普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
定积分的应用
第五章 定积分 · 第 16 次课（教学进度第 18 节）
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
$\Delta A=f(x)\Delta x$ 微元法 · 上减下求面积 · 交点必先解方程 · 圆盘法 $\pi\int f^2\,dx$ · 柱壳法 $2\pi\int x f\,dx$ · 变力做功 · AUC 曲线下面积
💭 上课之前 · 请想一想
💊
同样剂量的两种药，怎么比较它们让身体"暴露"了多少？
只比峰浓度是不够的——有些药峰高但很快消失，有些药峰不高却能维持很久。真正刻画"总暴露量"的，是血药浓度曲线下的面积 。面积越大，药物在体内的总曝露越多。而"曲线下的面积"，正是定积分要算的东西。
🫀
心脏每搏动一次，血液流过瓣膜的量能算出来吗？
能——把"流量随时间变化的曲线"在一个心动周期内 积起来，得到的就是每搏输出量。血管里的流速不是常数，就像拉弹簧的力不是常数、油箱里的油面在下降：凡是"变化的量"要累积成"总量"，就要用积分。
✦ 上一课学会了"怎么算"，这一课回答"算了有什么用" ✦
🤔 定积分到底能算多少种东西？
答案是一句话：凡是可以"切成小片、每片近似、再加起来"的量，都能用定积分算
✂️ 切：把待求总量切成 $n$ 个小片
📏 近似：每一小片用一个简单形状代替
∑ 累加：把所有小片的近似值加起来
∫ 取极限：让小片无限变细，和变成定积分
🧩 四步走完，同一个套路可以算面积、体积、做功、压力、暴露量
先看一段动态演示：拖动分割点，观察曲线下方的面积如何被"左右两侧"分别累积。左侧面积随分割点增大而增大，右侧面积相应减小，但两者之和始终不变。
"把不会算的东西切成会算的东西，再把会算的结果加起来"
—— 从阿基米德的穷竭法，到今天的数值积分
✨ 点击展开 · 积分能算多少东西 ▼
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微元法：一套用了一千多年的思想
从"秤不规则物体的重量"到"算药物在体内的总暴露"
📖 什么叫"微元"
把一个待求的总量分成许多小份，取其中"具有代表性"的一小份，用简单方法算出它的近似值，这个近似值就叫微元 。微元写出来之后，总量就是微元在区间上的定积分。
写微元时有一个必须问自己的问题 ：这一小份到底代表什么物理量？是"一小条面积"、还是"一小片薄圆盘"、还是"一段小时段内累积的药量"？这个问题答错了，后面所有计算都白做。 这也是本课第三条红线——用积分算总量之前，先把微元的物理意义说清楚。
✂️ 切细 把区间分成许多小段，段长记作 $\Delta x$
📐 近似 在小段上把"变化的量"当成常值，写出微元
➕ 求和 把所有微元加起来，得到总量的近似值
∫ 取极限 让最大段长趋于零，和式极限就是定积分
🌍 为什么医学生特别需要它
医学里最常打交道的是曲线 ：血药浓度—时间曲线、血压—时间曲线、流量—时间曲线、剂量—效应曲线。曲线本身不好直接比较，但曲线下的面积可以比较，而且它有明确的物理含义。
举例来说：把血药浓度曲线的面积除以时间，得到的就是这段时间里的平均浓度 ；这个平均浓度比单点浓度稳定得多，也更适合用来比较不同给药方案。这一整套思路，在药代动力学里叫"曲线下面积"，缩写 AUC。
上一课的定积分是"一块可以用牛顿-莱布尼茨公式算出来的数"；这一课把它变成一把能测量面积、体积、做功、压力的尺子 。几何量或物理量 → 微元 → 定积分 → 具体数值 。
💡 学这一课之前
上一课我们学会了算定积分：把原函数求出来，代上下限相减。但那个定积分是题目给好的 ——积分限、被积函数都写在那里。今天的问题是：面对一个真实的图形或一个真实的物理过程，积分限从哪里来？被积函数从哪里来？ 这就是微元法要解决的事。
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一、从"算积分"升级到"列积分"
这是本课最重要的能力转变。算积分 是技术活，前几课已经练熟；列积分 是建模活，靠的是把实际问题翻译成"谁乘谁、积到哪"。列积分有固定动作：画图 → 定限（解交点）→ 写微元 → 套公式。四个动作里，定限和写微元错一步，答案一定错 ，而且往往错得看不出来。
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二、为什么"曲线下面积"在医学里是硬指标
同一药物、同一剂量，做成不同剂型，血药浓度曲线的形状 可能差别很大，但只要曲线下面积 接近，就说明进入体内的总药量接近——这正是仿制药生物等效性评价的核心比较量。所以"曲线下面积"不是一个数学练习，而是临床用药与药品评价的正式指标 。
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三、本课的四条主线
①平面图形面积 ：上减下、右减左，交点必须解出来；②旋转体体积 ：圆盘法（绕 x 轴）与柱壳法（绕 y 轴），先选轴再选公式；③物理应用 ：变力做功、液体压力；④医药学应用 ：AUC 与平均浓度，以及"总量 = 积分"这一核心思想。
✦ 上一课问"积分等于几"，这一课问"这一步积分该积什么" ✦
1.1 微元法 · 定积分应用的总套路定积分的应用看起来花样很多：面积、体积、做功、压力、暴露量。但它们背后只有一套 方法。先把这套方法固定下来，后面每一种应用都只是换一个微元。
✏️ 从曲边梯形到"微元"
先回到定积分最原始的画面。设 $f(x)\ge0$ 在 $[a,b]$ 上连续，由曲线 $y=f(x)$、$x$ 轴、两条竖直线 $x=a$ 与 $x=b$ 围成的图形叫曲边梯形 ，它的面积是
$$A=\int_a^b f(x)\,dx$$
这个公式是怎么来的？把 $[a,b]$ 分成许多小段，取其中一个小区间 $[x,x+\Delta x]$。在这一小段上，函数值变化很小，可以把曲边梯形的一小条近似当成宽 $\Delta x$、高 $f(x)$ 的矩形 ，于是
$$\Delta A\approx f(x)\Delta x$$
这就是面积微元。它不是严格的等式，而是"小段上的近似" ；但当所有小段都无限变细时，近似值之和的极限恰好是定积分。所以面积是 $\int_a^b f(x)\,dx$——注意 $f(x)\Delta x$ 里的 $f(x)$ 是"小矩形的高"，$\Delta x$ 是"小矩形的宽"，乘法关系里每一项都有几何含义 。
🧭 列积分的四个步骤（照这个顺序走）
步骤 做什么 做错的后果 第一步 · 定限 把图形的边界关系画出来，用解方程 求出交点的横坐标（或纵坐标），确定积分上下限 限写错，整道题的结果跟着错，且数值可能仍然"看着合理"，很难自查 第二步 · 写微元 取一小段 $[x,x+\Delta x]$，写出这一小片代表的物理量 的近似值 微元写错（比如把半径取成 $x$ 而实际是 $f(x)$），公式再好也白算 第三步 · 套公式 把微元里的 $\Delta x$ 换成 $dx$、$\approx$ 换成 $=$，写成定积分 漏乘系数（如柱壳法的 $2\pi$）是最常见的失分点 第四步 · 算积分 用牛顿-莱布尼茨公式算出结果，必要时用几何常识核对量级 算错还好办，验算一遍就能发现（本课每个结果都做了独立验算）
👉 左右滑动查看完整表格 👈
🎯 第三条红线在这里：用积分算"总量"时，必须先想清楚微元代表什么物理量。 "$f(x)\,dx$"到底是什么？是"一小条面积"、"一小片药量"、还是"一小段位移上的做工"？把这句话在心里说出来，再往下算。这个习惯能挡掉本课一半以上的错误。
📐 三条通用原则
① 微元要"对得上"
微元的量纲必须和待求总量一致。求面积时微元是"长度乘长度"，求做功时微元必须是"力乘位移"。量纲不对，公式一定错。
② 微元要在小段上"近似为常"
微元里出现的量，必须能在小段上近似看作不变。这就是为什么"变化的半径"要写成 $f(x)$ 而不是别的——取哪一点的高度，取决于哪一点是"有代表性的"。
③ 上下限必须是"事件的起点和终点"
面积题的上下限是交点横坐标；旋转体题的上下限是图形在旋转轴方向上的起点与终点；AUC 题的上下限是从给药到某个时刻（或到无穷）。
④ 结果要用常识复核
旋转体体积必须夹在"内接柱体"和"外接柱体"之间；面积不能超过外接矩形的面积；做功不能超过"最大力乘总位移"。这一步只需要几秒钟，却能挡掉大错。
📈 动态演示：两曲线围成的面积（拖动分割点）
下图是 $y=x^2$ 与 $y=x+2$ 围成的图形，两条曲线交于 $x=-1$ 与 $x=2$。拖动分割点 $x_0$，看左侧与右侧的面积如何此消彼长。
🔍 平面图形面积：直角坐标与参数方程 · 点击展开 ▼ 🔍 收起面积方法 ▲
① 直角坐标：上减下（x 型）
若在 $[a,b]$ 上恒有 $f(x)\ge g(x)$，则两条曲线与两条竖线围成的图形面积为 $A=\int_a^b\bigl[f(x)-g(x)\bigr]dx$。请把公式读成一句话：高是"上边界减下边界"，沿着 x 方向累积 。
如果两条曲线在区间内交叉 ，那就必须先找出所有交点，把区间分成若干段，在每一段上判断谁上谁下，再分段积分并相加。此时统一的写法是 $A=\int_a^b\bigl|f(x)-g(x)\bigr|dx$——绝对值这个符号提醒我们：面积永远是正的，段与段之间不能正负抵消。
② 直角坐标：右减左（y 型）
有些图形用 y 作自变量更方便，比如由 $x=\varphi(y)$ 与 $x=\psi(y)$（右边界减左边界）围成的图形：$A=\int_c^d\bigl[\varphi(y)-\psi(y)\bigr]dy$。什么时候改用 y 型？当同一个 x 对应图形上有两段以上边界、或者竖直方向更方便找边界时。 典型的例子是抛物线 $y^2=x$ 与直线围成的图形。
③ 定限的唯一正确做法：解方程
交点不许目测。做法是把两条曲线的方程联立、解出交点坐标。例如求 $y=x^2$ 与 $y=x+2$ 的交点：解 $x^2=x+2$，即 $x^2-x-2=0$，解得 $x=-1$ 与 $x=2$。代入任一方程可得交点 $(-1,1)$ 与 $(2,4)$。很多题的"坑"就在于根有两个以上而只取了一个 ，比如 $x^3=4x$ 有三个根 $-2,0,2$。
④ 三道必须练熟的面积例题
例 1（上减下）： $y=x^2$ 与 $y=x+2$ 围成的面积。在 $(-1,2)$ 内直线在上，$A=\int_{-1}^{2}\bigl[(x+2)-x^2\bigr]dx=\bigl[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\bigr]_{-1}^{2}=\frac{9}{2}$。用抛物线弓形公式复核：$\frac{|a|(x_2-x_1)^3}{6}=\frac{1\cdot3^3}{6}=\frac{9}{2}$，两种算法一致。
例 2（需要分段）： $y=4x$ 与 $y=x^3$ 围成的两块图形。解 $x^3=4x$ 得 $x=-2,0,2$。在 $(0,2)$ 内 $4x\ge x^3$，面积 $\int_0^2(4x-x^3)dx=4$；在 $(-2,0)$ 内 $x^3\ge4x$，面积 $\int_{-2}^0(x^3-4x)dx=4$。总面积 $8$。如果图省事写成 $\int_{-2}^{2}(4x-x^3)dx$，结果是 $0$ ——两侧面积正负抵消了。这就是"必须分段取绝对值"的真实代价。
例 3（改用 y 型）： 由 $y^2=x$ 与 $x=2-y$ 围成的图形。若用 x 型，右边界要分两段（上半支与下半支），很麻烦；改用 y 型，右边界是直线 $x=2-y$、左边界是抛物线 $x=y^2$。先解 $y^2=2-y$，得 $y=-2$ 与 $y=1$，于是 $A=\int_{-2}^{1}\bigl[(2-y)-y^2\bigr]dy=\frac{9}{2}$。同一个图形，换一种切法，难度天差地别。
⑤ 自查清单
算完面积先问三句：交点全找齐了吗？每一段上谁上谁下判对了吗？结果是不是正数、有没有超过外接矩形的面积？ 三句都过关，这道题才算做完。
1.2 平面图形的面积 · 交点决定一切面积公式只有一句话：上减下、右减左 。难点从来不在公式，而在上下限从哪里来 ——它们必须由解方程得到。
✏️ 两种切法
⬆️⬇️ x 型（上减下）
$A=\int_a^b\bigl[f(x)-g(x)\bigr]dx$，要求 $f(x)\ge g(x)$。积分限 $a,b$ 是图形左右两端的横坐标。适合"上下各只有一条边界"的图形。
➡️⬅️ y 型（右减左）
$A=\int_c^d\bigl[\varphi(y)-\psi(y)\bigr]dy$，要求 $\varphi(y)\ge\psi(y)$。积分限 $c,d$ 是图形上下两端的纵坐标。适合"上下端好找、左右边界是简单函数"的图形。
$$A=\int_a^b\bigl[f(x)-g(x)\bigr]dx\qquad\text{或}\qquad A=\int_c^d\bigl[\varphi(y)-\psi(y)\bigr]dy$$
⚠️ 第一条红线：曲线交叉时必须分段
如果在 $[a,b]$ 内两条曲线交叉，那么"谁上谁下"会改变。此时绝对不能 直接写 $\int_a^b(f-g)dx$，而要：
1️⃣ 先解方程 $f(x)=g(x)$，把区间内所有 交点求出来
2️⃣ 用交点把 $[a,b]$ 切成若干小段
3️⃣ 在每一小段上取一个测试点，判断谁大谁小
4️⃣ 各段面积相加（或统一写成带绝对值的积分）
⚠️ 反面教材（务必动手算一遍）： 求 $y=4x$ 与 $y=x^3$ 围成的面积，若写成 $\int_{-2}^{2}(4x-x^3)dx$，因为被积函数是奇函数、区间又关于原点对称，结果是 0 。面积当然是正的 $8$。这个错误之所以危险，是因为它算得"很顺"、没有出错迹象 ；只有当你先解出交点、发现要分两段时才拦得住。
📈 动态演示：曲线交叉，必须分段
下图画出 $y=4x$ 与 $y=x^3$，两块图形的面积各为 $4$，总面积 $8$。拖动滑块可以移动测试点，观察每一段上哪条曲线在上方。
🧮 三道例题（全部经程序独立验算）
题目 关键一步 结果 $y=x^2$ 与 $y=x+2$ 围成的面积 解 $x^2-x-2=0$ 得交点 $x=-1,2$；该区间内直线在上 $\dfrac{9}{2}=4.5$ $y=4x$ 与 $y=x^3$ 围成的面积 解 $x^3=4x$ 得 $x=-2,0,2$，必须分两段 两段各 $4$，合计 $8$ $y^2=x$ 与 $x=2-y$ 围成的面积 改用 y 型，解 $y^2=2-y$ 得 $y=-2,1$ $\dfrac{9}{2}=4.5$
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🔬 例 3 的完整演算
$\int_{-2}^{1}\bigl[(2-y)-y^2\bigr]dy=\bigl[2y-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\bigr]_{-2}^{1}=\bigl(2-\frac12-\frac13\bigr)-\bigl(-4-2+\frac83\bigr)=\frac76-\bigl(-\frac{10}{3}\bigr)=\frac{9}{2}$。注意下限代入时三项都要带上符号 ，这里最容易丢负号。
💡 怎么判断该用 x 型还是 y 型？ 试一次就知道：如果按 x 型写微元时发现"同一条竖线穿过图形，上下边界要分情况讨论"，就改用 y 型；反之亦然。选切法的唯一标准是：让微元在每一段上都有统一的表达式。
1.3 参数方程围成的面积 · 换元换限有些曲线的直角坐标方程很难写出来（甚至写不出显式式），但它们有干净漂亮的参数方程。这时用参数形式的面积公式 ，比硬凑直角坐标快得多。
✏️ 公式从哪里来
把面积微元 $dA=y\,dx$ 里的 $y$ 与 $dx$ 都换成参数 $t$ 的表达式，就得到参数形式的面积公式。设曲线由 $x=x(t)$、$y=y(t)$ 给出，当参数 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时曲线沿"图形边界正向"走一圈，则
$$A=-\int_{\alpha}^{\beta}y(t)\,x'(t)\,dt$$
如果曲线的走向使 $x$ 单调增加（即 $x'(t)$ 不变号），公式里的负号就可以省掉，直接写成
$$A=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)\,x'(t)\,dt$$
🎯 这里的关键不是背负号，而是判断"走向"。 做法很简单：把参数区间的两个端点代进去，看 $x$ 是从小到大（则直接用正号）还是从大到小（则加负号，或者把上下限对调）。换元必须同时换限 ，不能把 $t$ 的上下限和 $x$ 的上下限混着用——这是参数题最常见的错误。
🎡 例题：摆线一拱下的面积
摆线（也叫旋轮线）是车轮边缘上一点运动时画出的轨迹，参数方程为
$$x=a(t-\sin t),\qquad y=a(1-\cos t)\qquad(0\le t\le2\pi)$$
在这一个"拱"里，$x$ 从 $0$ 单调增到 $2\pi a$（因为 $x'(t)=a(1-\cos t)\ge0$），所以不必加负号：
$$A=\int_{0}^{2\pi}y(t)\,x'(t)\,dt=a^{2}\int_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{2}dt=3\pi a^{2}$$
演算过程：$(1-\cos t)^2=1-2\cos t+\cos^2t$，而 $\int_0^{2\pi}\cos t\,dt=0$、$\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi$，于是 $\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2dt=2\pi+\pi=3\pi$。已知结论正好印证这一点：摆线一拱下的面积等于生成圆面积 $\pi a^2$ 的三倍。
⭐ 例题：星形线围成的面积
星形线（也叫四尖点内摆线）的方程为 $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$，两条参数曲线可以用 $x=a\cos^3t$、$y=a\sin^3t$ 表示。当 $t$ 从 $0$ 增到 $2\pi$ 时，曲线依次经过 $(a,0)$、$(0,a)$、$(-a,0)$、$(0,-a)$ 再回到起点，$x$ 先减后增再减 ，所以此时必须保留负号（或者说：不能直接套正号形式）：
$$A=-\int_{0}^{2\pi}y(t)\,x'(t)\,dt=\frac{3\pi a^{2}}{8}$$
两种独立算法验证：一是利用图形关于两坐标轴的对称性，只算第一象限再乘 4，得 $\frac{3\pi a^2}{8}$；二是把直角坐标显式式 $y=\bigl(a^{2/3}-x^{2/3}\bigr)^{3/2}$ 在 $[0,a]$ 上积起来乘 4，同样得 $\frac{3\pi a^2}{8}$。数值上 $a=1$ 时约 $1.1781$。
📈 动态演示：参数曲线的面积微元
下图把摆线的一拱画出来，并在拱下填出面积。参数 $t$ 增大时，$x(t)$ 单调增加，因此这里用正号形式 $A=\int y(t)x'(t)\,dt$。
🧮 参数题的三步走
① 写出 $x(t)$、$y(t)$ 和 $x'(t)$；② 判断走向，决定要不要负号（或对调上下限）；③ 换元同时换限 ，把 $x$ 的限换成 $t$ 的限，再去算那个关于 $t$ 的定积分。
⚠️ 最容易错的一处： 把 $\int y\,dx$ 写成 $\int y(t)\,dt$，漏掉了 $dx=x'(t)dt$ 这个因子。$dx$ 换成 $dt$ 时必须乘上 $x'(t)$，和换元积分法里"$dx=\varphi'(t)dt$"是同一件事 ，一个字都不能少。
1.4 旋转体体积 · 圆盘法与柱壳法把平面图形绕一条直线转一圈，得到的立体叫旋转体 。算它的体积有两种切法，选哪一种，取决于绕哪条轴转 ——这就是本课第二条红线。
🥏 圆盘法（绕 x 轴旋转）
把图形沿 x 方向切成许多薄片。取其中一片，宽为 $\Delta x$，它绕 x 轴转一圈后近似成为一个薄圆盘 ：半径是曲线高度 $f(x)$，厚度是 $\Delta x$，所以
$$V=\pi\int_a^b f^{2}(x)\,dx$$
微元是 $\Delta V\approx\pi f^2(x)\Delta x$，它的物理意义是"一片薄圆盘的体积 "：底面积 $\pi f^2(x)$ 乘厚度 $\Delta x$。
例： $y=x^2$（$0\le x\le2$）绕 x 轴旋转，$V=\pi\int_0^2x^4dx=\frac{32\pi}{5}\approx20.106$。用几何常识夹逼：$f(x)$ 从 0 增到 4，所以体积一定小于"高 2、半径 4 的圆柱"体积 $32\pi\approx100.53$；把区间四等分、每段取左端点的内接柱体和约 $9.62$、取右端点的外接柱体和约 $34.75$，$20.106$ 正好夹在中间。
特例（球体）： 由 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ 绕 x 轴旋转得到半径为 $r$ 的球，$V=\pi\int_{-r}^{r}(r^2-x^2)dx=\frac{4}{3}\pi r^3$——用定积分推出了球的体积公式 ，这是高中靠"记"的结论，现在可以自己算出来。
🛢️ 柱壳法（绕 y 轴旋转）
还是把图形沿 x 方向切成薄片，但这次是绕 y 轴转。一片宽 $\Delta x$、高 $f(x)$ 的竖条，绕 y 轴转一圈后近似成为一个薄壁圆筒（柱壳） ：把柱壳沿母线剪开摊平，得到一个长方体，它的
📏 高 = $f(x)$（竖条的高度）
🔘 长 = $2\pi x$（转一圈走过的周长，半径是 $x$）
📄 厚 = $\Delta x$（竖条的宽度）
🧮 体积微元 = $2\pi x\,f(x)\,\Delta x$，于是 $V=2\pi\int_a^b x f(x)\,dx$
$$V=2\pi\int_a^b x\,f(x)\,dx$$
例： 同一个 $y=x^2$（$0\le x\le1$）区域绕 y 轴旋转，$V=2\pi\int_0^1x\cdot x^2dx=2\pi\int_0^1x^3dx=\frac{\pi}{2}\approx1.5708$。换用圆盘法（这时要改对 y 积分，半径是反解出来的 $x=\sqrt{y}$）复核：$V=\pi\int_0^1(\sqrt{y})^2dy=\pi\int_0^1y\,dy=\frac{\pi}{2}$，两种切法必然给出同一个体积 ，这是检验自己有没有写错的好办法。
⚠️ 第二条红线：先选对旋转轴，再选公式
绕哪条轴 怎么切 微元 公式 绕 x 轴 垂直于 x 轴切（横切） 薄圆盘：$\pi f^2(x)\Delta x$ $V=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx$ 绕 y 轴 垂直于 x 轴切成竖条（纵切后绕行） 薄柱壳：$2\pi x f(x)\Delta x$ $V=2\pi\int_a^b x f(x)\,dx$ 绕 y 轴（也可） 垂直于 y 轴横切，半径反解 $\varphi(y)$ 薄圆盘：$\pi\varphi^2(y)\Delta y$ $V=\pi\int_c^d\varphi^2(y)\,dy$
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⚠️ 选错轴的代价有多大？ 仍然取 $y=x^2$（$0\le x\le1$）这个区域：绕 y 轴旋转体积是 $\frac{\pi}{2}\approx1.571$；如果误当成绕 x 轴、套成 $\pi\int_0^1x^4dx=\frac{\pi}{5}\approx0.628$，结果差了 2.5 倍 。两个数都"长得像答案"，靠眼睛是分辨不出来的。所以拿到题的第一件事永远是：先确认绕哪条轴，再决定切法，最后才套公式。
🔍 一条实用的判别口诀
绕 x 轴 → 横着切 ，半径是"高度" $f(x)$，微元带 $\pi$；绕 y 轴 → 竖着切 ，半径是"离轴距离" $x$，微元带 $2\pi x$。圆盘法的半径是"函数值"，柱壳法的半径是"自变量" ——记住这一句，两个公式就不会串。
📈 动态演示：圆盘微元与柱壳微元
下面两幅图分别演示绕 x 轴的薄圆盘（左图）与绕 y 轴的薄柱壳（右图的展开思想）。拖动滑块改变微元的位置，看半径如何随位置变化。
✅ 用"两种切法互检"代替重复验算
凡是同一个旋转体既能用圆盘法又能用柱壳法算的题，就用另一种方法再算一遍 。两种方法给出同一个数，说明微元和积分限都写对了；对不上，一定是某一种切法里半径或限取错了。本课的 $\frac{\pi}{2}$ 就是这样互相印证过的。
🔍 旋转体体积：圆盘法与柱壳法 · 点击展开 ▼ 🔍 收起体积方法 ▲
① 圆盘法：为什么是"半径的平方"
横切出一片厚 $\Delta x$ 的薄片，它绕 x 轴旋转后成为一个圆盘，底面半径就是曲线到轴的距离，也就是 $f(x)$。圆盘体积 = 底面积 × 厚度 = $\pi f^{2}(x)\Delta x$。半径为什么是 $f(x)$ 而不是别的量？因为旋转轴是 x 轴，点到轴的距离恰好等于它的纵坐标。 这就是"先想清微元的物理意义"这条红线在体积题里的样子。
如果把图形改成"两条曲线之间的区域"绕 x 轴旋转（形成一个中间有孔的空心体），圆盘就变成垫圈（圆环） ，微元是 $\pi\bigl[f^{2}(x)-g^{2}(x)\bigr]\Delta x$，其中 $f$ 是外半径、$g$ 是内半径。注意是"平方相减"，不是"先相减再平方" ——这是本课最经典的一个公式错误，二者数值完全不同。
② 柱壳法：周长乘高再乘厚
竖着切出一条宽 $\Delta x$、高 $f(x)$ 的竖条，绕 y 轴旋转后是薄壁圆筒。把圆筒沿一条母线剪开摊平，厚度 $\Delta x$ 成为长方体的"厚度"，筒的周长 $2\pi x$ 成为"长度"，竖条的高 $f(x)$ 成为"高度"，于是体积微元为 $2\pi x\,f(x)\Delta x$。
什么时候必须用柱壳法？ 当绕 y 轴旋转、而反解 $x=\varphi(y)$ 很难写或要分成好几段时。柱壳法不需要反解，因为它自始至终用 x 作积分变量。这就是"选对切法能省一半力气"的真实含义。
③ 两个公式的对照记忆
圆盘法：半径是函数值 $f(x)$，$\pi$ 乘半径平方，沿 x 积分。柱壳法：半径是自变量 $x$，$2\pi$ 乘半径乘高，沿 x 积分。一个有平方、一个有 $x$ 与 $f(x)$ 的乘积 ——两者不可能混淆。
④ 三个必须算对的数据（全部经程序验算）
（a） $y=x^2$（$0\le x\le2$）绕 x 轴：$V=\pi\int_0^2x^4dx=\frac{32\pi}{5}\approx20.106$。（b） 同一曲线（$0\le x\le1$）绕 y 轴：$V=2\pi\int_0^1x^3dx=\frac{\pi}{2}\approx1.571$。（c） 半圆 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ 绕 x 轴：$V=\frac43\pi r^3$。
⑤ 验算的三个常用角度
一是夹逼 ：把体积夹在"内接柱体"与"外接柱体"之间。上面的 $\frac{32\pi}{5}$ 就夹在四段内接和 $9.62$ 与四段外接和 $34.75$ 之间。二是换法互检 ：同一个旋转体换一种切法再算一遍。三是特例核对 ：把参数取成特殊值，看能不能退回已知的体积公式（球、圆柱、圆锥）。
1.5 变力做功 · 液体的压力这两类物理量看起来毫无关系，但它们的微元写法完全一样：都是"某个量乘上一个小距离"。 看清这一点，你就掌握了物理应用的通法。
🪝 变力做功：微元 = 力 × 小位移
恒力沿直线做功是"力乘位移"，中学就学过。但现实中的力往往随位置变化 ：拉弹簧越拉越费力，气体被压缩时压强越来越大，血泵把血推出去时阻力也在变。这时把位移切成许多小段，在每一小段上把力近似看成不变，就得到
$$\Delta W\approx F(x)\,\Delta x\qquad\Longrightarrow\qquad W=\int_a^b F(x)\,dx$$
微元 $\Delta W\approx F(x)\Delta x$ 的物理意义是"移动这一小段距离所做的功 "。$F(x)$ 是小段上的力（近似不变），$\Delta x$ 是这一小段位移。
🌱 例 1：拉伸弹簧（胡克定律）
弹簧的弹力与伸长量成正比：$F(x)=kx$，$k$ 是劲度系数。把弹簧从自然长度拉长 $s$ 所做的功为 $W=\int_0^{s}kx\,dx=\frac{1}{2}ks^{2}$。取 $k=200$ 牛每米、$s=0.02$ 米，得 $W=\frac12\times200\times0.0004=0.04$ 焦耳。注意：力从 0 增到 4 牛，平均力只有 2 牛 ——用"平均力乘位移"得 0.04 焦耳恰好也对；但如果把力当成始终等于末端的 4 牛，就会算成 0.08 焦耳，大了一倍 。
🧪 例 2：力随位置按平方变化
若 $F(x)=3x^{2}$ 牛，把物体从 $x=0$ 推到 $x=2$ 米（$x$ 以米计），$W=\int_0^{2}3x^2dx=\bigl[x^3\bigr]_0^{2}=8$ 焦耳。量纲自查：牛顿乘米就是焦耳，微元 $\Delta W=F\Delta x$ 的量纲与总量一致。
💧 液体的压力：微元 = 压强 × 小面积
液体内部的压强随深度增加：在深度 $h$ 处，压强等于 $\rho g h$（$\rho$ 是液体密度，$g$ 是重力加速度）。把一块竖直的挡板切成许多水平细条，一条的深度近似为常数 $h$，宽度为 $w(h)$，高度为 $\Delta h$，于是
$$F=\int_0^{H}\rho g\,h\,w(h)\,dh$$
微元 $\Delta F\approx\rho g h\cdot w(h)\Delta h$ 的物理意义是"作用在这一条细长面上的压力 "：压强（$\rho gh$）乘面积（$w(h)\Delta h$）。
📐 例 3：矩形竖壁
宽 $w$、高 $H$ 的矩形挡板，上边缘与液面齐平。$F=\rho g w\int_0^{H}h\,dh=\frac{1}{2}\rho gwH^{2}$。取水（$\rho=1000$ 千克每立方米）、$g=9.8$、$w=1$ 米、$H=2$ 米，得 $F=\frac12\times1000\times9.8\times1\times4=19600$ 牛顿。交叉验证： 平均压强作用在形心（深度 1 米）上是 $9800$ 帕，乘面积 2 平方米正好 $19600$ 牛顿——与积分结果一致。
📈 动态演示：变力做功
下图画出 $F(x)=2x$ 牛（横坐标是位移，单位米）。拖动滑块移动上端，曲线下方的面积就是这一段位移上所做的功。
🔍 变力做功与液体压力：逐类拆解 · 点击展开 ▼ 🔍 收起逐类拆解 ▲
① 变力做功：为什么不能用"最大力乘位移"
把位移切成小段后，每一段上的力近似不变，微元是 $F(x)\Delta x$（力乘小位移）。取 $F(x)=kx$、位移从 0 到 $s$，得 $W=\frac12ks^2$。它正好等于"平均力"乘位移，而这里的平均力是 $\frac{F(s)}{2}$，不是最大力 $F(s)$ 。所以把变力当成最大力去乘位移，结果会偏大整整一倍。
另一个常见误区是把位移方向搞错 ：拉弹簧时力与位移同向，做功为正；如果算的是"弹簧对外做功"，则要取相反的方向，符号随之改变。列式前先确认"外力所做的功"还是"弹力所做的功"。
② 液体压力：为什么按压强可以累加
液体内部同一深度处各方向压强相等。把竖直挡板按水平线 切成许多细长条：同一条上深度几乎相同，压强可以看作常数 $\rho gh$；细条的面积是"宽度乘高度"$w(h)\Delta h$。于是压力微元为 $\Delta F=\rho gh\cdot w(h)\Delta h$，总量是积分。
若挡板形状不规则，$w(h)$ 就是随深度变化的宽度函数——这正是积分存在的意义：压强随深度变、宽度随深度变，两件都在变的事，只有一个积分能同时处理。 矩形挡板下 $F=\frac12\rho gwH^2$，它也可以用"形心压强乘总面积"快速算出，两者一致。
③ 它们的共同结构
做功：$\Delta W=F(x)\Delta x$（力 × 小位移）；液体压力：$\Delta F=\rho gh\cdot w(h)\Delta h$（压强 × 小面积）；曲边梯形面积：$\Delta A=f(x)\Delta x$（高 × 小宽度）；AUC：$\Delta(\text{AUC})=C(t)\Delta t$（浓度 × 小时段）。四者形式完全一样：一个"强度量"乘一个"小长度量"。 认出这个结构，你就能自己写出微元，而不必背公式。
④ 做题时的两个自查
自查一（量纲）： 把微元与总量的单位写出来比一比。做功必须是"牛乘米"，压力必须是"牛"，面积必须是"平方米"。量纲对不上，公式就一定错了。
自查二（量级）： 用"最粗的估计"框住结果。斜弹簧那题的结果必须小于"最大力 4 牛乘位移 0.02 米 = 0.08 焦耳"；液体压力那题的结果必须小于"底部压强 $\rho gH$ 乘总面积 $wH$"。几秒钟的估计，能挡住数量级上的错误。
💡 把两类物理量放在一起看： 做功的微元是"力 × 小位移"，液体压力的微元是"压强 × 小面积"。它们都不是"函数乘自变量"这么抽象的说法，而是一个具体的、能说出口的物理量。 把这句话说出来，公式就自己浮出来了。
1.6 医药学应用 · AUC 与平均浓度 · 医学与 AI这一节把前面所有套路用到最贴近本专业的地方：血药浓度曲线下的面积 。它既是积分题，也是药品评价里的正式指标。
💊 核心思想：积分 = 累积量
先建立一个总纲。若某生理量随时间变化，曲线记作 $C(t)$，那么它在时间区间上的定积分
$$\text{AUC}=\int_{t_1}^{t_2}C(t)\,dt$$
表示的就是这个量在这段时间里的累积量 。为什么？因为微元 $C(t)\Delta t$ 的含义是"在这段小时段里，以近似不变的浓度持续了 $\Delta t$ 时间所积累的量 "。把所有小时段累积起来，就是总量。这与"路程 = 速度对时间积分"是同一个道理：横轴是时间、纵轴是速率类物理量，积分就是总量。
📈 血药浓度曲线下面积（AUC）
📖 AUC 是什么
把血药浓度—时间曲线在某个时间区间下方围出的面积，记作 AUC。它反映药物在这段时间里对机体的总暴露量 ；面积越大，暴露越多。它是药品评价中的正式指标，而不是数学上的临时定义。
➗ 平均血药浓度
把 AUC 除以时间长度，得到这段时间的平均血药浓度 ：$\bar{C}=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}C(t)\,dt$。它比"随便挑一个时刻测一次"稳定得多，适合用来比较不同给药方案。
🎯 为什么"比面积"比"比峰值"更合理
峰浓度只反映一个瞬间，可能因为采样时刻的微小差别而失真；而 AUC 把整条曲线的贡献都算进去了，与"进入体内的药量"关系更直接。所以仿制药评价里，AUC 与峰浓度是并列的两个主要指标。
⚠️ 一个必须守住的边界
AUC 的具体数值取决于剂量、剂型、个体差异，不能凭想象给一个数就说"这是某药的 AUC" 。本课所有数值都来自明确写出的演示函数 ，只用于练方法，不作为任何真实药物的数据。
🧮 例题：从一个演示函数算 AUC 与平均浓度
设某演示用的血药浓度函数（单位为毫克每升，$t$ 以小时计）为
$$C(t)=12\bigl(e^{-0.2t}-e^{-0.8t}\bigr)\qquad(t\ge0)$$
这是一条"先升后降"的曲线：$C(0)=0$，随后上升，再缓慢衰减趋于 0。它的达峰时间 由 $C'(t)=0$ 解出，即 $0.2e^{-0.2t}=0.8e^{-0.8t}$，得 $t=\frac{5\ln4}{3}\approx2.310$ 小时，峰浓度约 $5.670$ 毫克每升。接下来算总暴露量：
$$\text{AUC}=\int_{0}^{+\infty}12\bigl(e^{-0.2t}-e^{-0.8t}\bigr)dt=12\left(\frac{1}{0.2}-\frac{1}{0.8}\right)=12\times3.75=45$$
再算两个时间区间上的平均浓度：
$$\bar{C}_{0\sim3}=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}C(t)\,dt\approx4.477\qquad \bar{C}_{0\sim5}=\frac{1}{5}\int_{0}^{5}C(t)\,dt\approx4.640$$
⚠️ 这里有一个非常容易犯的错：把 $\bar{C}_{0\sim3}$ 算成 $\frac{\text{AUC}}{3}=\frac{45}{3}=15$。 错在哪？$45$ 是"积到无穷远"的总面积，而 $0\sim3$ 小时的面积只有约 $13.43$（除以 3 得 4.477）。把后面所有时段的面积提前摊到前 3 小时上，平均浓度就被严重放大了。 平均浓度的分子与分母必须对应同一个 时间区间。
🕐 静脉滴注停药后的残留暴露
恒速静脉滴注时浓度可写成 $C(t)=C_{ss}\bigl(1-e^{-kt}\bigr)$，$0\sim T$ 的累积暴露为 $\int_0^{T}C(t)\,dt=C_{ss}\left(T-\frac{1-e^{-kT}}{k}\right)$，而这段时间的平均浓度 为 $\bar{C}=C_{ss}\left[1-\frac{1-e^{-kT}}{kT}\right]$。当滴注时间 $T$ 很长时，这个平均浓度趋近稳态浓度 $C_{ss}$ ——"滴得越久，平均越接近稳态"，这句话在数学上就是那个极限。
💤 停药之后：残留暴露怎么估
停药瞬间浓度记作 $C(T)$，此后按指数衰减：$C(T+h)=C(T)e^{-kh}$（$h$ 是停药后经过的时间）。下降曲线下的面积是 $\int_0^{+\infty}C(T)e^{-kh}dh=\frac{C(T)}{k}$——残留暴露恰好等于"停药时浓度除以消除速率常数" 。这是一个非常漂亮的结论：想减小心里的"残留暴露"，看的不是停药时浓度一个数，还要看药物消除得多快（$k$ 越大，尾巴越短）。
📈 动态演示：血药浓度 AUC 与平均浓度
下图画出上述演示函数。拖动滑块选择右端点 $T$，阴影是 $0\sim T$ 的 AUC，图上方同时给出这一区间的平均浓度。
🏥 医学里的"积分即累积"还有哪些
生理量 纵轴 横轴 积分得到什么 血药浓度曲线 浓度 时间 总暴露量 AUC；除以时长即平均浓度 血流速度曲线 流量（体积每秒） 时间 一段时间内流过的血液总量（如每搏输出量） 呼吸流量曲线 气流速度 时间 一次呼吸的潮气量 药物释放曲线 释放速率 时间 缓释制剂累计释放的药量
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💡 这四行其实是同一件事。 它们的纵轴都是"速率类"物理量（单位时间里有多少），横轴都是时间，所以积分得到的都是"总量"。认准"速率乘时间等于总量"这个量纲关系，就能判断一个量该不该用积分求。
🤖 数学与 AI：神经网络里的"积分"
∑ 训练损失本身就是累积量
训练模型时用的经验风险是"把每个样本的误差加起来再平均"，写成数学形式就是一个和式 ；当样本可以被看成来自一个连续分布时，这个和式的极限就是积分 。所以"最小化平均误差"在连续视角下就是"最小化一个积分"。
📉 平均平方误差的积分形式
常见的均方误差把若干点上的误差平方求平均，记作 $\frac{1}{n}\sum\bigl(y_i-\hat{y}_i\bigr)^{2}$。它在连续极限下对应"误差平方在定义域上的平均"，也就是一个积分除以区间长度——与本课"平均浓度 = AUC 除以时长"的结构完全一样 。
🖼️ 图像处理里的卷积与积分
图像滤波、下采样、求图像某区域的总亮度，本质上都是"在区域上做加权累积"。把它写成连续形式就是积分；计算机里做的是离散和，也就是梯形法、矩形法这类数值积分。
🧮 数值积分：把"算不出"变成"算得动"
AUC 的实际测量往往只有若干时间点的离散数据，没有函数表达式。这时用梯形法 ：把相邻两个采样点连成梯形，把许多梯形的面积加起来。它正是"切细、近似、求和"四步的离散版本——与定积分的定义只差一个取极限 。
🔍 分清两件事： 本课的积分是精确的解析计算 （有函数表达式、能算原函数）；而临床上算 AUC 常常只能用数值积分 （只有离散点、没有表达式）。两者思路相同，精度与适用场景不同。不要因为"实际数据是离散的"就以为定积分的理论没用——恰恰是理论告诉我们该怎么近似、以及近似会差多少。
🔍 物理与医学应用：变力做功、液体压力、药物 AUC 与平均浓度 · 点击展开 ▼ 🔍 收起应用详解 ▲
本面板与"物理与医学应用"内容互通 ，正文见 1.5 节的变力做功与液体压力、1.6 节的 AUC 与平均浓度。核心是三句话：变力做功的微元是"力 × 小位移" ，$W=\int F(x)dx$；液体压力的微元是"压强 × 小面积" ，$F=\int_0^H\rho gh\,w(h)dh$；AUC 的微元是"浓度 × 小时段" ，$\text{AUC}=\int C(t)dt$，除以时长即平均浓度。
🔍 医学应用：AUC 与平均浓度的完整推导 · 点击展开 ▼ 🔍 收起医学应用详解 ▲
① AUC 的"总暴露"含义怎么理解
把时间切成小时段，在每段里以近似不变的浓度 $C(t)$ 持续了 $\Delta t$ 时间，累积量就是 $C(t)\Delta t$。把所有小时段加起来取极限，得到 $\int C(t)\,dt$。它与"路程 = 速度对时间的积分"完全同构：纵轴是速率、横轴是时间，面积就是总量 。所以 AUC 反映"药物在体内暴露了多少"，而不是"某个瞬间有多高"。
② 平均浓度：分子分母必须在同一区间
$\bar{C}=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}C(t)dt$。本课演示函数给出 $\bar{C}_{0\sim3}\approx4.477$、$\bar{C}_{0\sim5}\approx4.640$。注意这两个数并不单调下降 ——因为 $0\sim5$ 里多出来的 $3\sim5$ 小时那一段浓度仍然偏高，把平均往上抬了一点。所以"区间越长平均越小"是错的，平均浓度的高低取决于区间内曲线的形状 。只有取到整个药时曲线（分母趋于无穷），平均值才趋于 0。
③ 用初等函数算 AUC 的通用办法
若浓度由若干个指数项组成（$C(t)=\sum A_ie^{-k_it}$ 这样的形式），每一项的无穷积分都是 $A_i/k_i$，于是 AUC 等于各项 $\frac{A_i}{k_i}$ 的代数和。本课的例子只有两项：$12/0.2-12/0.8=60-15=45$。这就是药代动力学里常用的"以 $1/k$ 为系数的面积公式"。
④ 滴注、停药与残留暴露
恒速滴注 $C(t)=C_{ss}(1-e^{-kt})$：$0\sim T$ 的累积暴露 $\int_0^{T}C(t)dt=C_{ss}\bigl(T-\frac{1-e^{-kT}}{k}\bigr)$，平均浓度 $C_{ss}\bigl[1-\frac{1-e^{-kT}}{kT}\bigr]$，随 $T$ 增大趋近 $C_{ss}$。停药后浓度按 $C(T)e^{-kh}$ 衰减，残留暴露 $\int_0^{\infty}C(T)e^{-kh}dh=\frac{C(T)}{k}$。半衰期可由 $e^{-k\,t_{1/2}}=\frac12$ 定义，即 $t_{1/2}=\frac{\ln2}{k}$ ；$k$ 越大，半衰期越短，残留暴露也越小。
⑤ 只有离散数据时：梯形法
临床上往往只有几个时间点的浓度值。此时把相邻两点连成梯形，面积 $\frac{(C_i+C_{i+1})}{2}\Delta t$ 全部相加即可。本课演示函数用梯形法在 $0\sim60$ 小时上取 6000 段，得到约 44.9996，与精确值 45 相差不到 0.001 ；若只积到 20 小时，会漏掉尾部约 1.099 的面积，结果偏小约 1.1——这不是梯形法的误差，而是积分区间取得不够长。 下结论前先分清这两件事。
物理与医学应用的完整内容见本课 1.5 节与 1.6 节 ，这里只列最需要记住的三条：变力做功 $W=\int_a^bF(x)dx$（微元是"力 × 小位移"）；液体压力 $F=\int_0^H\rho gh\,w(h)dh$（微元是"压强 × 小面积"）；药物总暴露 AUC $=\int C(t)dt$（微元是"浓度 × 小时段"），除以时长即平均浓度。三者形式相同：强度量乘小长度量。
1.7 拓展资源 · 自主加练本课配有一条知识短片 （约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示 与公开课检索入口 ，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容：微元法四步 → 上减下求面积 → 交点必须解方程 → 曲线交叉要分段取绝对值 → 参数方程换元换限 → 圆盘法与柱壳法的选择 → 变力做功与液体压力 → AUC 与平均浓度 → 数值积分与 AI 里的累积量。本片为中文解说版 （配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
演示 位置 看什么 面积随分割点此消彼长 开场（1.0 之前） 拖动 $x_0$，看左侧面积增大时右侧面积如何相应减小 两曲线围成的面积 1.1 节 确认"上减下"用的是哪条曲线，交点 $x=-1$ 与 $x=2$ 是不是解出来的 曲线交叉必须分段 1.2 节 移动测试点，观察在 $(-2,0)$ 与 $(0,2)$ 上谁在上方互为相反 参数曲线的面积微元 1.3 节 参数 $t$ 变化时 $x(t)$ 是否单调增，从而判断要不要负号 圆盘微元与柱壳微元 1.4 节 对比"半径是 $f(x)$"与"半径是 $x$"，看清两个公式的区别 变力做功 1.5 节 曲线下面积随位移增大而增大，注意它不是线性增长的 AUC 与平均浓度 1.6 节 改变观察区间右端 $T$，看 AUC 与平均浓度各自怎么变
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📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学"或"定积分的应用"，可找到多所高校的完整课程录像。本课内容通常归在"定积分及其应用"模块内，重点看"元素法（微元法）"与"旋转体体积"两节。
📺 视频平台
在主流视频平台搜索"定积分求面积""旋转体体积 圆盘法 柱壳法""曲线下面积 AUC"，建议优先选择有动画演示的版本，边看边把"微元写出来"这一句自己复述一遍。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）定积分应用部分：平面图形的面积、旋转体的体积、变力做功与液体压力、以及医药学中的简单应用。课后习题建议全部完成，其中需要分段的面积题至少做 3 道 。
📌 复习建议： 本课最容易被"看懂了"骗过去——公式全认识，一到列式就错。建议按这个顺序练：先练"解交点定限"（10 道，只求解出限不积分）→ 再练"写微元"（10 道，用一句话说出微元代表什么物理量）→ 最后练完整计算（每类 3 道） 。前两步练熟，第三步自然顺。
1.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉 🧮 演算台
1️⃣ 曲线 $y=x^{2}$ 与直线 $y=x+2$ 围成的图形面积是？
A. $\dfrac{9}{2}$
B. $9$
C. $\dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{5}{2}$
提交答案
🧮 演算台
2️⃣ 曲线 $y=4x$ 与 $y=x^{3}$ 围成的图形共有几个交点（对应几个不同的 $x$ 值）？
A. 1 个（$x=0$）
B. 2 个（$x=0$ 与 $x=2$）
C. 3 个（$x=-2$、$x=0$ 与 $x=2$）
D. 4 个（$x=\\pm2$ 各为二重根）
提交答案
🧮 演算台
3️⃣ 由 $y=x^{2}$、$x=2$ 及 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转所成的旋转体体积是？
A. $\dfrac{32\pi}{5}$
B. $\dfrac{16\pi}{5}$
C. $\dfrac{8\pi}{3}$
D. $\dfrac{32\pi}{3}$
提交答案
🧮 演算台
4️⃣ 某演示用血药浓度函数 $C(t)=12\left(e^{-0.2t}-e^{-0.8t}\right)$（毫克每升，$t$ 以小时计），从 $t=0$ 到 $t\to+\infty$ 的曲线下面积 AUC 是？
A. $60$
B. $15$
C. $45$
D. $3.75$
提交答案
🧮 演算台
5️⃣ 一物体在变力 $F(x)=2x$（牛顿，$x$ 以米计）作用下沿 $x$ 轴由 $x=0$ 移动到 $x=3$，该力所做的功是？
A. $6$ 焦耳
B. $9$ 焦耳
C. $18$ 焦耳
D. $4.5$ 焦耳
提交答案
1.9 数学思维导图 · 本课小结🧠 定积分应用的知识思维导图
📘 定积分的
微元法四步
切细 → 近似 → 求和 → 取极限 先定限：解方程求交点 写微元要说清物理量 量纲与量级自查 平面图形面积
x 型：上减下 y 型：右减左 交叉必须分段 面积恒正，不能抵消 参数方程面积
$A=\int y(t)x'(t)dt$ 先判断曲线走向 换元必须同时换限 摆线 3πa²、星形线 3πa²/8 旋转体体积
绕 x 轴：圆盘法 π∫f²dx 绕 y 轴：柱壳法 2π∫xf dx 先选轴再选公式 夹逼与换法互检 物理与医学
变力做功 ∫F dx 液体压力 ∫ρgh·w dh AUC = ∫C(t)dt 平均浓度 = AUC 除以时长
✅ 本课小结
✂️
定积分应用只有一套方法：微元法。 切细 → 近似（写成微元）→ 求和 → 取极限。列积分的固定顺序是先定限（解方程求交点）、再写微元、然后套公式、最后算积分 。限错了全盘皆错，且往往错得不显眼。
📐
面积：上减下、右减左。 $A=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx$（要求 $f\ge g$）或 $A=\int_c^d[\varphi(y)-\psi(y)]dy$。曲线交叉时必须分段并取绝对值 ——$y=4x$ 与 $y=x^3$ 若不分段，积分结果会因对称性抵消成 0，而真实面积是 8。
🎡
参数方程围成的面积：$A=\int_{\alpha}^{\beta}y(t)x'(t)dt$。 用之前先判断曲线走向决定负号，并且换元的同时必须换限 。两个可复用的真值：摆线一拱下面积为 $3\pi a^2$，星形线围成的面积为 $\frac{3\pi a^2}{8}$。
🛢️
旋转体体积：先选对旋转轴，再选公式。 绕 x 轴用圆盘法 $V=\pi\int_a^b f^2(x)dx$（半径是函数值）；绕 y 轴用柱壳法 $V=2\pi\int_a^b xf(x)dx$（半径是自变量）。轴选错，公式全错 ：同一区域绕 x 轴是 $\frac{\pi}{5}$，绕 y 轴是 $\frac{\pi}{2}$，相差 2.5 倍。
🪝
物理应用：微元 = 强度量 × 小长度量。 变力做功 $\Delta W=F(x)\Delta x$，$W=\int_a^bF(x)dx$；液体压力 $\Delta F=\rho gh\cdot w(h)\Delta h$，$F=\int_0^H\rho gh\,w(h)dh$。量纲必须与总量一致，结果必须落在粗略估计的范围内。
💊
医学应用：积分 = 累积量。 AUC $=\int_{t_1}^{t_2}C(t)dt$ 反映药物的总暴露；平均浓度 $=\frac{\text{AUC}}{t_2-t_1}$，分子与分母必须在同一时间区间 （本课演示函数 $\bar C_{0\sim3}\approx4.477$，绝不是 $45/3=15$）。滴注停药后残留暴露 $=\frac{C(T)}{k}$。
🚀
下节预告：多元函数基础及偏导数 ——从这一课起，我们一直只处理"一个自变量"的函数。下一课进入二元函数：定义域变成平面上的区域，几何图像变成空间曲面，而"在某点沿某个方向的变化率"就是偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$。记住那条红线：求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 时把 $y$ 当作常数。