普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
多元函数基础及偏导数
第六章 多元函数微分学 · 第 17 次课
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
高等数学 C · 授课对象：医学生 · 2 学时
二元函数 · 定义域是平面点集 · 空间曲面 · 二重极限要求任意路径 · 沿 y 等于 x 得二分之一 · 偏导数把另一变量当常数 · 沿坐标轴方向的变化率 · 混合偏导连续才相等 · 偏导存在推不出连续
💭 上课之前 · 请想一想
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同一个药，给剂量 $D$ 相同的两个人，血药浓度一样吗？
不一样。浓度同时受剂量和体重影响。只改其中一个、另一个按住不动，浓度会怎么变？这正是偏导数要回答的问题：多因素作用时，单独看某一个因素的作用。
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体表面积既有身高又有体重，它"对身高的变化率"该怎么定义？
一元函数只有一个自变量，变化率就是切线斜率。现在自变量有两个，变化率就不再只有一个——必须说清"是相对于哪一个自变量"。这就是本课要建立的新概念。
✦ 带着这两个问题，进入今天的主角 ✦
🤔 一个变量不够用了，怎么办？
医学里绝大多数指标都由多个因素共同决定——血压取决于心输出量与外周阻力，体表面积取决于身高与体重
🧭二元函数的定义域是一个平面点集，边界开闭要单独讨论
🗺️二元函数的图像是空间里的一张曲面，等高线是它在平面上的投影
🛣️二重极限要求以任意方式趋近都得到同一个值，沿一条路径算出来不算数
✂️求偏导数就是把另一个变量当常数，几何上是沿坐标轴方向切一刀的切线斜率
先看一段动态演示。把体表面积 $\text{BSA}=\sqrt{hw/3600}$ 看成身高 $h$ 与体重 $w$ 的二元函数，它的图像是空间里的一张曲面，画在纸上必须降维。降维最省事的办法是：把其中一个变量按住不动，切出一元曲线。下面这张球面被平面切一刀的图，就是这个动作最直观的样子。
📊 先看一眼：曲面被"切一刀"之后是什么
球面是二元函数（比如 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$）的图像。把 $y$ 固定在某个值上，相当于用一张平行于 $x$ 轴的平面去切它，切出来的交线是一条圆弧——它只是 $x$ 的一元函数。拖动滑块改变切的位置，看这条圆弧怎么变。
一元函数研究"一条线上的变化"，
多元函数研究"一整片上每个方向的变化"。
—— 从一条线到一个面
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为什么"变化率"突然变成了好几个
一元世界里同一个点只有左右两个方向，所以"变化率"只有一个；
到了二元世界，一个点周围有无数个方向，变化率自然也就有了无数种说法
📖 一元函数为什么会只有一个变化率
一元函数 $y=f(x)$ 的自变量只有 $x$ 一个通道。讨论 $x_0$ 处的变化率时，$x$ 只能从左边来或从右边来，所以差商 $\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 里只有一个可变方向。极限存在，就说它在这一点可导，数值就是切线斜率。
到了二元函数 $z=f(x,y)$，在点 $(x_0,y_0)$ 附近，可以让 $x$ 与 $y$ 同时变化，也可以只让 $x$ 变、也可以只让 $y$ 变，还可以沿着一条斜线一起变。方向有无数多个，那么"变化率"自然就不是一个数了。本课采取的简化办法是：先只看两个最特殊的方向——沿着 x 轴方向、沿着 y 轴方向，把它们的变化率分别叫偏导数。
🎯 一元一个点、两个方向（左、右）→ 一个变化率 → 导数
🎯 二元一个点、无数方向 → 无数变化率；先取其中两个 → 偏导数
⚠️ 最关键的一句：偏导数只是"沿着坐标轴方向"的变化率，它不能代表所有方向。所以后面才会出现"偏导数都存在，函数却仍然不连续"这种在一元情形下根本不可能的现象
🧮 一个可检验的判据：求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 时，把 $y$ 当常数；如果你算出来的结果里 $y$ 的幂次反而升高了，多半是把它当变量了
🌍 从"看一条线"到"看一整片"
心电图是一条线，一张胸片是一整片；体温是时间的函数，体表面积是身高与体重的函数。医学数据天然就是多因素的，把目光从一条曲线抬到一张曲面，是这一课真正要做的事。
但曲面不好画、也不好算。工程上最常用的降维办法就是先固定一部分变量：研究某个因素单独的影响时，把其他因素钉住不动，问题立刻退回成一元函数——这一步"钉住"，就是偏导数。后面第 19 次课研究极值、第 20 次课研究条件极值，都要反复用到这个动作。
上一课我们把一元函数积分出来的量算了个遍，所有问题都只有一个自变量。
这一课把视野打开：当自变量有两个、甚至更多时，变化率要一个一个地看——这就是偏导数。
💡 学这一课之前
前面十六次课，我们研究的函数一律长成 $y=f(x)$ 的样子：一个自变量，一个函数值，图像是一条平面曲线。可只要走进医学现场，这种"单输入单输出"的模型立刻就不够用了。体表面积要身高和体重，血压要心输出量和外周阻力，药物疗效要剂量和给药间隔。于是问题分三层：这样的函数怎么定义、它的定义域长什么样？它的极限该怎么谈——自变量现在能沿着无数条路跑过来？以及，它的变化率能不能只用一个数说清？
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一、本课要补上的三个缺口
缺口一，定义域：一元函数的定义域是数轴上的区间，写成 $[a,b]$ 就行；二元函数的定义域是平面上的一个点集，还要讨论边界取不取。缺口二，极限：一元函数趋近一个点只有左右两条路，二元函数有无数条路，"极限存在"的门槛一下子高了很多。缺口三，变化率：一元函数只有一个变化率，二元函数必须指明"相对于谁"。
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二、为什么医学生必须把它练熟
临床上最常被问到的其实是敏感度问题：剂量加一成，浓度会抬多少？体重多十公斤，同样的剂量浓度会降多少？这类问题的答案就是偏导数。它还有一个更实用的身份——多因素里边只算一个因素的作用，把其他因素按住不动，这样才说得清"究竟是谁在起作用"。
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三、本课的四条主线
①多元函数与定义域：二元函数的定义域是平面点集，几何表示是一张空间曲面。②二重极限：必须沿任意路径都趋于同一个值，沿一条路径算出来不算数（★红线）。③偏导数：求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 时把 $y$ 当常数，它是沿坐标轴方向的变化率（★红线）。④偏导数存在推不出连续——这条与一元情形完全相反，是本课最大的认知颠覆（★红线）。
✦ 上一课把一元函数算透了，这一课把它升到二维 ✦
17.1 多元函数的概念 · 定义域是平面点集
先立概念。一元函数 $y=f(x)$ 是"一个数进、一个数出"；二元函数 $z=f(x,y)$ 是"一对数进、一个数出"。别小看这多出来的一个输入，它把定义域从一个区间变成了一片平面区域，把图像从一条曲线变成了一张曲面。
✏️ 二元函数的定义
设 $D$ 是平面上的一个非空点集。如果对于 $D$ 内的每一个点 $(x,y)$，按照某个对应法则 $f$，都有唯一确定的实数 $z$ 与之对应，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的二元函数，记作
$$z=f(x,y),\qquad (x,y)\in D$$
其中 $x$、$y$ 叫自变量，$z$ 叫因变量，$D$ 叫这个函数的定义域，全体函数值组成的集合叫值域。二元函数的两个自变量是"平权"的：写成 $f(x,y)$ 还是 $f(y,x)$ 没有区别，但顺序一旦约定就不要换，因为后面 $f_x$ 与 $f_y$ 要对得上号。
💡 一句话对比：一元函数的定义域是数轴上的一个区间；二元函数的定义域是平面上的一个点集（通常是一块区域）。这是本课第一条经常被忽略的红线——定义域必须写成平面点集，边界取不取要单独说清。
🧭 定义域的三种典型样子
| 类型 | 典型条件 | 几何形状 | 边界 |
|---|
| 无约束型 | 整张平面都能取，如 $z=x^2+y^2$ | 全平面 | 无边界 |
| 闭区域型 | 如 $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$，要求 $x^2+y^2\le 9$ | 闭圆盘 | 圆周要取到（因为可以等于） |
| 开区域型 | 如 $z=\ln(9-x^2-y^2)$，要求 $x^2+y^2\lt 9$ | 开圆盘 | 圆周不取（真数必须大于零） |
| 区域相交型 | 如 $z=\ln(9-x^2-y^2)+\sqrt{x+y^2}$，两个条件要同时满足 | 圆盘与抛物区域的交集 | 两段边界分别判断 |
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★ 红线：求二元函数定义域的三步走。第一步，把每一个"限制条件"单独写出来（分母不为零、偶次根号下非负、对数的真数大于零、反正弦反余弦的绝对值不超过一）；第二步，把这些条件用且的意思取交集；第三步，把结果写成平面点集，并说清边界取不取。第三步最容易漏。
📈 动态演示一：定义域是一片平面点集
取 $z=\ln(9-x^2-y^2)+\sqrt{x+y^2}$。它同时要求 $x^2+y^2\lt 9$（圆内）与 $x+y^2\ge 0$（抛物线右侧）。下图把两块区域分别画出来，重叠的那块阴影就是定义域，拖动滑块可以移动试探点，看它落在区域内还是区域外。
🔍 边界怎么讨论（这道题逐个说清）：
圆周 $x^2+y^2=9$：这里真数变成 $0$，对数不许，所以圆周上的点一律不属于定义域，边界画成虚线。
抛物线 $x=-y^2$：这里根号下等于 $0$，允许，所以抛物线上的点属于定义域，边界画成实线。
于是定义域是"开圆盘与"抛物线右侧闭区域"的交集，它是一个有界的区域吗？不是——它被圆盘限制住了，所以有界，这一点在下面 17.2 会用上。
📐 例题精讲：求定义域并画成图形
📐 例 1 求 $z=\ln(9-x^2-y^2)+\sqrt{x+y^2}$ 的定义域。
解 逐条列条件：
对数部分要求真数为正：$9-x^2-y^2\gt 0$，即 $x^2+y^2\lt 9$；
根号部分要求被开方式非负：$x+y^2\ge 0$，即 $x\ge -y^2$。
两者必须同时成立，所以
$$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\lt 9\ \text{且}\ x+y^2\ge 0\}$$
核对：点 $(0,0)$ 满足 $0\lt 9$ 与 $0\ge 0$，在定义域内；点 $(3,0)$ 处 $3^2+0^2=9$ 不满足严格小于，不在定义域内；点 $(-1,0)$ 处 $-1+0\lt 0$，也不在定义域内。
📐 例 2 求 $z=\dfrac{\sqrt{4-x^2-y^2}}{x^2+y^2-1}$ 的定义域。
解 分母不为零：$x^2+y^2\ne 1$；根号下非负：$4-x^2-y^2\ge 0$，即 $x^2+y^2\le 4$。
所以
$$D=\{(x,y)\mid 1\lt x^2+y^2\le 4\ \text{或}\ x^2+y^2\lt 1\}$$
更紧凑的写法是 $x^2+y^2\le 4$ 且 $x^2+y^2\ne 1$。几何上是一个闭圆盘挖掉单位圆周：外圆周 $x^2+y^2=4$ 取得到（实线），单位圆周 $x^2+y^2=1$ 整条挖掉（虚线，且内外都不取）。注意圆心 $(0,0)$ 是取得到的——$x^2+y^2=0\lt 1$，满足条件，别把"挖掉单位圆周"误当成"挖掉整个单位圆盘"。
📐 例 3 求 $z=\arcsin(x+y)$ 的定义域。
解 反正弦要求自变量在 $[-1,1]$ 内：$-1\le x+y\le 1$。所以
$$D=\{(x,y)\mid -1\le x+y\le 1\}$$
几何上是夹在两条平行直线 $x+y=-1$ 与 $x+y=1$ 之间的闭带形区域，两条边界都取得到，而这个区域是无界的（沿着带形方向可以走多远走多远）。有界与无界，是描述定义域时必须补上的一句话。
📈 动态演示二：二元函数的几何表示——曲面与等高线
二元函数 $z=f(x,y)$ 的图像是空间里的一张曲面，它没法直接画在一张平面纸上。工程上的标准办法是降维：把高度 $z$ 相同的点连起来，得到一族平面曲线，叫等高线；等高线图上任意一点的疏密，反映的就是曲面的陡缓。下面看 $z=x^2+y^2$ 的等高线族——它是一族同心圆，半径等于 $\sqrt{z}$。
🔍 把数算清楚（本图所有数值均已程序复算）：等高线 $z=c$ 的方程是 $x^2+y^2=c$，所以它是以原点为圆心、半径 $\sqrt{c}$ 的圆。$c=0$ 时退化为一个点（原点）；$c=\dfrac{1}{4}$ 时半径 $\dfrac{1}{2}$；$c=1$ 时半径 $1$；$c=\dfrac{9}{4}$ 时半径 $\dfrac{3}{2}$；$c=4$ 时半径 $2$。等高线越靠外越密吗？不是——相邻两层之间半径的差在变小（$1-\dfrac{3}{2}$ 与 $2-\dfrac{3}{2}$ 相比），说明曲面在越来越陡。点 $(1,2)$ 落在 $c=1^2+2^2=5$ 这条等高线上，半径应为 $\sqrt{5}\approx 2.2361$。
① 为什么说"定义域必须写成平面点集"
一元函数的定义域是数轴上的区间，一个不等式就能说清。二元函数的定义域是平面上的一块区域，只用一句话往往说不全——必须写出是由哪几条曲线围起来的、边界取不取。本课例 1 的定义域由一段圆弧与一段抛物线共同围成，如果不写清楚"圆周不取、抛物线取"，这个定义域就是模糊的。工程上判据很简单：拿到一个二元函数，先画图，再写集合表达式，最后逐段标开闭。
② 四个最常见的限制条件
分母不为零：出现分式时先记下分母不等于零，这条界限常常是"挖掉一条曲线"。
偶次根号下非负：$\sqrt{g}$ 要求 $g\ge 0$，可以等于零，所以边界通常取得到。
对数的真数为正：$\ln g$ 要求 $g\gt 0$，不能等于零，所以边界通常取不到。这一条与上一条恰好相反，是最容易混的地方。
反三角的值域限制：$\arcsin g$ 与 $\arccos g$ 要求 $-1\le g\le 1$，给出两条边界，都取得到。
③ 陷阱一：把"交集"写成"并集"
多个限制条件之间是并且的关系，不是"或者"。例 1 里 $x^2+y^2\lt 9$ 与 $x+y^2\ge 0$ 必须同时成立；若有人把它们写成并集，定义域会凭空变大一倍还多。判断办法：随便取一个点代进去，若两个条件之一不成立，它就不该在定义域里。
④ 陷阱二：忘了讨论边界
同样两个条件"$x^2+y^2\le 9$"与"$x^2+y^2\lt 9$"，画出来的圆盘看起来一样，但一个有边界、一个没有。后续讨论连续性、极值、二重积分时，"边界取不取"直接决定结论成不成立，所以它不是一个可以省略的细节，而是定义域的一部分。
⑤ 陷阱三：把"有界"与"闭"混为一谈
有界说的是"能不能装进一个足够大的圆里"；闭说的是"边界取不取"。例 3 的定义域 $-1\le x+y\le 1$ 是闭的，却无界（无限长的带形）；而例 2 里挖掉单位圆周之后既不是开的也不是闭的。这两个词各自独立，别混。
⑥ 二元函数的几何表示：曲面与等高线
在空间直角坐标系里，$(x,y)$ 是平面上的点，$z$ 是高度，所有点 $\bigl(x,y,f(x,y)\bigr)$ 组成一张曲面。曲面画在纸上必须降维，常用三条路：等高线图（把等高点投影到 $xy$ 平面）、切片曲线（把某个变量固定，切出一元函数，下一节偏导数全靠它）、网格线（在曲面上画一族 $x=$ 常数与 $y=$ 常数的曲线）。本课所有画布都不画立体图，一律用等高线或切片曲线表达，就是为了让"降维"这件事本身被看见。
⑦ 验算习惯：把定义域"取点验一验"
写完定义域，务必挑三到五个点代回原式检查：区域内取一点（应当全部条件成立）、边界上各取一点（看开闭是否与你的结论一致）、区域外取一点（应当至少有一条不成立）。本课例 1、例 2 的每个点都做过这种回代验算。
17.2 二元函数的极限 · 必须"以任意方式趋近"
这是本课门槛最高的一节。一元函数里 "$x$ 趋于 $x_0$" 只有两条路：从左边来、从右边来。二元函数里 "$(x,y)$ 趋于 $(x_0,y_0)$" 有无数条路——直线、抛物线、螺旋线，怎么绕都行。所以"极限存在"这件事，标准一下子严了很多。
✏️ 二重极限的定义
设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域内有定义。如果当点 $(x,y)$ 以任意方式趋近于 $(x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)$ 都无限接近同一个常数 $A$，则称 $A$ 是 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时的极限，记作
$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A\qquad\text{或}\qquad f(x,y)\to A$$
★ 红线一：必须"以任意方式"都趋于同一个值。注意括号里那三个字——任意。只要存在两条不同的路径给出不同的极限值，就可以断定这个二重极限不存在。反过来，沿某一条路径算出一个值，不能推出二重极限存在，更不能推出它就等于那个值。
💡 为什么沿一条路算出来不算数：因为极限要求"无限接近"，而不只是"沿着某条路接近"。沿一条路你只检验了无数个点里的一列，剩下无穷多条路你根本没看过。这与一元函数完全不同——一元函数只有两条路，验证了左右两侧就验证了全部。
📈 动态演示一：沿不同路径趋近原点，得到不同的值
取经典反例 $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$。下图把三条路径画在同一张 $xy$ 平面上：沿 $y=0$（横轴）、沿 $y=x$（斜线）、沿 $x=0$（纵轴）。拖动滑块选择路径，右侧会实时显示沿这条路径算出的极限值——你会发现它们并不一样。
📐 把三条路径真的各算一遍（本课核心反例）：
沿 $y=0$（横轴）：代入得 $f(x,0)=\dfrac{x\cdot 0}{x^2+0}=0$，所以 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x,0)=0$。
沿 $x=0$（纵轴）：代入得 $f(0,y)=\dfrac{0\cdot y}{0+y^2}=0$，所以 $\displaystyle\lim_{y\to 0}f(0,y)=0$。
沿 $y=x$（斜线）：代入得 $f(x,x)=\dfrac{x^2}{x^2+x^2}=\dfrac{1}{2}$，这是一个常数，与 $x$ 无关，所以 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x,x)=\dfrac{1}{2}$。
沿 $y=-x$：$f(x,-x)=\dfrac{-x^2}{x^2+x^2}=-\dfrac{1}{2}$，极限等于 $-\dfrac{1}{2}$。
沿 $y=x^2$：$f(x,x^2)=\dfrac{x^3}{x^2+x^4}=\dfrac{x}{1+x^2}$，极限等于 $0$。
结论：$0$、$\dfrac{1}{2}$、$-\dfrac{1}{2}$ 三个值互不相同，所以 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 不存在。
🧭 还有一把更锋利的刀：极坐标。令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$（$r\gt 0$），则 $(x,y)\to(0,0)$ 等价于 $r\to 0^+$，而 $\theta$ 可以取任意值。代入本例：
$$\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2}=\cos\theta\sin\theta=\frac{\sin 2\theta}{2}$$
结果与 $r$ 完全无关，只随方向 $\theta$ 变化。$\theta=0$ 时值为 $0$，$\theta=\dfrac{\pi}{4}$ 时值为 $\dfrac{1}{2}$，$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ 时值为 $0$。既然取不同的 $\theta$ 得到的值不同，极限当然不存在。判据：极坐标化简后若结果中还留着 $r$，且当 $r\to 0^+$ 时它趋于 $0$，则极限存在且等于 $0$；若结果与 $r$ 无关而随 $\theta$ 变化，则极限不存在。
📈 动态演示二：二重极限与路径无关是什么样子
再看一个极限确实存在的例子：$f(x,y)=\dfrac{x^3}{x^2+y^2}$。它的极坐标形式是 $\dfrac{r^3\cos^3\theta}{r^2}=r\cos^3\theta$，里面还带着 $r$，而 $|\cos^3\theta|\le 1$，所以整个式子被 $r$ 压住——不论 $\theta$ 取什么，$r\to 0^+$ 时它都趋于 $0$。下图同时画出沿多种方向的取值曲线，拖动滑块看它们如何朝同一个高度收拢。
🔍 把数算清楚：沿 $y=0$ 得 $\dfrac{x^3}{x^2}=x\to 0$；沿 $y=x$ 得 $\dfrac{x^3}{2x^2}=\dfrac{x}{2}\to 0$；沿 $y=-x$ 得 $\dfrac{x}{2}\to 0$；沿 $y=x^2$ 得 $\dfrac{x^3}{x^2+x^4}=\dfrac{x}{1+x^2}\to 0$；沿 $y=kx$ 得 $\dfrac{x^3}{x^2+k^2x^2}=\dfrac{x}{1+k^2}\to 0$。五条路径全部得到 $0$。但请记住：这仍然只是"没有找到反例"，不等于证明了极限存在。真正的证明要用极坐标或夹逼：$\left|\dfrac{x^3}{x^2+y^2}\right|=\dfrac{|x|\cdot x^2}{x^2+y^2}\le |x|\cdot 1\to 0$，因为 $\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\le 1$。
⚠️ 一个必须知道的边界：沿一切直线都趋于 $0$，极限仍可能不存在。取 $h(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$。沿任何一条过原点的直线 $y=kx$：$h(x,kx)=\dfrac{kx^3}{x^4+k^2x^2}=\dfrac{kx}{x^2+k^2}\to 0$，全都趋于 $0$。可是沿抛物线 $y=x^2$：$h(x,x^2)=\dfrac{x^4}{x^4+x^4}=\dfrac{1}{2}$。所以这个极限也不存在。教训：验证"沿着直线"永远不够，路径可以是任意曲线。
① 判断二重极限不存在的标准动作
第一步，沿两条不同的路径各算一遍。最省事的两条路是 $y=0$ 与 $x=0$（沿两条坐标轴），通常能把常数项干掉；如果这两条给出同一个值，再试 $y=x$ 与 $y=-x$（两条斜线）；若还相同，试 $y=x^2$（抛物线）。第二步，只要发现两个值不相等，立刻收工——极限不存在。这两步是"证明不存在"的合法手段，因为定义里的"任意方式"包含了这两条路。
② 判断二重极限存在的标准动作
存在性不能靠"试了很多路径都一样"来证明，必须给出对所有路径都成立的估计。两个常用工具：极坐标法——把式子化成 $r$ 与 $\theta$ 的函数，若能写成 $g(\theta)\cdot r^{k}$（$k\gt 0$）且 $g(\theta)$ 有界，则极限为 $0$；夹逼法——把函数拆成"一个趋于零的因子"乘"一个有界量"，例如 $\dfrac{|x|\,x^2}{x^2+y^2}\le|x|$，右端趋于 $0$，所以原式趋于 $0$。
③ 陷阱一：把"沿一条路存在"当成"极限存在"
这是本课第一大失分点，也是概念上最根本的一处。本质原因：二重极限考察的是"二维地接近"，而沿路径取极限考察的是"一维地接近"。用一句话说透：沿路径算极限是必要条件，不是充分条件。做题时如果只在一条路上算完就下结论，等于只检查了试卷的第一道题就说全对。
④ 陷阱二：以为"沿一切直线都对"就万事大吉
前面那个 $h(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$ 就是专门用来打掉这个幻想的：沿所有过原点的直线都趋于 $0$，但沿抛物线 $y=x^2$ 得 $\dfrac{1}{2}$。路径不止直线，这一点在一元函数里根本不会遇到。
⑤ 二重极限与一元极限的对照表
趋近方式：一元只有两条（左、右）；二元有无数条。
验证门槛：一元验完两侧就是全部；二元验完有限条路径仍可能漏掉坏路径。
典型反例：一元极限不存在的经典是振荡（如 $\sin\dfrac{1}{x}$）；二元极限不存在的经典是沿不同路径得到不同值，这个现象在一元里不可能发生。
常见记号：一元写 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}$；二元写 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}$，括号里的那对变量必须一起看。
⑥ 二重极限的运算法则
与一元完全平行：若两个函数在同一过程中极限都存在，则它们的和、差、积仍存在，极限分别等于极限的和、差、积；商在分母极限不为零时也存在。另外，多元初等函数在其有定义的区域内处处连续，因此求极限时若把点直接代进去得到有限值，那个值就是极限——这与一元的"代入法"是同一个道理。
⑦ 验算习惯：反例要用至少三条路径各算一次
写反例时不要只写"沿 $y=x$ 得 $\dfrac{1}{2}$，沿 $y=0$ 得 $0$，所以不存在"就收笔——为了排除"算错了"的可能，建议至少三条路径并列出数值：$y=0$ 得 $0$、$y=x$ 得 $\dfrac{1}{2}$、$y=-x$ 得 $-\dfrac{1}{2}$、$y=x^2$ 得 $0$。本课所有路径极限都是用符号计算程序独立复算过的，数值与符号两条通道一致才写进课件。
17.3 二元函数的连续性 · 偏导数的定义
连续性在一元里说的是"极限值等于函数值"，二元里这句话照抄，没有任何修改——但门槛变高了，因为"极限存在"本身变难了。把连续性说完，我们就进入本课的主角：偏导数。
✏️ 二元函数的连续
设 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。若
$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$
则称 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续。与一元一样，这要求三件事同时成立：在该点有定义、二重极限存在、两者相等。三件事缺一，就是间断。
💡 一个好用的结论：多元初等函数在其有定义的区域内处处连续。所以像 $z=x^2y+xy^2$、$z=e^{x^2+y^2}$、$z=\ln(1+x^2+y^2)$ 这类函数，在定义域内部都连续，求极限直接代入即可。真正要小心的是分段函数在分段点、以及分母为零的曲线附近。
⚠️ 先记住这个对照，本节最后会用：一元函数里有一条铁律——可导必连续。到了二元函数，把"可导"换成"偏导数存在"，这条铁律立刻失效。这不是笔误，本课 17.5 节会给出一个货真价实的反例。
✏️ 偏导数的定义
二元函数在一点周围有无数个方向，我们没法一次说清所有方向的变化率。最省事、也最有用的做法是：先只沿着两条坐标轴方向看。这就是偏导数。
设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。把 $y$ 固定在 $y_0$ 不动，只让 $x$ 变动，若极限
$$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$
存在，则称它是 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$f_x(x_0,y_0)$ 或 $z_x$。同理，把 $x$ 固定在 $x_0$ 不动、只让 $y$ 变动，得到对 $y$ 的偏导数：
$$\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)}=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$
★ 红线二：求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 时，把 $y$ 当常数。这是全课操作层面最重要的一条。整个计算过程里，$y$ 就是一个普通的常数——像 $3$、像 $a$ 一样对待，该保留的保留，该提出去的提出去。求 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 时反过来，把 $x$ 当常数。如果你算完 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 发现结果里 $y$ 的幂次反而升高了，几乎一定是把 $y$ 当自变量了。
💡 为什么叫"偏"："偏"就是"偏袒、只考虑一部分"的意思。偏导数只考察沿坐标轴方向的变化率，它故意不看斜方向、也不看两个变量同时变的情形。这个"故意不看"既是它的方便之处，也是它最大的局限——后面 17.5 节的颠覆性结论正是从这个局限里冒出来的。
📈 动态演示：偏导数就是沿坐标轴"切一刀"的切线斜率
取 $z=x^2+y^2$。在曲面被"切一刀"这件事上，我们不用画立体图，而用降维的办法看：把 $y$ 固定在 $y=y_0$，切出来的交线是平面 $y=y_0$ 上的一条抛物线 $z=x^2+y_0^2$（图中蓝线）；这条曲线在 $x=x_0$ 处的切线斜率，就是 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}$。拖动滑块改变切的位置，看斜率怎么跟着变。
🔍 把数算清楚：$z=x^2+y^2$，所以 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}=2y$，两个偏导都只与各自的变量有关（这是 $x^2+y^2$ 这种"可分离"形状的特点）。在点 $(1,2)$ 处：$\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=2\times 1=2$，意义是"把 $y$ 钉在 $2$，$x$ 每增加一点，$z$ 大约增加 $2$ 倍那么多"。核对：切片 $y=2$ 上曲线为 $z=x^2+4$，在 $x=1$ 处 $z=5$，切线为 $z-5=2(x-1)$，即 $z=2x+3$；把 $x=1.1$ 代入得 $5.2$，而真实曲线值是 $1.1^2+4=5.21$，两者相差仅 $0.01$——切线是很好的局部近似，这正是偏导数的含义所在。
★ 几何意义（必须写全）：$\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}$ 就是曲面 $z=f(x,y)$ 被平面 $y=y_0$ 截出来的那条曲线，在点 $\bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr)$ 处的切线对 $x$ 轴的斜率。它度量的是"站在这条切片曲线上、沿 $x$ 轴方向走"时函数值变化得多快。同理 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 是被平面 $x=x_0$ 截出来的曲线的切线斜率。
📐 例题精讲：按定义求偏导数
📐 例 4 设 $z=x^2y+xy^2$，求在点 $(1,2)$ 处的两个偏导数。
解 求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 时把 $y$ 当常数：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=2xy+y^2$，代入 $(1,2)$ 得 $2\times 1\times 2+2^2=4+4=8$。
求 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 时把 $x$ 当常数：$\dfrac{\partial z}{\partial y}=x^2+2xy$，代入 $(1,2)$ 得 $1+2\times 1\times 2=1+4=5$。
核对：用定义式验一遍 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$。$f(1,2)=1^2\times 2+1\times 4=6$；$f(1+\Delta x,2)=(1+\Delta x)^2\times 2+(1+\Delta x)\times 4=2(1+2\Delta x+\Delta x^2)+4+4\Delta x=6+8\Delta x+2\Delta x^2$。于是差商 $=\dfrac{8\Delta x+2\Delta x^2}{\Delta x}=8+2\Delta x\to 8$。与公式法一致。
📐 例 5 设 $z=x^3y^2$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$。
解 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=3x^2y^2$（$y^2$ 当常数照抄）；$\dfrac{\partial z}{\partial y}=2x^3y$（$x^3$ 当常数照抄）。
易错点：$\dfrac{\partial z}{\partial y}=2x^3y$ 中 $y$ 的指数从 $2$ 降到 $1$，这是求导的正常表现。如果写成 $2x^3y^2$，说明你根本没求导，只是把 $x$ 换了字母。
📐 例 6 设 $z=e^{x^2+y^2}$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$。
解 把 $y$ 当常数时，$e^{x^2+y^2}=e^{y^2}\cdot e^{x^2}$，常数因子 $e^{y^2}$ 提出去：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{y^2}\cdot 2x\,e^{x^2}=2x\,e^{x^2+y^2}$。同理 $\dfrac{\partial z}{\partial y}=2y\,e^{x^2+y^2}$。
要点：这里用到了复合函数求导（链式法则）——外层是指数、内层是 $x^2+y^2$，对 $x$ 求导时内层的导数是 $2x$（$y^2$ 那一项当常数，导数为 $0$）。把 $y$ 当常数，不等于"把含 $y$ 的项当常数"：$e^{y^2}$ 是常数因子可以提出去，但 $e^{x^2+y^2}$ 里 $x$ 与 $y$ 是加在一起进指数的，必须老老实实按复合函数处理。
📐 例 7 设 $z=\ln(1+x^2+y^2)$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$。
解 把 $y$ 当常数，内层 $1+x^2+y^2$ 对 $x$ 求导得 $2x$，所以 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{2x}{1+x^2+y^2}$。
同理 $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{2y}{1+x^2+y^2}$。注意分母里 $y^2$ 必须留着——它是常数，但常数也要原样保留，不能因为"当常数"就丢掉。
📐 例 8 设 $z=\arctan\dfrac{y}{x}$（$x\ne 0$），求两个偏导数。
解 把 $y$ 当常数，$\dfrac{y}{x}$ 对 $x$ 求导得 $-\dfrac{y}{x^2}$。由链式法则
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)=\frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)=-\frac{y}{x^2+y^2}$$
把 $x$ 当常数，$\dfrac{y}{x}$ 对 $y$ 求导得 $\dfrac{1}{x}$，于是 $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x^2+y^2}$。
核对：在 $(1,1)$ 处 $z=\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}$，而 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{1}{2}$。顺便可以看出 $\dfrac{\partial z}{\partial x}+\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{x-y}{x^2+y^2}$，在 $x=y$ 的直线上恰好为 $0$——这是对称性带来的必然结果（函数关于 $x$ 与 $y$ 交换后变成 $\arctan\dfrac{x}{y}=\dfrac{\pi}{2}-z$）。
① 偏导数记号的三套写法
$\dfrac{\partial z}{\partial x}$：莱布尼茨式的写法，最清楚"对谁求导"；$f_x$ 或 $z_x$：下标写法，写起来快，在二阶偏导里特别方便（$f_{xy}$ 一眼看出先对 $x$ 再对 $y$）；$f_x(x_0,y_0)$：指明具体点的写法。三种写法说的是同一件事，但下标写法有方向：$f_{xy}$ 是"先对 $x$ 后对 $y$"，$f_{yx}$ 是"先对 $y$ 后对 $x$"，顺序不能随意调换（是否相等要另加条件，见 17.5 节）。符号 $\partial$ 读作"偏"，写作 $\backslash$partial。
② 求偏导数的一般步骤（操作层面）
第一步：看清楚要对谁求导。第二步：把另一个自变量当成常数，在心里"改造成一元函数"——例如求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 时，把 $z=x^2y+\sin y$ 读成"关于 $x$ 的一元函数 $y x^2+\sin y$"。第三步：按一元函数的求导法则（幂、指数、对数、三角、四则、复合链式）算出结果。第四步：把常数还原成字母，检查有没有漏项。整个过程只有一条纪律：另一个变量是常数，但含它的表达式不能凭空消失。
③ 陷阱一：把 $y$ 当常数当成了"把 $y$ 当零"
最常见的错法是算 $\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(xy+e^{xy}\bigr)$ 时，把 $e^{xy}$ 整项当成常数写成 $0$。正确做法是 $y+\bigl(xy\bigr)'_x e^{xy}=y+y\,e^{xy}$——指数上的 $xy$ 里含有 $x$，它对 $x$ 的导数是常数 $y$，不是零。判据：只要求导的那个变量没有出现在某个因子或指数里，这部分才真的能当常数提出去。
④ 陷阱二：忘了链式法则
求偏导数时复合结构的链式法则与一元完全一样，只是"内层导数"改为对当前变量的偏导。例如 $\dfrac{\partial}{\partial x}\sin(x^2+y)=2x\cos(x^2+y)$，那个 $2x$ 就是链式法则的产物，漏掉它是极常见的错误。含 $\ln$、$\arctan$、$\sqrt{\ }$、$e^{\Box}$ 的偏导数题几乎都要用到链式法则。
⑤ 陷阱三：把"偏导数存在"当成"函数连续"
这条留到 17.5 节细说，这里先立起警觉：一元函数的"可导必连续"不能照搬到二元函数。一元里之所以成立，是因为左右两条路把方向占满了；二元里偏导数只看了两个坐标轴方向，其余方向完全没管，自然不足以保证连续性。
⑥ 陷阱四：以为偏导数与求导顺序无关
$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ 与 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$ 的记号不同，算子顺序也不同。它们在混合偏导数连续的条件下才相等，条件不能省。好消息是：本课与后续课程遇到的初等函数绝大多数都满足这个条件，所以"先对谁求"通常随便；坏消息是——存在精心构造的反例让它们不相等，17.5 节会给出一个具体的。
⑦ 几何意义再强调一次
$\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}$：曲面被平面 $y=y_0$ 截出的曲线，在该点的切线对 $x$ 轴的斜率。
$\left.\dfrac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}$：曲面被平面 $x=x_0$ 截出的曲线，在该点的切线对 $y$ 轴的斜率。
两句话合起来记：偏导数 = 沿着坐标轴方向切一刀的切线斜率。它不是曲面在该点的全部倾斜信息，只是两个特殊方向的倾斜。要完整描述倾斜，需要"方向导数"与"梯度"（下一课涉及）。
17.4 偏导数的计算路线与常见结构
公式会写了，接下来练"看得出手感"。偏导数的计算量比一元小——因为"另一个变量是常数"这句话本身就能帮我们砍掉一大半结构。但正因为砍得多，砍错地方就成了主要失分来源。
🧭 一张对照表：一元求导 vs 二元求偏导
| 函数结构 | 对 $x$ 求偏导怎么做 | 最容易错的地方 |
|---|
| $z=x^a y^b$（幂函数型） | $y^b$ 当常数照抄：$z_x=a x^{a-1}y^b$ | 把 $y^b$ 也求导，或误写成 $a x^{a-1}b y^{b-1}$ |
| $z=e^{x}\,e^{y}$（可分离型） | $e^{y}$ 提出去：$z_x=e^{x}e^{y}=z$ | 错把 $e^{y}$ 当成含 $x$ 的结构去链式 |
| $z=e^{x^2+y^2}$（不可分离型） | 指数上含 $x$，必须链式：$z_x=2x e^{x^2+y^2}$ | 漏掉 $2x$，或把整项当常数写成 $0$ |
| $z=f(x)\cdot g(y)$（乘积型） | $g(y)$ 提出去：$z_x=f'(x)g(y)$ | 用乘积法则把 $g(y)$ 也求导（求偏导时它是常数，不是函数） |
| $z=\dfrac{P(x,y)}{Q(x,y)}$（商型） | 分子分母都用商的法则，但 $y$ 只当常数 | 在商的法则里给 $y$ 也加上导数项 |
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★ 一条只做不说的纪律：每写完一个偏导数，立刻回答一句话——"我这是在哪个方向上的变化率？"如果你答不上来，说明中间某一步把另一个变量当自变量了。这个方法看似啰嗦，实际能拦下绝大多数低级错误。
📈 动态演示：把两个偏导数同时"看"出来
取 $z=x^2-y^2$。它在 $x$ 方向上是开口向上的抛物线（右下倾斜变成向上），在 $y$ 方向上是开口向下的抛物线。下图用等高线的方式画出这张曲面：等高线是双曲线族 $x^2-y^2=c$，拖动滑块改变考察点，看该点处两个偏导的数值与符号如何变化。
🔍 把数算清楚：$z=x^2-y^2$ 的偏导是 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}=-2y$。在点 $(1,2)$ 处：$z_x=2$（正，说明沿 $x$ 正向走函数值上升）、$z_y=-4$（负，说明沿 $y$ 正向走函数值下降）。在点 $(0,0)$ 处：两个偏导都等于 $0$。请注意——两个偏导都为零并不意味着这里是极值点：在原点沿 $x$ 方向 $z=x^2$ 上升，沿 $y$ 方向 $z=-y^2$ 下降，也就是沿斜方向 $y=x$ 时 $z\equiv 0$（既不升也不降）。原点在这张曲面上是一个"鞍点"。本课只立这个概念，极值的判别要到第 19 次课。
📐 例题精讲：三类结构的混合训练
📐 例 9 设 $z=x^2\sin y+y^2$，求两个偏导数。
解 对 $x$ 求导时 $\sin y$ 与 $y^2$ 都是常数：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x\sin y$。对 $y$ 求导时 $x^2$ 是常数：$\dfrac{\partial z}{\partial y}=x^2\cos y+2y$。
可见结构差异：$\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 里没有常数项——因为 $y^2$ 是常数，求导后消失；而 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 里留了 $2y$——因为 $y^2$ 是含 $y$ 的项，它要参与求导。
📐 例 10 设 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$。
解 把 $y$ 当常数，外层是根号、内层是 $x^2+y^2$，由链式法则
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
同理 $\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$。注意定义域：$\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点处分母为零，所以这两个偏导数只在不含原点的区域内成立。顺便看出一个漂亮的关系：$z_x^2+z_y^2=\dfrac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=1$，这就是后面"梯度长度为 $1$"的一个特例（$z$ 表示到原点的距离）。
📐 例 11 设 $z=\dfrac{x}{y}$（$y\ne 0$），求两个偏导数，并说明在 $(1,1)$ 处的意义。
解 对 $x$ 求导时 $\dfrac{1}{y}$ 是常数：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1}{y}$。对 $y$ 求导时把 $x$ 当常数，用幂函数法则：$\dfrac{\partial z}{\partial y}=x\cdot\left(-\dfrac{1}{y^2}\right)=-\dfrac{x}{y^2}$。
在 $(1,1)$ 处：$z_x=1$、$z_y=-1$。医学口径：若 $x$ 表示剂量、$y$ 表示体重，$z=x/y$ 表示"每公斤体重分摊到的剂量"，那么 $z_x=\dfrac{1}{y}\gt 0$ 说明剂量越大单位体重剂量越大，$z_y=-\dfrac{x}{y^2}\lt 0$ 说明体重越大单位体重剂量越小——两个符号正好对应常识，是一次很好的自检。
🧩 三段式自检：算完偏导之后做什么
① 量纲自检
$\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 的量纲应当是"$z$ 的量纲除以 $x$ 的量纲"。若 $z$ 是浓度（毫克每升）、$x$ 是剂量（毫克），那么 $z_x$ 的量纲是"每升的倒数"，符合直觉。量纲不对，说明求导对象搞错了。
② 单调性自检
偏导数的符号就是单调性的方向：$z_x\gt 0$ 说明固定 $y$ 时 $z$ 随 $x$ 增大而增大；$z_x\lt 0$ 则相反。把符号与医学常识对照——剂量越大浓度越高（正）、体重越大浓度越低（负）——符号错了立刻能发现。
③ 数值自检
在某个具体点用差分估一遍：$\dfrac{\partial z}{\partial x}\approx\dfrac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$（$h$ 取很小的数）。本课所有偏导数值都用符号计算与差分两条通道复核过，两条一致才写进课件。
④ 定义域自检
偏导数本身也有定义域。含 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的偏导在不含原点的区域成立；含 $\dfrac{1}{y}$ 的偏导在 $y=0$ 处不存在。写完偏导，顺手写一句"在何处成立"，是专业习惯。
17.5 高阶偏导数 · 以及本课最大的认知颠覆
偏导数还是二元函数，所以它还能再求一次偏导——这就得到二阶偏导数。这段内容本身不难，但里面藏着两个必须严肃对待的结论：混合偏导相等要加条件，以及偏导数存在推不出连续。
✏️ 四个二阶偏导数
设 $z=f(x,y)$ 的两个一阶偏导仍存在，对它们再求偏导，共得到四个二阶偏导数：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right),\quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right),\quad \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y},\quad \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$$
其中后两个叫混合偏导数。记号要注意方向：$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ 表示先对 $y$ 求偏导、再对 $x$ 求偏导（右先左后，与 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ 的读法一脉相承）；理解为 $f_{xy}$ 更省事：下标从左往右就是求导顺序，先 $x$ 后 $y$。两种记号方向相反，考试时最容易搞混，写答案时建议两种都标上。
★ 红线三：当两个混合偏导数连续时，它们相等：$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$。请注意条件——连续这两个字不能省。这个定理的实用价值在于：它让我们可以"挑顺手的顺序算"，先对谁求导都行。但也正因为条件容易被忽略，才会有"混合偏导不等"的反例存在。
📐 例题精讲：二阶偏导数
📐 例 12 设 $z=x^3y^2$，求四个二阶偏导数。
解 一阶：$z_x=3x^2y^2$，$z_y=2x^3y$。再各求一次：
$$z_{xx}=6xy^2,\qquad z_{yy}=2x^3,\qquad z_{xy}=6x^2y,\qquad z_{yx}=6x^2y$$
核对：两个混合偏导都等于 $6x^2y$，相等，符合定理。顺序核对：$z_{xy}=(z_x)_y=(3x^2y^2)_y=6x^2y$；$z_{yx}=(z_y)_x=(2x^3y)_x=6x^2y$。两条路都对，验证了定理。
📐 例 13 设 $z=x^3-3xy+y^3$，求 $z_{xx}$、$z_{yy}$、$z_{xy}$，并算出在点 $(1,1)$ 的值。
解 一阶：$z_x=3x^2-3y$，$z_y=-3x+3y^2$。于是
$$z_{xx}=6x,\qquad z_{yy}=6y,\qquad z_{xy}=-3,\qquad z_{yx}=-3$$
在 $(1,1)$ 处：$z_{xx}=6$、$z_{yy}=6$、$z_{xy}=z_{yx}=-3$。
数值核对：用中心差分估 $z_{xx}(1,1)=\dfrac{f(1+h,1)-2f(1,1)+f(1-h,1)}{h^2}$，取 $h=10^{-4}$ 得 $6.0000$；估 $z_{xy}(1,1)=\dfrac{f(1+h,1+h)-f(1+h,1-h)-f(1-h,1+h)+f(1-h,1-h)}{4h^2}$ 得 $-3.0000$。与解析值一致。
📐 例 14（混合偏导不等的经典反例） 设
$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0)\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$
在原点处，两个混合偏导数都存在，却不相等：$f_{xy}(0,0)=-1$，$f_{yx}(0,0)=+1$。
怎么算出来的（思路）：先在 $x=0$ 与 $y=0$ 这两条轴上用定义求出两个一阶偏导，得到 $f_x(0,y)=-y$ 与 $f_y(x,0)=x$；再对它们各自用定义在原点求导：$f_{xy}(0,0)=\left.\dfrac{d}{dy}\bigl(-y\bigr)\right|_{y=0}=-1$，$f_{yx}(0,0)=\left.\dfrac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\right|_{x=0}=+1$。
为什么会这样：这个函数的两个混合偏导在原点不连续，恰好卡在定理条件之外。结论：定理里的"连续"不是装饰，去掉它就真的不成立。（本课不要求掌握这个反例的计算，只要求记住"条件不能省"。）
📈 再回到那张鞍点图：两个偏导都为零，未必是峰也不是谷
17.4 节那张 $z=x^2-y^2$ 的等高线图，换一个角度读它：拖动滑块把考察点 $(x_0,2)$ 在 $x$ 轴上移动，标注里会实时给出 $z_x=2x_0$ 与 $z_y=-2y_0=-4$ 两个数。$z_x$ 在原点处变号——这正是"沿 $x$ 方向先降后升"的代数表现；而原点处两个偏导都等于零，函数在那里却既不取极大也不取极小：沿 $x$ 方向 $z=x^2$ 上升，沿 $y$ 方向 $z=-y^2$ 下降，沿 $y=x$ 这条斜线 $z\equiv 0$ 干脆不升不降。"两个偏导都为零"只说明沿两个坐标轴方向暂时变平，远不足以断定这里是一个峰或一个谷。这个点叫鞍点；怎么把峰、谷、鞍点判别开，是第 19 次课（多元函数极值）的内容。
💥 本课最大的认知颠覆：偏导数存在推不出连续
一元函数有一条铁律：可导必连续。它的证明很漂亮——把差商写成 $f'(x_0)+\alpha$（其中 $\alpha\to 0$），两边乘以 $(x-x_0)$ 即可看出 $f(x)\to f(x_0)$。现在把这条铁律搬到二元函数：把"可导"换成"偏导数都存在"，它还成立吗？
⚠️ 答案是不成立。反例就是本课反复出现的那一个：
$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0)\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$
第一步，验证两个偏导数都存在。由定义，$f_x(0,0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}$。而 $f(\Delta x,0)=\dfrac{\Delta x\cdot 0}{\Delta x^2+0}=0$，$f(0,0)=0$，所以差商恒为 $0$，极限为 $0$。同理 $f_y(0,0)=\displaystyle\lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=0$（因为 $f(0,\Delta y)=0$）。两个偏导数都存在，而且都等于 $0$。
第二步，验证函数在原点不连续。前面 17.2 节已经算过：沿 $y=0$ 趋近原点得 $0$，沿 $y=x$ 趋近得 $\dfrac{1}{2}$，两者不等，所以 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 不存在，当然更谈不上等于 $f(0,0)=0$。
第三步，得出结论。偏导数都存在，函数却不连续。一元与二元在这一条上彻底分道扬镳。
🧠 为什么会出现这种"反常"：因为偏导数只检查了两条坐标轴方向。在 $x$ 轴上，这个函数恒等于 $0$（分子里的 $y$ 是 $0$），在这条路上它乖得很；在 $y$ 轴上同理。可是在斜方向 $y=x$ 上它恒等于 $\dfrac{1}{2}$，完全换了一副面孔。偏导数"看不全"这些斜方向，所以它不足以约束整个函数。要让结论重新成立，需要更强的条件——二元函数里的"可微"，那是第 19 次课的内容。
🔍 顺带把它与"连续"的关系理一遍：①偏导数存在 $\Rightarrow$ 连续？不成立（就是上面这个反例）。②连续 $\Rightarrow$ 偏导数存在？也不成立（例如 $z=|x|+|y|$ 在原点连续，但两个偏导数在原点都不存在，因为左右斜率分别是 $1$ 与 $-1$，差商极限不存在）。③那一元函数为什么可以？因为一元函数只有两个方向，把这两个方向都管住了，就等于管住了全部；二元函数的偏导数只占两个方向，剩下无穷多个方向没人管。这三句话请务必背下来，它是本课与下一课（可微）之间的桥。
① 极限是否存在：三步判据速查
第一步，试两条坐标轴：$y=0$ 与 $x=0$。若两值不等 → 不存在。
第二步，试两条斜线：$y=x$ 与 $y=-x$。若与第一步的值不等 → 不存在。
第三步，若上面全相等，不要急着说存在，改用极坐标或夹逼给出对所有方向都成立的估计；若极坐标化简后是 $g(\theta)\cdot r^{k}$（$k\gt 0$、$g$ 有界），则极限为 $0$；若只与 $\theta$ 有关，则不存在。
② 连续性的三个条件（与一元完全一致）
在某点有定义、该点的二重极限存在、两者相等。缺一即间断。需要注意：多元函数的间断可以沿一条曲线发生（例如 $\dfrac{1}{x^2+y^2-1}$ 在整个单位圆周上都没有定义），而一元函数的间断点只能是孤立的点。这是"平面点集"带来的新现象。
③ 一元结论能否搬过来的对照表
可导必连续：一元成立；二元换成"偏导存在必连续"不成立。
连续必可导：一元不成立（$y=|x|$ 在原点）；二元换成"连续必偏导存在"也不成立。
求极限用代入：一元对初等函数成立；二元对多元初等函数同样成立（在定义域内部）。
左右极限判连续：一元靠左右极限；二元要改用"任意路径"，只有两个方向不够。
④ 一句话把本课的两个"反直觉"串起来
本课出现了两个与一元直觉相冲突的现象，它们的根源是同一个：二元函数的"方向"是二维的，而偏导数只看了其中两个方向，路径极限只看了一条路径。看的角度太少，就会得出偏面的结论。反过来，这也告诉我们为什么后面一定要引入"全微分"——它才是二元函数里"真正完整"的可微概念。
17.6 医学应用 · 多因素指标与敏感度
偏导数在医学里有一个非常直白的名字：敏感度。它回答的就是"某一个因素单独动一动，指标会动多少"——这正是临床最常问的问题。
🩺 体表面积 S 对身高与体重的敏感度
临床上估算体表面积常用形式为 $\text{BSA}=\sqrt{\dfrac{hw}{3600}}$（$h$ 为身高、单位厘米，$w$ 为体重、单位千克）。它天然是一个二元函数。求两个偏导数（把另一个变量当常数）：
$$\frac{\partial S}{\partial h}=\frac{S}{2h},\qquad \frac{\partial S}{\partial w}=\frac{S}{2w}$$
这个结果非常干净：对身高的敏感度等于 $S$ 除以两倍身高，对体重的敏感度等于 $S$ 除以两倍体重。于是可以得到一个纯定性的判断：哪个量在数值上更小，相应的敏感度就更大。对成人而言身高（约 170 厘米）在数值上远大于体重（约 60 千克），所以 $\dfrac{S}{2\times 60}\gt \dfrac{S}{2\times 170}$——体表面积对体重更敏感。这与临床经验吻合：同样增重十公斤引起的体表面积变化，比增高十厘米更明显。
🔍 把数算清楚（本课数值全部程序复算）：取 $h=170$ 厘米、$w=60$ 千克。则 $S=\sqrt{170\times 60/3600}=\sqrt{2.8333\ldots}\approx 1.6833$（平方米）。于是
$\dfrac{\partial S}{\partial h}=\dfrac{1.6833}{2\times 170}=\dfrac{1.6833}{340}\approx 0.004951$（平方米每厘米）；
$\dfrac{\partial S}{\partial w}=\dfrac{1.6833}{2\times 60}=\dfrac{1.6833}{120}\approx 0.014027$（平方米每千克）。
两者相比约 $2.83$ 倍，与 $\dfrac{h}{w}=\dfrac{170}{60}\approx 2.83$ 一致——这正好印证了 $\dfrac{\partial S/\partial w}{\partial S/\partial h}=\dfrac{h}{w}$。这是一个能自己动手推出来的漂亮关系。
📈 动态演示（本课画布六）：指标随两个自变量变化
下图把体表面积画成"以 $h$ 为横轴、以 $w$ 为纵轴"的等高线图。拖动滑块移动考察点：竖直方向移动改变 $h$（对应 $\dfrac{\partial S}{\partial h}$），水平方向移动改变 $w$（对应 $\dfrac{\partial S}{\partial w}$）。等高线上任意一点，两个偏导都由该点坐标唯一决定。
💊 血药浓度：剂量与体重谁更"话事"
用一个最简单的结构说明敏感度分析：设 $C(D,w)=\dfrac{D}{w(1+D)}$（$D$ 为剂量、$w$ 为体重）。求两个偏导：
$$\frac{\partial C}{\partial D}=\frac{1}{w(1+D)^2},\qquad \frac{\partial C}{\partial w}=-\frac{D}{w^2(1+D)}$$
符号先说话：$\dfrac{\partial C}{\partial D}\gt 0$ 恒成立——剂量越大浓度越高；$\dfrac{\partial C}{\partial w}\lt 0$ 恒成立——体重越大浓度越低。这两个符号与医学常识完全一致，是一次很好的自检。数值再说量级：在 $D=1$、$w=1$ 处，$C=\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{\partial C}{\partial D}=\dfrac{1}{4}$、$\dfrac{\partial C}{\partial w}=-\dfrac{1}{2}$。请注意这里 $\left|\dfrac{\partial C}{\partial w}\right|=0.5$ 比 $\dfrac{\partial C}{\partial D}=0.25$ 更大，说明在这一点附近，体重的影响比剂量更强。
一个可验证的恒等式：$\dfrac{\partial C}{\partial w}=-\dfrac{C}{w}$，把 $D=1$、$w=1$、$C=\dfrac{1}{2}$ 代进去得 $-\dfrac{1}{2}$，与上面一致。这种"用恒等式互检"的习惯，比重新算一遍更能抓到错。
📌 本课不给任何具体药物的临床数据。上面所有式子都是符号形式或无量纲示例，只用来说明"偏导数 = 单因素敏感度"这个机制。真实的剂量—浓度关系由药代动力学参数决定，涉及具体药物时必须查药典与说明书。
🧭 多因素指标的三个通用动作
① 把多因素写成二元（或多元）函数
例如把血压写成"心输出量 $CO$ 与外周阻力 $TPR$ 的函数"（临床上常说血压约正比于二者的乘积）。写出来之后，"影响因素"就从一句含糊的话变成了一个有定义域、可求偏导的数学对象。
② 逐个求偏导，看符号与量级
符号告诉你方向（正相关还是负相关），量级告诉你强弱。不同因素的偏导量纲往往不同，直接比大小要小心——严格比较敏感度应当用"无量纲敏感度"（偏导乘以该变量与函数值之比），本课只做定性比较。
③ 用"同时变化"作对照
偏导数只说"只动一个"的效果。现实中常常两个因素同时变（例如增重的同时减量），这时偏导数只能作为一阶近似：$\Delta z\approx z_x\Delta x+z_y\Delta y$。这个近似的严格化就是下一阶段要学的全微分。
④ 别忘了定义域
把剂量 $D$ 与体重 $w$ 当自变量时，定义域不是整个平面，而是 $D\gt 0$、$w\gt 0$ 的第一象限开区域。讨论偏导数之前先说清"在什么范围内讨论"，这是本课 17.1 节立下的规矩。
🤖 数学与 AI：多因素模型里的偏导数与梯度
机器学习模型本质上就是一个多元函数：输入是一组特征（身高、体重、年龄、检验指标……），输出是一个预测值，中间还有成千上万个待定的参数。训练模型时要做的事——让预测值与真实值的差距最小——在数学上就是求这个多元函数的极小值，而求极值的第一步，正是逐个求偏导数。
🧮 梯度：把偏导数排成一个向量
把对每个自变量的偏导数排成一个向量 $(\dfrac{\partial L}{\partial \theta_1},\dfrac{\partial L}{\partial \theta_2},\dots)$，就叫梯度。它指明了"函数值上升最快的方向"，取反就是下降最快的方向——这就是梯度下降法的几何依据。
🔁 反向传播：链式法则的系统化
神经网络一层套一层，输出对输入的偏导要靠链式法则一层层往回传。本课例 6、例 10 里那个"别漏掉内层导数"的要求，在网络里被放大成了成千上万次相乘——漏项在数学上就是算错，在工程上就是训练不收敛。
⚙️ 自动微分：把偏导数交给程序
现代框架（PyTorch、TensorFlow 等）用"自动微分"技术精确计算偏导数，既不是符号推导也不是数值差分。它之所以能成立，靠的仍是链式法则与偏导数的定义——程序只是把手工推导做得更快更不出错。
🎯 与医学的联系
临床预测模型里也会做变量重要性分析：看输出对每个输入的偏导有多大，判断哪个指标最关键。这与前面体表面积、血药浓度的"敏感度"分析，本质上是同一件事。
🔍 必须分清的一点：偏导数存在不能保证函数连续（本课已给出反例），更不能保证函数"光滑到可以优化"。所以在工程上，一个模型能训练得动，靠的不只是"偏导都存在"，而是更强的可微性——那正是下一阶段的核心内容。理解这条边界，比多背一个公式重要得多。
17.7 拓展资源 · 自主加练
本课配有一条知识短片（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容：本课定位 → 二元函数的定义 → 定义域是平面点集 → 空间曲面与等高线 → 二重极限必须以任意方式趋近（★红线）→ 沿 y 等于 x 得二分之一、沿 y 等于 0 得零 → 极坐标判据 → 连续性的三个条件 → 偏导数的定义（★红线：另一个变量当常数）→ 偏导数的切一刀几何意义 → 偏导数计算例题 → 二阶与混合偏导数 → 混合偏导连续才相等 → 偏导存在推不出连续（本课最大颠覆）→ 医学中的多因素敏感度 → AI 里的梯度与反向传播 → 小结。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
| 演示 | 位置 | 看什么 |
|---|
| 曲面切一刀 | 开场（17.0） | 固定一个变量切出的那条弧线，就是后面求偏导数要看的曲线 |
| 定义域是平面点集 | 17.1 节 | 拖动试探点，看它落在圆盘与抛物区域的交集里还是外面；虚线边界不取、实线边界取 |
| 等高线族就是曲面地图 | 17.1 节 | $z=x^2+y^2$ 的等高线是同心圆，半径等于 $\sqrt{z}$；拖 $z$ 看半径怎么变 |
| 沿不同路径趋近原点 | 17.2 节 | 三条路径各算一遍，数值分别是 0、二分之一、0——不相等，所以极限不存在 |
| 极限与路径无关 | 17.2 节 | 多种方向的取值曲线随 $r$ 一起收拢到 0，直观感受"任意路径都趋于同一值" |
| 偏导数 = 切线斜率 | 17.3 节 | 切片曲线的切线与真实曲线的偏离随 $x_0$ 移动而变化，切线只是局部近似 |
| 鞍点与两个偏导为零 | 17.4 / 17.5 节 | $z=x^2-y^2$ 在原点两偏导都是 0，却不是极值点 |
| 指标随两个自变量变化 | 17.6 节 | 体表面积等高线图上移动考察点，读两个方向的敏感度 |
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📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学"或"多元函数微分学"，可找到多所高校的完整课程录像。多元函数的极限与偏导数通常归在"多元函数微分法"模块内，其中"二元函数的极限"与"偏导数"两节讲得最细，尤其要听老师怎么讲"沿不同路径趋近"。
📺 视频平台
在主流视频平台搜索"二元函数极限 路径""偏导数 几何意义""混合偏导数 相等条件"，建议优先选择有立体动画演示"切一刀"的视频，边看边在纸上把切片曲线自己画一遍——本课所有画布都用等高线与切片曲线表达，不依赖立体图。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）第六章：多元函数的概念、二元函数的极限与连续、偏导数的定义及其计算、高阶偏导数。课后习题建议全部完成，其中求定义域的题至少做 5 道（每道都要画图并标明边界开闭），求偏导数的题至少做 10 道（每道都要先写一句"把哪个变量当常数"）。
📌 复习建议：这一课最容易被"看懂"骗过去——概念一听就懂，一动笔就出错。建议按这个顺序练：先练定义域（强制自己画图并标开闭）→ 再练判断二重极限不存在（强制自己至少列三条路径的数值）→ 然后练偏导数计算（强制自己先写"把哪个变量当常数"）→ 最后背下"偏导存在推不出连续"这个反例。每类各做 5 道，手感就出来了。
17.8 随堂练习 · 五题全部经程序独立验算 🎉
1️⃣ 函数 $z=\ln(9-x^2-y^2)+\sqrt{x+y^2}$ 的定义域是？
A. $\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 9\}$
B. $\{(x,y)\mid x^2+y^2\lt 9\}$
C. $\{(x,y)\mid x+y^2\ge 0\}$
D. $\{(x,y)\mid x^2+y^2\lt 9\ \text{且}\ x+y^2\ge 0\}$
2️⃣ 关于 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}$，下列说法正确的是？
A. 等于 $0$，因为沿 $y=0$ 时函数恒为零
B. 等于 $\dfrac{1}{2}$，因为沿 $y=x$ 时函数恒为 $\dfrac{1}{2}$
C. 不存在，因为沿 $y=0$ 得 $0$、沿 $y=x$ 得 $\dfrac{1}{2}$，两者不相等
D. 等于 $1$，因为分子分母的平方项次数相同
3️⃣ 设 $z=x^3y^2$，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 分别是？
A. $3x^2y^2$ 与 $2x^3y$
B. $3x^2y^2$ 与 $2x^3y^2$
C. $2x^3y$ 与 $3x^2y^2$
D. $x^2y^2$ 与 $x^3y$
4️⃣ 关于二元函数的偏导数与连续性，下列说法正确的是？
A. 两个偏导数都存在，则函数在该点必连续
B. 函数在该点连续，则两个偏导数必都存在
C. 两个偏导数都存在，也不能保证函数在该点连续
D. 两个偏导数都存在且相等，则函数在该点必连续
5️⃣ 设 $f(x,y)=x^2y+xy^2$，则 $f_x(1,2)$ 与 $f_y(1,2)$ 分别是？
A. $4$ 与 $5$
B. $5$ 与 $8$
C. $8$ 与 $6$
D. $8$ 与 $5$
17.9 数学思维导图 · 本课小结
🧠 多元函数基础及偏导数 知识思维导图
📘 多元函数
与偏导数
定义与定义域
- 一对自变量对一个值
- 定义域是平面点集
- 边界开闭要讨论
- 有界与无界分开说
几何表示
- 图像是一张空间曲面
- 降维用等高线
- 切片曲线切出一元
- 等高线疏密看陡缓
极限与连续
- 要求以任意方式趋近
- 沿一条路径不算数
- 沿不同路径值不同则不存在
- 连续要极限等于函数值
偏导数
- 另一个变量当常数
- 沿坐标轴方向的变化率
- 切一刀的切线斜率
- 二阶与混合偏导
易错与颠覆
- 混合偏导连续才相等
- 偏导存在推不出连续
- 沿一切直线也不够
- 定义域别漏边界
✅ 本课小结
🧭
二元函数的定义域是一个平面点集，不是数轴上的区间。求定义域要走三步：逐条列出限制条件（分母不为零、偶次根号下非负、对数真数为正、反三角的值域限制）、取交集、把结果写成平面点集并逐段说明边界取不取。要区分"有界"与"闭"——前者说能不能装进一个圆里，后者说边界取不取，两者互不相关。
🗺️
二元函数的图像是一张空间曲面，工程上用等高线与切片曲线来降维。$z=x^2+y^2$ 的等高线是同心圆，半径等于 $\sqrt{z}$；$c=\dfrac{1}{4}$ 时半径为 $\dfrac{1}{2}$，$c=1$ 时半径为 $1$，$c=4$ 时半径为 $2$。把某个变量固定切出来的交线是一元曲线——这条切片曲线正是偏导数的几何载体。
🛣️
★ 二重极限要求"以任意方式趋近"极限都存在且相等。沿某一条路径算出一个值，不能推出极限存在。经典反例：$f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 沿 $y=0$ 得 $0$、沿 $x=0$ 得 $0$、沿 $y=x$ 得 $\dfrac{1}{2}$、沿 $y=-x$ 得 $-\dfrac{1}{2}$、沿 $y=x^2$ 得 $0$——值不相同，所以极限不存在。极坐标形式 $\dfrac{\sin 2\theta}{2}$ 与 $r$ 无关、只随方向变，是判断不存在的利器。
✂️
★ 求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 时把 $y$ 当常数，它是沿坐标轴方向的变化率。几何上，$\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}$ 是曲面被平面 $y=y_0$ 截出的曲线在该点的切线对 $x$ 轴的斜率。在 $(1,2)$ 处对 $z=x^2+y^2$ 求，得 $z_x=2$；切片曲线 $z=x^2+4$ 在 $x=1$ 处的切线 $z=2x+3$，在 $x=1.1$ 处给出 $5.2$，而真实值为 $5.21$——切线是局部近似。
🔗
二阶偏导数有四个，混合偏导数在连续的条件下相等。对 $z=x^3y^2$：$z_x=3x^2y^2$、$z_y=2x^3y$，于是 $z_{xx}=6xy^2$、$z_{yy}=2x^3$、$z_{xy}=z_{yx}=6x^2y$。"连续"这个条件不能省——$f(x,y)=\dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$（原点补充定义为 $0$）在原点处 $f_{xy}(0,0)=-1$ 而 $f_{yx}(0,0)=+1$，两个混合偏导都存在却不相等。
💥
★ 偏导数存在推不出连续——这与一元情形完全不同，是本课最大的认知颠覆。反例仍是 $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$（原点补充定义为 $0$）：由定义算得 $f_x(0,0)=0$、$f_y(0,0)=0$，两个偏导都存在；但沿 $y=0$ 趋于 $0$、沿 $y=x$ 趋于 $\dfrac{1}{2}$，极限不存在，函数在原点不连续。根源：偏导数只看了两条坐标轴方向，斜方向它管不住。另外，连续也推不出偏导存在（$z=|x|+|y|$ 在原点连续但偏导不存在）。
🏥
医学口径：偏导数就是"单因素敏感度"。对 $S=\sqrt{hw/3600}$，$S_h=\dfrac{S}{2h}$、$S_w=\dfrac{S}{2w}$；取 $h=170$、$w=60$ 时 $S\approx 1.6833$、$S_h\approx 0.004951$、$S_w\approx 0.014027$，两者之比恰等于 $\dfrac{h}{w}$，所以体表面积对体重更敏感。对 $C(D,w)=\dfrac{D}{w(1+D)}$，$C_D=\dfrac{1}{w(1+D)^2}\gt 0$、$C_w=-\dfrac{C}{w}\lt 0$，符号与医学常识一致。
🤖
AI 里的多因素优化，本质就是逐个求偏导数。把损失函数对每个参数求偏导、排成梯度向量，就得到下降最快的反方向——这是梯度下降法的数学依据。反向传播则是链式法则的系统化应用：本课反复强调的"别漏掉内层导数"，在网络里被放大成成千上万次相乘。
🚀
下节预告：复合与隐函数求导——本课处理的是 $z=f(x,y)$ 这类"自变量直接给好"的情形。下一课要处理两件更复杂的事：自变量本身还是别的变量的函数（复合函数的链式法则，有多少条路径就加多少项），以及函数关系藏在方程 $F(x,y,z)=0$ 里解不出来时怎么求偏导（隐函数求导，负号与 $F_z\ne 0$ 的条件都不能丢）。