先看本课的核心动作：变量关系树。拖动 $t$，看 $u$、$v$ 如何一路"传"到 $z$，而 $\frac{dz}{dt}$ 恰好是两条路径之和。
莱布尼茨把导数写成 $\frac{dy}{dx}$ 这样的商。于是复合函数 $y=f(u)$、$u=g(x)$ 的链式法则 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ 看起来就像"把 $du$ 约掉"。这个记法本身不构成证明，但它极其便于记忆，也提示了一条朴素的思路：变化率沿着中间变量一路乘过去。
到了多元情形，偏导记号 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 里那个 $\partial$ 在提醒你：这里不能真的约分。$\frac{\partial z}{\partial u}$ 与 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 相乘时，两个 $\partial u$ 不是同一个量——一个把 $v$ 固定、一个把 $y$ 固定。这正是"路径相加、不能漏项"的记号根源。
神经网络训练里的反向传播，本质就是链式法则：损失对每一层权重的梯度，是沿网络逐层相乘再相加得到的。变量关系树从"u、v 两三个量"长成"成千上万个参数"，但数路径、沿途相乘、各路径相加的动作一模一样。
所以本课学的不是几个公式，而是一套可迁移的思维方式：任何"量—量"的依赖关系，都能画成树，都能用链式法则求变化率。
上一课我们学会了对 $z=f(x,y)$ 求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$——那是直接把 $x$、$y$ 当自变量。但现实中，$x$、$y$ 往往自己也是别的量的函数。今天要处理的就是：当中间变量也在变时，外层量的变化率怎么算。
先把情形简化到最细：外层 $z$ 依赖两个中间变量 $u,v$，而 $u,v$ 都只依赖一个变量 $t$。此时 $z$ 归根结底是 $t$ 的一元函数，它对的导数叫全导数。
画清依赖关系是第一步。这里 $z$ 分两支连到 $u$、$v$，而 $u$、$v$ 各自只连到 $t$，所以从 $z$ 走到 $t$ 共有两条路径：
两条路径分别是"$z\to u\to t$"与"$z\to v\to t$"。第一条沿途变化率相乘得 $\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{du}{dt}$，第二条得 $\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dt}$，两路相加：
注意左边用直写 $d$（$z$ 最终是一元函数），右边对中间变量用弯写 $\partial$（偏导）。两者不能混。
设 $z=u^2+uv$，$u=t^2$，$v=t^3$。先求三段"沿路偏导"：
| 路径 | 外层偏导 | 内层导数 | 乘积 |
|---|---|---|---|
| 经 $u$ | $\dfrac{\partial z}{\partial u}=2u+v=2t^2+t^3$ | $\dfrac{du}{dt}=2t$ | $(2t^2+t^3)\cdot 2t$ |
| 经 $v$ | $\dfrac{\partial z}{\partial v}=u=t^2$ | $\dfrac{dv}{dt}=3t^2$ | $t^2\cdot 3t^2$ |
验算：直接把 $u,v$ 代入得 $z=(t^2)^2+t^2\cdot t^3=t^4+t^5$，再对 $t$ 求导同样得 $4t^3+5t^4$，两条路殊途同归。若你只算了第一条路径，会漏掉 $3t^4$ 这一项——这就是本课要反复强调的漏项。
现在把内层也升到二元：$u,v$ 都依赖 $x$ 和 $y$。求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 时，从 $z$ 到 $x$ 有经 $u$和经 $v$两条路径，两条都要算、都要加。
看依赖关系：$z$ 依赖 $u,v$；$u$ 依赖 $x,y$；$v$ 依赖 $x,y$。于是从 $z$ 走到 $x$ 只能"经 $u$"或"经 $v$"，共两条。$\frac{\partial z}{\partial x}$ 就是这两条路径的和。
经 $u$ 的路径是 $z\to u\to x$，沿途变化率 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 与 $\frac{\partial u}{\partial x}$，相乘得一项；经 $v$ 的路径是 $z\to v\to x$，得 $\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}$。
两条路径都贡献一部分变化，所以相加。这就是"路径相加"四个字的完整含义。
只写 $\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$（漏掉经 $v$ 的那项），结果就少了一整条路径的贡献。判断口诀：先画树、数清路径，有几条路径就有几项。
下图把 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 拆成"经 $u$"与"经 $v$"两根色条，拖动 $x$（固定 $y=3$），看两根色条如何叠加成完整的 $\frac{\partial z}{\partial x}$。
设 $z=2u^2+3uv$，$u=xy$，$v=x+y$。求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
先备好四个"沿路偏导"：$\frac{\partial z}{\partial u}=4u+3v$，$\frac{\partial z}{\partial v}=3u$，$\frac{\partial u}{\partial x}=y$，$\frac{\partial u}{\partial y}=x$，$\frac{\partial v}{\partial x}=1$，$\frac{\partial v}{\partial y}=1$。
验算：代入得 $z=2x^2y^2+3x^2y+3xy^2$，直接对 $x$ 求偏导同样得 $4xy^2+6xy+3y^2$。若漏掉"经 $v$"那项，会得到错误结果 $4xy^2+3y^2+3xy$，差的就是 $3u\cdot 1=3xy$ 这一项——漏项肉眼难辨，必须靠"数路径"来防。
一阶偏导 $z_x$ 本身还是一个复合表达式：它由 $f_u$、$f_v$、$u_x$、$v_x$ 拼成，而这些量又都是中间变量的函数。求二阶偏导，就是对这个一阶结果再求一次导，因此每一步都要再链一次。
注意三件事：$f_u$、$f_v$ 仍是 $u,v$ 的函数，而 $u,v$ 又是 $x,y$ 的函数，所以它们对 $x$ 求导还要再用链式法则；同时 $u_x$、$v_x$ 本身也可能含 $x$（本课例子中 $u_x$ 就含 $x$）。于是：
当混合偏导连续时 $f_{uv}=f_{vu}$，两个交叉项合并成 $2f_{uv}u_xv_x$。★红线就在这儿：不能只对一阶结果套一遍"简单公式"，$f_u$、$f_v$ 两个中间变量都要继续求导。
因为 $f_u$ 是 $u,v$ 的函数，它对 $x$ 求导要链：$\frac{\partial f_u}{\partial x}=f_{uu}u_x+f_{uv}v_x$。同理 $f_v$ 对 $x$ 求导得 $f_{vu}u_x+f_{vv}v_x$。于是二阶结果里同时出现 $f_{uu}$、$f_{uv}$、$f_{vv}$，还有 $f_u u_{xx}$、$f_v v_{xx}$ 两个"乘积求导"的尾巴。
若中间变量是线性的（如 $u=x+y$、$v=xy$ 里的 $u$），$u_{xx}=0$，则 $f_u u_{xx}$ 这一项消失；但 $v_x=y$ 还含 $y$，$v_{xx}=0$ 却并不妨碍交叉项 $f_{uv}v_x$ 出现。结论：不能凭直觉删项，逐项链完再化简。
只写 $f_{uu}u_x^2+f_{vv}v_x^2$（漏掉交叉项与 $u_{xx}$、$v_{xx}$ 尾巴），或者把 $u_x$、$v_x$ 当常数。这两种都会得到与真值不同的结果——本课 §18.5 有专门的反例。
设 $z=f(u,v)$，$u=x+y$，$v=xy$，其中 $f(u,v)=2u^3+u^2v+3uv^2$。求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ 在 $(1,1)$ 处的值。
先备二阶中间量：$f_{uu}=12u+2v$，$f_{uv}=2u+6v$，$f_{vv}=6u$；又 $u_x=1$，$v_x=y$，$u_{xx}=0$，$v_{xx}=0$。于是：
在 $(1,1)$ 处 $u=2$、$v=1$，代入得 $f_{uu}=26$、$f_{uv}=10$、$f_{vv}=12$，故：
验算：直接展开 $z=2(x+y)^3+(x+y)^2xy+3(x+y)(xy)^2$，对 $x$ 求两次偏导再代 $(1,1)$，同样得 $58$。若只保留 $f_{uu}$（漏掉交叉项与 $f_{vv}$），会得 $26$；漏掉交叉项会得 $26+12=38$；漏掉 $f_{vv}$ 会得 $26+20=46$——四种答案四种错法，都源于"没有再链一次"。
拖动 $y$（固定 $x=1$），看 $f_{uu}$、$2f_{uv}y$、$f_{vv}y^2$ 三项如何共同拼出 $z_{xx}$。
很多关系解不出显式 $y=f(x)$，只能写成方程 $F(x,y)=0$。但只要在某个局部 $F_y\neq0$，$y$ 就能看成 $x$ 的隐函数，其导数可由公式直接求出。
把 $F(x,y)=0$ 中的 $y$ 看成 $x$ 的函数 $y(x)$，两边对 $x$ 求导：对 $F$ 用链式法则，$F_x\cdot 1+F_y\cdot\frac{dy}{dx}=0$，解得：
对 $x$ 求导时，凡含 $y$ 的项都要当复合函数处理：$y^2$ 对 $x$ 求导是 $2y\cdot\frac{dy}{dx}$，不是 $2y$。忘了乘 $\frac{dy}{dx}$，等于把 $y$ 当成了常数，整条式子就错。
公式是 $-\frac{F_x}{F_y}$，前面有个负号。丢掉负号，切线的斜率就反了。
只有 $F_y\neq0$ 处才保证隐函数局部可解、公式可用。在 $F_y=0$ 的点（如单位圆在 $(\pm1,0)$），切线竖直，斜率不存在，公式自然失效。
不背公式也行：先对 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导（含 $y$ 的项乘 $y'$），再解出 $y'$。公式不过是这两步的压缩。
设 $x^2+y^2=25$ 确定隐函数 $y=y(x)$。两边对 $x$ 求导：$2x+2y\cdot y'=0$，解得 $y'=-\frac{x}{y}$。这就是公式 $-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{2x}{2y}$ 的结果。在点 $(3,4)$：
几何上，它就是圆在 $(3,4)$ 处切线的斜率。
拖动 $x$，看上半圆弧上每一点的切线；切线斜率处处等于 $-\frac{x}{y}$，与公式完全一致。
笛卡尔叶形线 $x^3+y^3-6xy=0$ 解不出显式。在点 $(3,3)$ 处，$F_x=3x^2-6y$、$F_y=3y^2-6x$，代入得 $F_x=F_y=9$，于是：
这意味着叶形线在 $(3,3)$ 处的切线方程为 $x+y=6$。全程没有解出 $y=f(x)$，只靠隐函数公式就拿到了斜率。
把隐函数升到三元：方程 $F(x,y,z)=0$ 把 $z$ 看成 $x,y$ 的隐函数，偏导公式与一元如出一辙——只是把"对 $y$"换成"对 $z$"。
仍是负号 + 分母换元的套路，条件 $F_z\neq0$ 照写。例如 $F=x^2+y^2+z^2-3xyz-1=0$，$F_x=2x-3yz$，$F_z=2z-3xy$，于是 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x-3yz}{2z-3xy}$。
这是本课最重要的反例。设 $z=u^2+v^2$，$u=x^2y$，$v=xy^2$。一阶偏导 $z_x=2u\,u_x+2v\,v_x=4x^3y^2+2xy^4$。求 $z_{xx}$ 时，正确做法是对 $z_x$ 再链一次（注意 $u_x=2xy$ 仍含 $x$，还要继续求导）：
漏项做法：把 $u_x$、$v_x$ 当常数，只保留两个"平方项"，漏掉 $f_u u_{xx}$ 与 $f_v v_{xx}$：
两者差 $4x^2y^2$，恰是 $f_u u_{xx}=2x^2y\cdot 2y$。在 $(1,1)$ 处，真值 $14$、漏项式 $10$——差 4，错得明明白白。这就是"两个中间变量都要继续求导"的代价。
拖动 $x$（固定 $y=1$），蓝色是真值 $z_{xx}=12x^2+2$，红色是漏项式 $8x^2+2$，两条曲线越拉越开。
链式法则与隐函数求导不是纸面游戏——心输出量的瞬时变化、反向传播的梯度，都是"沿依赖关系一路求过去"。
生理学里，心输出量（cardiac output，$CO$）等于每搏输出量（$SV$）与心率（$HR$）的乘积：$CO=SV\cdot HR$。运动开始时，每搏输出量与心率同时变化，心输出量的瞬时变化率是两项之和：
举个可算的例子：设每搏输出量 $S(t)=3e^{-t/2}$（随耗竭下降），心率 $H(t)=\frac{5}{2}(1+e^{-t/4})$（代偿上升）。则 $S(0)=3$、$H(0)=5$、$S'(0)=-\frac{3}{2}$、$H'(0)=-\frac{5}{8}$，于是：
注意两股变化一降一升，合起来是 $-\frac{75}{8}\approx-9.375$。若只算其中一项（比如只算每搏输出量下降的影响），会漏掉心率的代偿——这正是"不能漏项"在临床思维里的对应：评估一个复合生理量，要把所有影响因素的变化都加进来。
血氧饱和度 $SaO_2$ 与氧分压 $PaO_2$ 的关系（氧解离曲线）通常不是显式函数，而是用方程 $F(PaO_2, SaO_2)=0$ 或分段拟合描述。想知道"氧分压变化时饱和度如何跟着变"，用的就是 $\frac{d\,SaO_2}{d\,PaO_2}=-\frac{F_x}{F_y}$。同理，剂量—效应曲线若写不成显式，也可用隐函数导数求其局部斜率，判断"剂量微调时效应变化快慢"。
神经网络训练靠反向传播（backpropagation）计算损失对各层权重的梯度。一个三层复合 $L=f(w_3\,\sigma(w_2\,\sigma(w_1x)))$ 对 $w_1$ 的导数，就是链式法则：
其中 $a_1=\sigma(w_1x)$、$a_2=\sigma(w_2a_1)$。每一层就是一个"中间变量"，梯度沿途相乘；有多个输入/多条路径时，就相加。这套动作与本课 §18.2 的树状结构完全相同，只是树的规模从两三个量长成上亿参数。
本课配有一条知识短片（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。
📖 短片内容：变量关系树 → 全导数两条路径 → 多元复合路径相加 → 二阶偏导再链一次 → 隐函数求导公式与负号 → 三元隐函数 → 漏项反例 → 医学里的心输出量与隐函数 → AI 里的反向传播。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
| 演示 | 位置 | 看什么 |
|---|---|---|
| 变量关系树 | 开场（18.0 之前） | 拖动 $t$，看 $u,v$ 一路传到 $z$，两路径相加得 $\frac{dz}{dt}$ |
| 路径相加 | 18.2 节 | 拖动 $x$，看"经 $u$""经 $v$"两根色条叠成 $\frac{\partial z}{\partial x}$ |
| 二阶偏导再链一次 | 18.3 节 | 拖动 $y$，看 $f_{uu}$、$2f_{uv}y$、$f_{vv}y^2$ 三项拼出 $z_{xx}$ |
| 圆的切线 | 18.4 节 | 拖动 $x$，验证切线斜率处处等于 $-\frac{x}{y}$ |
| 漏项反例 | 18.5 节 | 拖动 $x$，看真值 $z_{xx}$ 与漏项式越拉越开 |