普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
定积分计算
第五章 定积分 · 第 14 次课
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
高等数学 C · 授课对象：医学生 · 2 学时
牛顿-莱布尼茨公式 · 换元必换限 · 换限后不必回代 · 分部积分 · 奇函数积分为零 · 偶函数倍化 · 周期简化 · 华里士公式
💭 上课之前 · 请想一想
💉
一次静脉注射后，体内药物总量等于浓度曲线下的面积——这个积分你会算吗？
上一课我们把它写成了一个记号：把浓度对时间从零积到 T。但"写出来"不等于"算出来"。今天要回答的就是：这样一个定积分，到底怎么求值？
🧩
被积函数里套着一层"复合"或者"乘积"，直接找原函数找得到吗？
像 $\sqrt{x^2+16}$、$x e^{x}$、$\ln x$、$\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}$ 这类被积函数，靠"照公式套"是套不出来的。它们要靠换元法与分部积分法去变形——这正是本课的两件主要工具。
✦ 带着这两个问题，进入今天的主角 ✦
🤔 定积分怎么算？
上一课的牛顿-莱布尼茨公式给了通道——但通道能不能走得通，取决于原函数好不好求
🔁换元法：把复杂的被积函数换成一个简单的积分变量
✅定积分换元必须同时换积分限，换完限就不必回代
✂️分部积分：把乘积拆成两项，一项边界值、一项新积分
🪞对称区间上，奇函数积分为零、偶函数可以倍化
先看一段动态演示：拖动积分上限 $b$，看"曲线下方面积累积到 $b$"是如何随着 $b$ 一起增长的。这就是定积分 $\displaystyle\int_0^b 2x-x^2\,dx$ 的几何含义。
牛顿-莱布尼茨公式把"求积分"变成了"求原函数"；
换元与分部，就是求原函数的两把主力工具。
—— 从"写得出记号"到"算得出数值"
🔁
同一个换元，两种收尾方式
不定积分换完之后要把 $t$ 换回 $x$；定积分换限之后直接算数就结束了
这一步差别，是本课最容易失分的地方
📖 为什么不定积分非得回代
不定积分求出来的是一族原函数，答案里带着积分常数 $C$。它回答的是"谁的原函数是谁"，所以结果必须用原来的自变量 $x$ 表达。若令 $u=2x+1$ 之后把答案写成 $\dfrac{1}{8}u^{4}+C$，而 $u$ 又没说清楚是 $x$ 的什么函数，这个答案就是不完整的——读者无法从它反推出原函数。所以必须回代成 $\dfrac{1}{8}(2x+1)^{4}+C$。
而定积分求出来的是一个数。既然只是一个数，那么"用 $u$ 算出来的数"和"用 $x$ 算出来的数"只要相等就行，没有必要再换回原来的字母。换元时把积分上、下限一并换成 $u$ 的取值，算完就直接得到结果。
🎯 不定积分换元 → 求原函数 → 必须回代成 $x$ 的式子，别忘了 $+C$
🎯 定积分换元 → 同时换限 → 直接代上下限求差，不必回代
⚠️ 两种收尾不能混：定积分里若只换元不换限，还按 $x$ 的上下限代入，算出的值几乎一定是错的
🧮 一个可检验的判据：定积分的结果必须是一个确定的数；如果你的答案里还留着 $t$ 或 $u$，说明上限换限没做完
🌍 换限为什么是"必须"而不是"可以"
设 $x=\psi(t)$ 把 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，$x$ 恰好从 $a$ 走到 $b$。换元之后表达式里已经没有 $x$ 了，出现的字母是 $t$。既然字母变了，上下限自然也得跟着变——否则就出现了"对 $t$ 积分，却用 $x$ 的区间去代入"这种前后不一致的写法。
更实在的一点：不换限往往真的会算错。本课第一个例子 $\displaystyle\int_{-1}^{1}(2x+1)^3\,dx$，正确换限后是 $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{3}u^3\,du=10$；如果忘了换限、仍用 $-1$ 到 $1$ 去算，得到的是 $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}u^3\,du=0$——因为 $u^3$ 是奇函数，对称区间上正好抵消。一个 10 与一个 0，差别就是这么赤裸。
上一课我们得到了牛顿-莱布尼茨公式：定积分等于原函数在两端点处的函数值之差。
这一课解决它剩下的困难：当原函数不好直接看出来时，用换元与分部把它变出来。
💡 学这一课之前
上一课我们把定积分从"分割、近似、求和、取极限"的四步定义，压缩成了一个好用的公式：先求出被积函数的一个原函数 $F(x)$，再把上、下限代进去相减。这条牛顿-莱布尼茨公式把定积分的计算彻底归到了不定积分那边。可是真正上手做题时，困难立刻出现了：很多被积函数的原函数，光靠看是看不出来的。于是问题就变成了两句话：怎么把一个陌生的积分变形成熟悉的积分？以及，什么样的积分可以不算就看出结果？
🔗
一、本课要补上的两个缺口
上一课你可能已经注意到，不定积分那一章学的换元法与分部积分法，到了定积分这里不能照抄：换元要连带处理积分限，分部要连带处理边界项。这两处改动，正是本课的核心。
🩺
二、为什么医学生必须把它练熟
药代动力学里的曲线下面积（AUC）、平均驻留时间、累积排泄量，写出来都是定积分。临床上真正要算的那些积分，被积函数往往带着复合与乘积，换元与分部是绕不过去的。而奇偶性简化更实用：很多"一看就是零"或者"只算一半再乘 2"的结论，能省掉一大半计算量，也更容易发现算错。
🎯
三、本课的四条主线
①换元法：换元必换限，换限后不必回代（★红线）；②分部积分法：$\displaystyle\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$，重点在边界项；③对称性简化：奇函数积分为零、偶函数倍化，前提是区间关于原点对称（★红线）；④周期性简化与常用对称结论，用来快速处理"算不出手"的积分。
✦ 上一课把积分变简单了，这一课把它变算得出来 ✦
14.1 定积分的换元法 · 换元必换限
换元法的精神是"换个角度看问题"：同一个面积，既可以按横坐标 $x$ 看，也可以按新的变量 $t$ 看。看的角度变了，被积表达式和积分区间要跟着一起变——这就是本课第一条红线。
✏️ 定积分换元公式
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，函数 $x=\psi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上有连续导数，且当 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，$x$ 恰好从 $a$ 单调变到 $b$，即 $\psi(\alpha)=a$、$\psi(\beta)=b$，则
$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f\bigl(\psi(t)\bigr)\psi'(t)\,dt$$
注意公式里发生了三件事：被积函数 $f(x)$ 改写成 $f(\psi(t))$、微分 $dx$ 改写成 $\psi'(t)dt$、上下限 $a,b$ 改写成 $\alpha,\beta$。三件事必须同时做齐。
★ 红线一：换元必须同时换积分限。换了变量却不换限，等于前后用了两套不同的"尺子"，结果几乎必然是错的（本课开头已经算过一例：$10$ 与 $0$）。
★ 红线二：换限之后不必再回代。定积分的结果是一个数，用 $t$ 算出这个数就结束了。这与不定积分相反——不定积分换元之后必须回代成 $x$ 的表达式。
🧭 定积分换元的四步法
| 步骤 | 做什么 | 最容易错在哪 |
|---|
| 第一步 | 选择换元 $x=\psi(t)$（或令 $u$ 为某个内层表达式） | 选的式子要让根号、分母、指数一起变简单，选错了越算越乱 |
| 第二步 | 求出 $dx=\psi'(t)dt$，把它替换掉原来的 $dx$ | 漏掉导数因子，或把 $\psi'(t)$ 写成 $\dfrac{1}{\psi'(t)}$ |
| 第三步 | 把上下限一起换掉：由 $a=\psi(\alpha)$、$b=\psi(\beta)$ 解出 $\alpha,\beta$ | ★ 忘了换；或者换反了方向（下限对应下限、上限对应上限） |
| 第四步 | 对新变量算出数值结果，不回代 | 习惯性把 $t$ 换回 $x$ 却又用了新限，前后打架 |
👉 左右滑动查看完整表格 👈
📈 动态演示一：换元时积分限是怎么"搬家"的
取例 $\displaystyle\int_{-1}^{1}(2x+1)^3\,dx$，令 $u=2x+1$。下图把 $x$ 轴与 $u$ 轴画成上下两条刻度，拖动滑块让 $x$ 从 $-1$ 走到 $1$，看 $u$ 同步从 $-1$ 走到 $3$：区间的两个端点被搬到了新的位置上。
🔍 例题精讲：换限后的结果与直接算的结果必须一致
📐 例 1 计算 $\displaystyle\int_{-1}^{1}(2x+1)^3\,dx$。
解 令 $u=2x+1$，则 $du=2\,dx$，即 $dx=\dfrac{1}{2}du$。换限：当 $x=-1$ 时 $u=-1$；当 $x=1$ 时 $u=3$。于是
$$\int_{-1}^{1}(2x+1)^3\,dx=\frac{1}{2}\int_{-1}^{3}u^3\,du=\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{u^4}{4}\right]_{-1}^{3}=\frac{1}{8}(81-1)=10$$
核对：若把 $(2x+1)^3$ 展开成 $8x^3+12x^2+6x+1$ 直接逐项积分，同样得到 $10$（三项带 $x$ 的奇次幂在对称区间上抵消，只剩 $12x^2$ 的贡献 $\dfrac{12\cdot 2}{3}=8$ 与常数项 $1\cdot 2=2$，合计 $10$）。两条路一致，说明换限是对的。
📐 例 2 计算 $\displaystyle\int_0^3 x\sqrt{x^2+16}\,dx$。
解 令 $u=x^2+16$，则 $du=2x\,dx$，即 $x\,dx=\dfrac{1}{2}du$。换限：$x=0$ 时 $u=16$；$x=3$ 时 $u=25$。于是
$$\int_0^3 x\sqrt{x^2+16}\,dx=\frac{1}{2}\int_{16}^{25}\sqrt{u}\,du=\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{16}^{25}=\frac{1}{3}(125-64)=\frac{61}{3}$$
核对：换限前是 $x$ 从 $0$ 到 $3$（长度 3），换限后是 $u$ 从 $16$ 到 $25$（长度 9）——区间长度变了，这正说明换限不能省。
📐 例 3 计算 $\displaystyle\int_0^4\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$。
解 被积函数里有根号，令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$、$dx=2t\,dt$。换限：$x=0$ 时 $t=0$；$x=4$ 时 $t=2$。于是
$$\int_0^4\frac{dx}{1+\sqrt{x}}=\int_0^2\frac{2t}{1+t}\,dt=2\int_0^2\left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt=2\Bigl[t-\ln(1+t)\Bigr]_0^2=4-2\ln 3\approx 1.8028$$
这里先做了一次多项式除法 $\dfrac{2t}{1+t}=2-\dfrac{2}{1+t}$，是根号类换元的常规收尾动作。
📐 例 4 计算 $\displaystyle\int_0^2 x e^{x^2/2}\,dx$。
解 令 $u=\dfrac{x^2}{2}$，则 $du=x\,dx$。换限：$x=0$ 时 $u=0$；$x=2$ 时 $u=2$。于是
$$\int_0^2 x e^{x^2/2}\,dx=\int_0^2 e^{u}\,du=\Bigl[e^{u}\Bigr]_0^2=e^2-1\approx 6.3891$$
这个换元一次性消掉了指数上的平方与外面的因子 $x$，是"凑微分"的典型用法。
📈 动态演示二：不定积分回代 vs 定积分换限
同一个积分 $\displaystyle\int_0^4\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$，两条路的收尾方式完全不同。下图把它们并排画出来。
① 换限的方向不能反
如果 $\psi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上单调，那么 $a=\psi(\alpha)$、$b=\psi(\beta)$ 是一一对应的：下限对下限、上限对上限。当换元函数单调递减时（例如令 $t=-x$），$\alpha$ 反而会大于 $\beta$，这时不必慌张，也不必去"纠正"顺序——定积分允许上限小于下限，只是多一个负号而已。真正要避免的是把方向凭手感随便调。
② 最常见的三个错误
错误一：只换元不换限。算出 $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}u^3du=0$，而正确答案是 $10$。这是本课第一大失分点。
错误二：换限了又回代。把 $\dfrac{1}{8}u^4$ 换回 $\dfrac{1}{8}(2x+1)^4$，然后代 $u$ 的上下限 $-1,3$（或代 $x$ 的上下限却套着 $u$ 的式子）。字母与区间必须配套。
错误三：漏掉 $\psi'(t)$ 这个因子。令 $u=x^2+16$ 之后只把 $x\,dx$ 换成 $du$，看似"刚好抵消"，但换成 $u=2x+1$ 时就容易忘记 $dx=\dfrac{1}{2}du$ 里的 $\dfrac12$。
③ 什么时候值得换元
三类信号出现时优先考虑换元：被积函数里出现根号（如 $\sqrt{x^2+16}$、$\sqrt{x}$）；出现某个内层式子的导数乘在外面（如 $x\,dx$ 配合 $x^2+16$，$x\,dx$ 配合 $\dfrac{x^2}{2}$）；分母是一个线性式加常数（如 $\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}$）。换元的目的是让被积函数变成幂函数、指数函数这类一眼能求原函数的样子。
④ 定积分换元的一个额外好处
不定积分换元最后要回代，而回代往往要把 $\ln$、$\arctan$ 这类表达式重新写成 $x$ 的式子，既费时又容易出错。定积分换限之后，这些麻烦全部消失——你只需要在 $t$ 的世界里算完一个数。所以在能换限的场合，定积分其实比不定积分更好算。
⑤ 验算习惯：用另一个变量再算一遍
做完换元题，推荐做一次"反向核对"：把换限后的积分独立算一遍，再和"不换元、直接凑原函数"的结果比对。本课所有例题与练习的数值，都是用程序做精确积分与数值积分双通道复算过的，两条通道一致才写进课件。
14.2 定积分的分部积分法
如果被积函数是两类不同函数相乘——比如"多项式 × 指数""对数 × 幂""反三角 × 幂"——换元往往救不了它。这时要用另一件工具：分部积分。
✏️ 定积分分部积分公式
设 $u=u(x)$、$v=v(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数。由乘积求导公式 $(uv)'=u'v+uv'$ 两边积分，就得到
$$\int_a^b u\,dv=\Bigl[uv\Bigr]_a^b-\int_a^b v\,du$$
与不定积分相比，定积分的分部积分多出一个边界项 $\bigl[uv\bigr]_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)$。这个边界项必须算，不能像不定积分那样"让它留在 $\int uv'$ 里"。
💡 一句话理解：分部积分把"难求的那个积分"换成了"一个数（边界项）加上一个更好求的积分"。选 $u$、$dv$ 的原则就是让新积分比原积分简单——通常把求导会变简单的那部分选作 $u$（多项式、对数、反三角），把容易积分的那部分选作 $dv$（指数、正弦余弦、幂）。
🧭 分部积分的四步法（定积分版）
| 步骤 | 做什么 | 提醒 |
|---|
| 第一步 | 选 $u$ 与 $dv$（把被积表达式拆成两部分） | 选错就得重来：若新积分比原来的更难，立刻换一种拆法 |
| 第二步 | 求出 $du=u'\,dx$ 与 $v=\int dv$ | 求 $v$ 时不必加常数 $C$，取一个最简单的原函数即可 |
| 第三步 | 把边界项 $\bigl[uv\bigr]_a^b$ 的数值先算出来 | ★ 定积分特有：这一步是"已经到手的收益"，先落袋 |
| 第四步 | 再算剩下的 $\displaystyle\int_a^b v\,du$ 并相减 | 若还需再次分部，重复以上步骤（有时要分两次） |
👉 左右滑动查看完整表格 👈
📈 动态演示：换分部积分在定积分上的写法
取例 $\displaystyle\int_0^{b} x e^{x}\,dx$。拖动上限 $b$，红点是数值积分算出的真实累积值，绿线是分部积分给出的公式值 $(b-1)e^{b}+1$——两者应当处处重合。
🔍 例题精讲
📐 例 5 计算 $\displaystyle\int_0^1 x e^{x}\,dx$。
解 取 $u=x$、$dv=e^{x}dx$，则 $du=dx$、$v=e^{x}$。于是
$$\int_0^1 x e^{x}\,dx=\Bigl[x e^{x}\Bigr]_0^1-\int_0^1 e^{x}\,dx=(1\cdot e-0)- \Bigl(e-1\Bigr)=e-(e-1)=1$$
核对：$x e^{x}$ 在 $[0,1]$ 上恒非负且最大值约 $2.718$，曲线下面积在 $0.5$ 到 $1.5$ 之间都合理，算出 $1$ 是可信的。
📐 例 6 计算 $\displaystyle\int_1^2 x^2\ln x\,dx$。
解 取 $u=\ln x$、$dv=x^2dx$，则 $du=\dfrac{1}{x}dx$、$v=\dfrac{x^3}{3}$。于是
$$\int_1^2 x^2\ln x\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\ln x\right]_1^2-\frac{1}{3}\int_1^2 x^2\,dx=\frac{8}{3}\ln 2-\frac{1}{3}\cdot\frac{7}{3}=\frac{8}{3}\ln 2-\frac{7}{9}\approx 1.0706$$
要点：对数函数求导之后变成 $\dfrac{1}{x}$，正好把原来的 $x^2$ 约掉一部分，这就是"把对数选作 $u$"的理由。
📐 例 7 计算 $\displaystyle\int_0^{\ln 2} x e^{-x}\,dx$。
解 取 $u=x$、$dv=e^{-x}dx$，则 $du=dx$、$v=-e^{-x}$。于是
$$\int_0^{\ln 2} x e^{-x}\,dx=\Bigl[-x e^{-x}\Bigr]_0^{\ln 2}+\int_0^{\ln 2} e^{-x}\,dx=-\frac{\ln 2}{2}+\Bigl[1-\frac{1}{2}\Bigr]=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2\approx 0.1534$$
易错点：$v=-e^{-x}$ 的负号容易被丢。丢掉负号会得到 $\dfrac{\ln 2}{2}+1-\dfrac{1}{2}\approx 0.8466$，与正确值差很多。
📐 例 8 计算 $\displaystyle\int_1^{e}\ln x\,dx$。
解 被积函数只有 $\ln x$ 一项，看似无法分部。技巧是把 $dv$ 取成 $dx$：取 $u=\ln x$、$dv=dx$，则 $du=\dfrac{1}{x}dx$、$v=x$。于是
$$\int_1^{e}\ln x\,dx=\Bigl[x\ln x\Bigr]_1^{e}-\int_1^{e}dx=e-0-(e-1)=1$$
① 怎么选 $u$：一个按"求导变简单"排序的口诀
把常见的被积函数分成两组。求导之后会变简单的一组：对数函数 $\ln x$（求导变成 $\dfrac{1}{x}$）、反三角函数、多项式 $x^n$（求导降次）。积分之后结构不变的一组：指数函数 $e^{x}$、正弦余弦、$dx$ 本身。选 $u$ 时优先从前一组里挑，$dv$ 自然就是后一组加 $dx$。这个顺序常被概括为"反对幂指三"的口诀，但更重要的是理解背后的理由：让新积分比原积分简单。
② 陷阱一：边界项里的负号
公式是 $\displaystyle\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$，减号在中间。当 $v$ 本身带负号时（例如 $dv=e^{-x}dx$ 给出 $v=-e^{-x}$），边界项与后面那个积分会同时出现负号，符号错误最容易发生。稳妥做法：把边界项的数值先单独写出来算成一个数，再去处理剩下的积分，不要两件事混在一行里做。
③ 陷阱二：需要分部两次的情形
遇到 $\displaystyle\int_0^1 x^2 e^{x}\,dx$ 这类"多项式次数为 2"的情形，一次分部只把 $x^2$ 降成 $x$，还要再分部一次才能把 $x$ 也降掉。每一步都要把该步的边界项累加进去，最后一起求差。千万不要把所有边界项留到最后一次性处理——那不是同一个 $u$、$v$ 对应的边界项，会算错。
④ 一个必须知道的边界：不是所有初等原函数都存在
换元与分部解决的是"能求出初等原函数"的积分。像 $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ 这样的积分，被积函数明明是初等函数，它的原函数却不能用初等函数表示（工程上称为高斯积分相关）。这类积分只能靠数值方法算近似值：把区间切细、逐段近似、再求和——这恰好回到定积分的原始定义。分部积分在这里帮不上忙，认识这个边界比多背一个公式更重要。
⑤ 与换元法的分工
遇到一个积分，先判断它的被积函数长什么样：是"复合"的形状（内层式子的导数恰好乘在外面、或含根号）就先用换元；是"两类函数相乘"的形状（多项式乘指数、对数乘幂）就先用分部。两者可以先后使用：例如 $\displaystyle\int_0^1 x e^{-x^2}dx$ 先用换元 $u=-x^2$ 再算；$\displaystyle\int_0^1 x\arctan x\,dx$ 先分部、再对被积函数做一次换元。
14.3 奇偶性简化 · 区间必须关于原点对称
有一类定积分不必算就能看出结果。这不是投机取巧，而是利用了图形的对称性：正负两块面积正好互相抵消，或者左右两半完全一样。用得好，一道题的计算量能减少一半以上。
✏️ 两个结论
🪞 奇函数：积分为零
若 $f(-x)=-f(x)$（奇函数），则对任意正数 $a$，
$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0$$
图形上：左半边与右半边关于原点中心对称，围出的有向面积正负相消。
📐 偶函数：只算一半再乘 2
若 $f(-x)=f(x)$（偶函数），则对任意正数 $a$，
$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx$$
图形上：左右两半关于纵轴镜像对称，面积完全相同。
$$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=\begin{cases}0, & f\ \text{为奇函数}\\[4pt] 2\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\,dx, & f\ \text{为偶函数}\end{cases}$$
★ 红线三：这两个结论的前提，是积分区间关于原点对称，也就是必须长成 $[-a,a]$ 的样子。区间一旦不对称，两个结论一律失效。举一个可检验的例子：$f(x)=x^3$ 是奇函数，在 $[-3,3]$ 上积分确实为 $0$；但在 $[-3,5]$ 上积分等于 $136$，完全不是零。所以做题第一步永远是先看区间是否对称，再看函数奇偶性。
📈 动态演示一：奇函数为什么积分为零
取奇函数 $f(x)=x^3-4x$ 在 $[-2,2]$ 上。下图把左半边的面积涂成蓝色、右半边的面积涂成红色：蓝色部分的有向面积是 $+4$，红色部分是 $-4$，加起来正好是 $0$。
🔍 把数算清楚：$\displaystyle\int_{0}^{2}(x^3-4x)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_0^2=4-8=-4$；由奇函数性质，$\displaystyle\int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx=+4$。两者相加 $\int_{-2}^{2}=0$。整个过程不必求出原函数在左半边的值——只要确认"奇函数 + 对称区间"，答案就是 $0$。
📈 动态演示二：偶函数为什么可以倍化
取偶函数 $f(x)=4-x^2$ 在 $[-2,2]$ 上。左右两半的图形关于纵轴镜像，面积完全一样，所以整体积分等于右半边积分的两倍。
🔍 把数算清楚：$\displaystyle\int_{0}^{2}(4-x^2)\,dx=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}\approx 5.3333$；倍化得 $\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=2\times\frac{16}{3}=\frac{32}{3}\approx 10.6667$。若直接算 $\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}=\left(8-\frac83\right)-\left(-8+\frac83\right)=\frac{32}{3}$，两路一致。
🧩 既不是奇函数也不是偶函数怎么办
很多被积函数"两头都不占"，例如 $f(x)=x^3+x^2$。这时不要放弃对称性，而是先拆项：把函数拆成"奇部 + 偶部"，分别处理。
$$\int_{-2}^{2}\bigl(x^3+x^2\bigr)dx=\int_{-2}^{2}x^3\,dx+\int_{-2}^{2}x^2\,dx=0+2\int_{0}^{2}x^2\,dx=\frac{16}{3}$$
注意拆项的前提是每一项单独看时区间仍然对称——这里区间本来就是 $[-2,2]$，所以 $x^3$ 的贡献直接判零，$x^2$ 的贡献用倍化公式，一口气把计算量压掉一半。
① 怎么快速判断奇偶性
把 $f(-x)$ 算出来，与 $f(x)$ 比：相等就是偶函数，互为相反数就是奇函数，两种都不是就是"非奇非偶"。常用零件的奇偶性值得记牢：偶函数有常数、$x^2$、$x^4$、$|x|$、$\cos x$；奇函数有 $x$、$x^3$、$x^5$、$\sin x$、$\tan x$。组合规则是"偶 × 偶 = 偶、奇 × 奇 = 偶、奇 × 偶 = 奇"，与正负号相乘的规则完全一样。
② 抽象函数的奇偶性结论
若 $f$ 是连续的奇函数，则 $\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\,dx$ 作为上限 $a$ 的函数是偶函数；若 $f$ 是连续的偶函数，则 $\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\,dx$ 是奇函数。理由很直接：前者记为 $\Phi(a)$，作替换 $x=-t$ 可验证 $\Phi(-a)=\Phi(a)$；后者同理可得 $\Phi(-a)=-\Phi(a)$。这个结论在证明题里很常用，也很容易被"想当然"地记反——奇函数积出来是偶的，偶函数积出来是奇的，恰好交叉。
③ 遇到非对称区间不要硬套
如果题目给的是 $[-3,5]$ 这样的区间，该怎么办？标准做法是把区间拆成对称的部分加余项：$\displaystyle\int_{-3}^{5}=\int_{-3}^{3}+\int_{3}^{5}$。第一段用对称性化简（本题中为 $0$），第二段老老实实算。这样既不违规，又能省掉一半功夫。
④ 周期性简化：换一个起点，结果不变
设 $f(x)$ 以 $T$ 为周期且在任意有限区间上可积，则对任意实数 $a$，$$\int_a^{a+T}f(x)\,dx=\int_0^{T}f(x)\,dx$$长度正好等于一个周期的积分，与起点 $a$ 在哪里无关。直观理解：把区间平移一个周期，函数图像与自身重合，所以"多出来的那一小块"和"少掉的那一小块"面积相等，正好抵掉。注意周期性结论只要求"区间长度等于 T"，并不要求区间关于原点对称——这与奇偶性简化的前提不同，两个条件千万别混。
⑤ 常用对称结论：正弦与余弦的幂积分相等
对任意整数 $n\ge 0$，都有 $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$。理由是一次换元 $x=\dfrac{\pi}{2}-t$：正弦与余弦在这个换元下互换，而区间端点 $0$ 与 $\dfrac{\pi}{2}$ 互相变成对方，正好还是同一段区间。具体数值上：$n=1$ 时两边都等于 $1$；$n=2$ 时两边都等于 $\dfrac{\pi}{4}$；$n=4$ 时两边都等于 $\dfrac{3\pi}{16}$。这套结果在工程与医学的周期量计算中出现频率很高，工程上把递推计算它的方法称为华里士公式。
⑥ 两个前提的对照表（最容易记混的地方）
奇偶性简化：前提是区间关于原点对称；结论是 $\int_{-a}^{a}$ 为 $0$ 或 $2\int_0^a$；对函数的唯一要求是奇或偶。
周期性简化：前提是区间长度等于一个周期；结论是积分值与起点无关；对函数的唯一要求是周期为 $T$。
把这两行放在一起看：一个管"对称"，一个管"长度"。题目给的条件符合哪一条，就用哪一条；两条都不满足，就只能老老实实求原函数。
⑦ 用对称性做验算
对称性还能当验算工具：如果你算出的 $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}\,dx$ 不是 $0$，就说明中间某一步错了——因为 $\dfrac{x}{1+x^2}$ 是奇函数、区间又对称。养成这个习惯，能在考场上省下大量回头检查的时间。
14.4 周期简化与常用对称结论
对称性还有第二个来源：周期性。生理节律、交流信号、心跳周期都是周期量。对周期函数积分，起点在哪并不重要，只与"积了多长"有关。
✏️ 周期函数的积分性质
设 $f$ 以正常数 $T$ 为周期，且在任意有限区间上可积，则对任意实数 $a$，都有
$$\int_a^{a+T}f(x)\,dx=\int_0^{T}f(x)\,dx$$
更进一步：积 $n$ 个整周期，结果就是单周期积分的 $n$ 倍，即 $\displaystyle\int_a^{a+nT}f(x)\,dx=n\int_0^{T}f(x)\,dx$。
🔍 为什么成立：把左边拆成 $\displaystyle\int_a^{0}+\int_0^{T}+\int_T^{a+T}$ 三段。其中第一段用换元 $x=u+T$ 平移过去，恰好等于第三段的相反数，两者相互抵消，只剩中间那段 $\displaystyle\int_0^{T}f\,dx$。注意这背后的换元同样是"换元必换限"：$u=x-T$ 时，$x=a$ 对应 $u=a-T$，$x=0$ 对应 $u=-T$——限也跟着平移了。
🧭 三个可直接使用的对称结论
① 正弦与余弦的幂在 $[0,\pi/2]$ 上积分相等
$$\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx\quad(n\ \text{为非负整数})$$换元 $x=\dfrac{\pi}{2}-t$ 即可证明。$n=2$ 时两边都等于 $\dfrac{\pi}{4}$。
② 反射对称：区间关于中点镜像
$$\int_0^{a}f(x)\,dx=\int_0^{a}f(a-x)\,dx$$把 $\displaystyle\int_0^a f(x)dx$ 作换元 $x=a-t$ 就得到右边。它常用来处理 $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\tan x}$ 这类"看起来无从下手"的积分——把 $x$ 换成 $\dfrac{\pi}{2}-x$ 后两个式子相加，立刻算出 $\dfrac{\pi}{4}$。
③ 非对称区间拆成"对称段 + 余项"
$$\int_{-3}^{5}=\int_{-3}^{3}+\int_{3}^{5}$$第一段若被积函数为奇函数则直接为 $0$，第二段按常规方法算。这是处理"区间不对称"的标准姿势。
📐 例题：用对称性一次算完
📐 例 9 计算 $\displaystyle\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\sin^2 x\,dx$。
解 $\sin^2 x$ 以 $\pi$ 为周期（因为 $\sin^2(x+\pi)=\sin^2x$），而积分区间 $\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right]$ 的长度恰好是 $\pi$。由周期性质，积分值与起点无关：
$$\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\sin^2 x\,dx=\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx=\frac{\pi}{2}$$
核对：改用降幂公式直接算 $\displaystyle\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\frac{1}{2}\left[x-\frac{\sin 2x}{2}\right]_{\pi/4}^{5\pi/4}=\frac{\pi}{2}$（两个边界的正弦值都是 $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ 与 $\sin\dfrac{5\pi}{2}=1$，相减为 $0$），两路一致。
📐 例 10 计算 $\displaystyle\int_{-2}^{2}\bigl(x^3+x^2\bigr)dx$。
解 区间关于原点对称。把被积函数拆成奇部 $x^3$ 与偶部 $x^2$：
$$\int_{-2}^{2}\bigl(x^3+x^2\bigr)dx=\int_{-2}^{2}x^3\,dx+\int_{-2}^{2}x^2\,dx=0+2\int_0^2 x^2\,dx=\frac{16}{3}\approx 5.3333$$
若不用对称性：$\left[\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}=\left(4+\dfrac83\right)-\left(4-\dfrac83\right)=\dfrac{16}{3}$，同样得到 $\dfrac{16}{3}$。两条路都对，但第一条路只需要算一个简单的幂函数积分。
📐 例 11 计算 $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}\,dx$。
解 记 $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$。因为 $f(-x)=\dfrac{-x}{1+x^2}=-f(x)$，所以 $f$ 是奇函数；积分区间 $[-1,1]$ 关于原点对称。由奇函数性质，积分值为 $0$，不需要求原函数。
反过来验算：原函数是 $\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)$，在 $x=1$ 与 $x=-1$ 处的值都是 $\dfrac{1}{2}\ln 2$，相减确实为 $0$。
📈 动态演示三：对称简化实例
下图把 $x^3$（蓝色，奇部）与 $x^2$（绿色，偶部）画在同一坐标系里，再叠加它们的和 $x^3+x^2$（紫色）在 $[-2,2]$ 上的面积贡献，直观看清"奇部抵消、偶部倍化"。
14.5 综合计算 · 先判断再用工具
真正考试时，题目不会告诉你"用换元"还是"用分部"。所以最后要练的是判断顺序：看到积分，先花五秒钟决定路线，再动笔。
🧭 定积分计算的路线图
| 先看什么 | 符合这个特征就用 | 典型样子 |
|---|
| 积分区间是否关于原点对称？ | 奇偶性简化（奇为零、偶倍化） | $\displaystyle\int_{-2}^{2}\dfrac{x}{1+x^2}dx$ |
| 区间长度是否恰为一个周期？ | 周期性简化（换起点不变） | $\displaystyle\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\sin^2x\,dx$ |
| 被积函数是"复合"形状（含根号、内层导数乘在外面）？ | 换元法（并同时换限） | $\displaystyle\int_0^3 x\sqrt{x^2+16}\,dx$ |
| 被积函数是两类函数相乘（多项式 × 指数/对数/三角）？ | 分部积分法（先落袋边界项） | $\displaystyle\int_1^2 x^2\ln x\,dx$ |
| 以上都不像？ | 先尝试变形（拆项、约分、三角恒等变形），再回到牛顿-莱布尼茨公式 | $\displaystyle\int_0^4\dfrac{dx}{1+\sqrt{x}}$ |
👉 左右滑动查看完整表格 👈
🔍 一个把四件工具串起来的大例题
📐 例 12 计算 $\displaystyle\int_{-2}^{2}\bigl(x^3\cos x+x^5\bigr)dx$。
解 先看区间：$[-2,2]$ 关于原点对称，优先考虑奇偶性。再看被积函数的两项：
$f_1(x)=x^3\cos x$：因为 $(-x)^3\cos(-x)=-x^3\cos x$，所以它是奇函数；
$f_2(x)=x^5$：显然也是奇函数。
奇函数之和仍为奇函数，区间又对称，所以
$$\int_{-2}^{2}\bigl(x^3\cos x+x^5\bigr)dx=0$$
若不用对称性：$x^5$ 那项可以直接积分，但 $x^3\cos x$ 需要连续三次分部积分，计算量很大——而它的贡献最终也只是一个 $0$。这就是先判断路线的价值。
📐 例 13 计算 $\displaystyle\int_0^1 x^2 e^{x}\,dx$。
解 这是"多项式 × 指数"，需要分部两次。
第一次：取 $u=x^2$、$dv=e^{x}dx$，得 $du=2x\,dx$、$v=e^{x}$，于是
$$\int_0^1 x^2e^{x}dx=\Bigl[x^2e^{x}\Bigr]_0^1-2\int_0^1 xe^{x}dx=e-2\times 1=e-2$$
第二次用到的 $\displaystyle\int_0^1 xe^{x}dx=1$ 正是例 5 算过的结果。所以原积分等于 $e-2\approx 0.7183$。
要点：多次分部时，每一步的边界项都要当场算成数并累加，不能攒到最后。
⚠️ 三个必须避免的习惯：
① 不做判断直接硬算。看到 $[-2,2]$ 上的奇函数还在老老实实求原函数，白白浪费五分钟。
② 换元忘记换限。这是本课第一大失分点，务必在换元之后立刻写一行"当 $x=a$ 时 $t=\alpha$；当 $x=b$ 时 $t=\beta$"。
③ 分部积分漏掉边界项。定积分的 $[uv]_a^b$ 是一个具体的数，不是可以省掉的中间步骤。
14.6 医学应用 · 药时曲线下面积与累积量
积分在医学里最重要的一句大白话就是：积分就是累积量。浓度对时间积分得到总暴露量，速率对时间积分得到总药量，排泄速率对时间积分得到累计排出量——全都落在定积分计算上。
💊 药时曲线下面积（AUC）：浓度积分 = 总暴露
静脉注射给药后，血药浓度随时间下降。若一室模型下浓度按指数衰减 $C(t)=C_0e^{-kt}$（$C_0$ 是初始浓度、$k$ 是消除速率常数），那么在时间区间 $[0,T]$ 内，曲线下面积就是
$$\text{AUC}=\int_0^{T}C_0e^{-kt}\,dt=C_0\cdot\left[-\frac{1}{k}e^{-kt}\right]_0^{T}=\frac{C_0}{k}\bigl(1-e^{-kT}\bigr)$$
这个积分用到的正是"凑微分后换元"的思路：令 $u=-kt$，则 $dt=-\dfrac{1}{k}du$，把上下限一起换成 $u$ 的取值，再用指数函数的原函数立刻得出结果。它告诉我们三件临床上很有用的事：
① 面积是"累积暴露"
AUC 越大，说明这一段时间里机体接触到的药物总量越多。它是评价药物暴露程度的核心指标，也是比较不同给药方案时的共同尺度。
② 面积随时间趋于饱和
因为 $e^{-kT}\to 0$，当 $T$ 足够大时 $\text{AUC}\to\dfrac{C_0}{k}$。也就是说"无限长时间的总暴露"是有限的，等于 $\dfrac{C_0}{k}$——浓度衰减得愈快（$k$ 愈大），这个上限愈小。
③ 平均浓度 = 面积 ÷ 时间
一段时间内的平均血药浓度，等于该区间上的 AUC 除以区间长度。这一步正好把"积分"翻译成了日常语言里的"平均"——积分除以长度就是平均值，这与"平均速度 = 总路程 ÷ 总时间"是同一件事。
④ 滴注期：另一条曲线，另一个积分
恒速静脉滴注时浓度按 $C(t)=C_{ss}\bigl(1-e^{-kt}\bigr)$ 上升。它从 $0$ 到 $T$ 的积分是 $C_{ss}\Bigl(T-\dfrac{1-e^{-kT}}{k}\Bigr)$。注意这里不能直接把两个式子"套"起来，必须重新积分——被积函数变了，积分就得重做。
📌 本课不给任何具体药物数据。上面所有式子都是符号形式的，用来说明"积分 = 累积量"这个机制。真实的 AUC 由实测血药浓度数据按梯形法或模型法估计，涉及具体药物时必须查药典与说明书，不能靠课件上的数字。
🩺 为什么换元与分部在医学计算里躲不掉
药代动力学模型里的浓度函数经常长成 $t\,e^{-kt}$、$\dfrac{1}{1+t}$、$\sqrt{t}$ 这些形状。要求"某段区间内的累积暴露"，被积函数就是它们——这时换元法用来处理 $e^{-kt}$ 与 $\sqrt{t}$ 这样的复合结构，分部积分法用来处理 $t\,e^{-kt}$ 这样的乘积结构。本课练的每一道题，背后都能对上一个真实的临床计算场景：
换元 ⇢ 指数衰减的累积
$\displaystyle\int_0^T C_0e^{-kt}dt$ 靠换元解决；含 $\sqrt{t}$ 的排泄速率函数（如按 $\sqrt{t}$ 衰减的模型）也靠换元解决。
分部 ⇢ 带时间因子的暴露量
$\displaystyle\int_0^T t\,C(t)\,dt$ 这个积分给出的是"时间加权暴露"，它的被积函数正是"时间 × 浓度"的乘积形状，必须分部积分。
奇偶性 ⇢ 对称量的抵消
生理信号的对称成分（例如围绕基线上下波动且关于中心时刻对称的量）在对称区间上的净贡献为零，用奇偶性一眼看出，不必逐段计算。
周期性 ⇢ 节律量的整周期统计
心率、呼吸、体温的昼夜节律近似周期函数。统计"整周期的平均"时，积分值与起点无关，因此可以从任意时刻开始取一个整周期来算。
🤖 数学与 AI：计算机是怎么算定积分的
牛顿-莱布尼茨公式要求先求出原函数。但前面已经看到，有些初等函数的原函数根本无法用初等函数表示（例如 $e^{-x^2}$）。计算机面对这类积分时的做法，是回到定积分的原始定义：把区间切细、逐段近似、再求和。
🧮 数值积分：分割—近似—求和
把 $[a,b]$ 分成 $n$ 段，每段用梯形或抛物线下的面积去近似，再全部加起来。$n$ 越大结果越准——这正是定积分定义里"取极限"的离散版本。
✅ 符号计算与数值计算互相校验
能用牛顿-莱布尼茨公式求出精确值的情形，用精确值；求不出时用数值方法给近似值。本课所有例题与练习的答案，都是用符号精确积分与数值积分两条独立通道复算过的——两条通道给出的数一致，才认为答案可靠。
🧠 与 AI 的联系：可微才能优化
机器学习训练时要对损失函数求梯度，而梯度计算在数学上就是求导；当模型里出现累积量（例如对一段序列求和、对一个区间积分）时，反向传播需要"积分对参数的导数"——这类计算依赖的正是微积分基本定理以及换元、分部这些恒等变形。
🎯 实践含义
符号积分解决"能不能写出闭式"，数值积分解决"算出来是多少"。工程上与 AI 框架里的积分函数，通常先尝试符号求解，失败则自动回退到数值方法。理解两条路的边界，比背下某一个具体数值重要得多。
🔍 必须分清的一点：换元法与分部积分法都只是恒等变形，它们既不改变积分值，也不扩大可积的范围。它们的作用是把一个不好算的积分改写成好算的积分。真正"算不出来"的积分，换元与分部也无能为力——那时该交给数值方法。
14.7 拓展资源 · 自主加练
本课配有一条知识短片（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容：本课定位 → 定积分换元公式 → 换元必换限（★红线）→ 为什么换限后不必回代 → 换元例题 → 定积分分部积分公式与边界项 → 分部例题 → 奇函数积分为零 → 区间必须关于原点对称（★红线）→ 偶函数倍化 → 混函数拆成奇部加偶部 → 周期性简化 → 正弦与余弦幂积分相等 → 综合例题 → 医学中的药时曲线下面积 → AI 与数值积分 → 小结。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
| 演示 | 位置 | 看什么 |
|---|
| 积分的累积含义 | 开场（14.0 之前） | 拖动上限 $b$，看阴影面积如何随 $b$ 增长，拖过头还会出现负贡献 |
| 换元时积分限的映射 | 14.1 节 | 拖动 $x$ 从 $-1$ 走到 $1$，看 $u=2x+1$ 如何把限从 $-1,1$ 搬到 $-1,3$ |
| 不定积分回代 vs 定积分换限 | 14.1 节 | 左右并排对照两种收尾方式：左边回代、右边直接代新限 |
| 奇函数积分为零 | 14.3 节 | 蓝色与红色两块有向面积如何正负相消，拖 $a$ 看结论是否始终成立 |
| 偶函数倍化 | 14.3 节 | 左右两半镜像面积相等，拖 $a$ 看"整体 = 2 × 半边"一直成立 |
| 定积分分部积分 | 14.2 节 | 红点（数值积分）与绿线（分部公式）处处重合，说明公式没错 |
| 对称简化实例 | 14.4 节 | 奇部与偶部对总面积的不同贡献；调权重看奇部始终抵消 |
👉 左右滑动查看完整表格 👈
📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学"或"医科高等数学"，可找到多所高校的完整课程录像。定积分的计算通常归在"定积分"模块内，其中"换元积分法"与"分部积分法"两节讲得最细。
📺 视频平台
在主流视频平台搜索"定积分换元法""定积分分部积分""定积分奇偶性"，建议优先选择播放量大、有配套板书讲解的视频，边看边把老师写的每一个换限步骤抄下来自己复现一遍。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）第五章：定积分的换元积分法、定积分的分部积分法、定积分的性质与对称性简化。课后习题建议全部完成，其中换元法题至少做 8 道（每一道都要写出换限过程），分部积分题至少做 6 道（每一道都要把边界项单独算成数）。
📌 复习建议：这一课最容易被"看懂"骗过去——题目一看就懂，动笔就漏换限。建议按这个顺序练：先练换元（强制自己每次都写出换限的那一行）→ 再练分部积分（强制自己每次都把 $[uv]_a^b$ 算成一个具体的数）→ 最后练"先判断对称性再决定是否动笔"。每类各做 5 道，手感就出来了。
14.8 随堂练习 · 五题全部经程序独立验算 🎉
1️⃣ 计算 $\displaystyle\int_{-1}^{1}(2x+1)^3\,dx$，结果是？
A. $\dfrac{9}{2}$
B. $10$
C. $8$
D. $12$
2️⃣ 计算 $\displaystyle\int_0^3 x\sqrt{x^2+16}\,dx$，结果是？
A. $\dfrac{125}{3}$
B. $25$
C. $\dfrac{61}{3}$
D. $\dfrac{16}{3}$
3️⃣ 计算 $\displaystyle\int_{-2}^{2}\bigl(x^3\cos x+x^5\bigr)dx$，结果是？
A. $2\displaystyle\int_0^2\bigl(x^3\cos x+x^5\bigr)dx$
B. $0$
C. $\displaystyle\int_0^2 x^5\,dx$
D. $\displaystyle\int_0^1 x^3\,dx$
4️⃣ 用分部积分计算 $\displaystyle\int_0^1 xe^{x}\,dx$，结果是？
A. $1$
B. $e-1$
C. $e$
D. $\dfrac{1}{2}$
5️⃣ 计算 $\displaystyle\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\sin^2 x\,dx$，结果是？
A. $\pi$
B. $\dfrac{\pi}{2}$
C. $\dfrac{\pi}{4}$
D. $0$
14.9 数学思维导图 · 本课小结
🧠 定积分计算知识思维导图
📘 定积分
计算
换元法
- 换元必换限
- 换限后不必回代
- 换元四步法
- 与不定积分的区别
分部积分
- 公式含边界项
- 反对幂指三选 u
- 边界项先算成数
- 可连续分部两次
对称性简化
- 奇函数积分为零
- 偶函数倍化
- 区间关于原点对称
- 混函数拆奇部偶部
周期与常用结论
- 长度为 T 与起点无关
- 反射对称恒等式
- sin 与 cos 幂积分相等
- 非对称区间拆项
应用与计算
- 药时曲线下面积
- 积分就是累积量
- 数值积分兜底
- 两通道互相校验
✅ 本课小结
🔁
定积分换元必须同时换积分限，换限之后不必回代。公式 $\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\psi(t))\psi'(t)dt$ 要求三件事同时做齐：改被积函数、改微分、改上下限。这与不定积分相反——不定积分换元后必须回代成 $x$ 的表达式。
✂️
定积分分部积分多一个边界项：$\displaystyle\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$。做题时把边界项先算成一个具体的数，再处理剩下的积分，可以避免符号错误。遇到"多项式 × 指数"时常需分部两次，每一步的边界项都要当场落袋。
🪞
奇偶性简化的前提是积分区间关于原点对称。奇函数在 $[-a,a]$ 上积分为 $0$；偶函数在 $[-a,a]$ 上等于 $2\displaystyle\int_0^a f$。区间不对称时两条结论都失效——$x^3$ 在 $[-3,3]$ 上是 $0$，在 $[-3,5]$ 上却是 $136$。
🔗
周期性简化与奇偶性简化的前提不同，别混。周期函数只需"区间长度等于一个周期 $T$"，积分值与起点无关：$\displaystyle\int_a^{a+T}f=\int_0^{T}f$。它不要求区间关于原点对称。一个管"对称"，一个管"长度"。
⭐
常用对称结论要会用也要会证：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$（换元 $x=\dfrac{\pi}{2}-t$ 证）；$\displaystyle\int_0^a f(x)dx=\int_0^a f(a-x)dx$（反射对称）。$n=2$ 时两边都等于 $\dfrac{\pi}{4}$。
🏥
医学上的核心一句话：积分就是累积量。药时曲线下面积（AUC）就是浓度对时间的定积分；一段时间的平均浓度等于 AUC 除以区间长度。含 $e^{-kt}$ 的衰减曲线靠换元，$t\,C(t)$ 这类时间加权暴露量靠分部积分。
🤖
不是所有积分都能靠换元与分部算出来。像 $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}dx$ 的被积函数是初等函数，原函数却无法用初等函数表示，只能数值积分：分割、近似、求和。本课所有答案都用符号精确积分与数值积分两条独立通道复算核对过。
🚀
下节预告：反常积分与微元法——本课处理的积分区间都是有限的、被积函数都是有界的。下一课把区间拉长到无穷（$\displaystyle\int_a^{+\infty}$），或者让被积函数在端点附近趋于无穷，就要先用定积分算一部分、再取极限；同时学习用"微元法"把整体量拆成微元来积分。