi'(3)$ 分别是？
A. $12$ 与 $7$
B. $7$ 与 $12$
C. $12$ 与 $12$
D. $7$ 与 $7$
4️⃣ $\int_{-1}^{2}(x+1)^2\,\mathrm{d}x$ 的值为？
A. $3$
B. $9$
C. $27$
D. $\dfrac{9}{2}$
5️⃣ 记 $I_1=\int_{-2}^{2}\dfrac{2x^3}{1+x^4}\,\mathrm{d}x$，$I_2=\int_{0}^{2}\dfrac{x^3}{1+x^4}\,\mathrm{d}x$，$I_3=\int_{-2}^{0}\dfrac{x^3}{1+x^4}\,\mathrm{d}x$，则三者的关系是？
A. $I_1=0$，且 $I_3=-I_2$
B. $I_1=0$，且 $I_3=I_2$
C. $I_1=I_2+I_3$，且三者都大于 $0$
D. $I_1=2I_2$，且 $I_3=I_2$
13.9 数学思维导图 · 本课小结
🧠 定积分知识思维导图
📘 定积分
基础
定义
- 分割 · 近似 · 求和 · 取极限
- $\lambda=\max\Delta x_i\to0$
- 与分法、与 $\xi_i$ 取法无关
- 结果是一个数
几何意义
- $f\ge0$：曲边梯形面积
- $f$ 变号：有向面积的代数和
- 正负相抵，可为 $0$ 或负
- 几何面积需分段取绝对值
可积与性质
- 闭区间连续 ⟹ 可积
- 有界且有限个间断点 ⟹ 可积
- 线性 · 区间可加性
- 保号性 · 估值定理 · 中值定理
变上限积分
- $\Phi(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t$
- $\Phi'(x)=f(x)$
- 复合上限加链式法则
- 它是 $f$ 的一个原函数
N-L 公式与应用
- $\int_a^bf=F(b)-F(a)$
- 前提：$f$ 在 $[a,b]$ 连续
- 医学 AUC 与总药量
- AI 里的累加与数值求积
✅ 本课小结
🎯
定积分是一个数，不定积分是一个函数族——这是本课第一条红线。定积分由被积函数和上下限共同"钉"出来，按定义它是和式的极限，绝不带任意常数 $C$；不定积分给出的是一族函数 $F(x)+C$。
✂️
定义四步：分割、近似、求和、取极限。极限是令 $\lambda=\max\{\Delta x_i\}\to0$（最宽的那一段趋于零），不是简单地令 $n\to\infty$；而且极限必须与分法、与 $\xi_i$ 的取法都无关，才算"可积"。
📐
$f\ge0$ 时定积分是曲边梯形面积；$f$ 变号时是代数和的"有向面积"。$x$ 轴上方取正号、下方取负号，正负会相抵。若题目问的是"几何面积"，必须找出零点、分段积分后再取绝对值相加。
🔧
常用性质：线性、区间可加性 $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$（$c$ 在区间内外都成立）、$\int_a^a=0$、$\int_a^b=-\int_b^a$、保号性、估值定理 $m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a)$、积分中值定理。
🌉
两座桥：变上限积分与 N-L 公式。$\Phi(x)=\int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t$ 满足 $\Phi'(x)=f(x)$（$f$ 连续时），说明它是 $f$ 的原函数；由此得到 $\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$，把定积分计算转化为求原函数。
⚠️
用 N-L 公式前必须确认 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。这是第二条红线。经典反例是 $\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x$：硬套公式会得到 $-2$，而实际上这个积分不存在。有接缝、有奇点，必须先按区间可加性拆开。
🏥
医学里定积分就是"总量"：血药浓度曲线下面积（AUC）是药物的总暴露量，是一个数，所以它能拿来比较不同方案；要判断"平均浓度"，还要再除以区间长度，而积分中值定理保证必有一刻的浓度恰等于该平均值。
🚀
下节预告：定积分的计算——本课只讲了"用原函数算定积分"，但原函数怎么求？下一课把上一章的方法搬过来：换元法必须同时换限（算完不必回代），分部积分要带上下限，并利用奇偶性与周期性大幅简化计算（前提是积分区间关于原点对称）。