第一章 函数 · §1.1 函数的概念及基本性质 · 第 1 次课
普 通 高 等 教 育 应 用 型 本 科 规 划 教 材
§1.1 函数的概念及基本性质
第一章 函数 · 第 1 次课
教材：《微积分》（第二版）黄创霞、李建平 主编 · 北京大学出版社 · 2023
高等数学 B · 第 1 次课 · 约 2 学时
$A\cup B$ · $[a,b]$ · $\mathring{U}(a,\delta)$ · $y=f(x)$ · $\sin x$ · $e^x$
导 §1.1 导读：一切从"集合"与"函数"开始
函数是微积分的研究对象。要讲清函数，得先备好三件工具：集合（描述"哪些数"）、区间与邻域（描述"多近/哪一段"）、对应法则（描述"怎么变"）。本节将系统地复习集合及其运算、区间与邻域，再给出函数的严格定义，并研究复合函数、反函数与函数的四类基本性质——它们是后面极限、导数、积分大厦的第一层地基。
本课对应教材 §1.1，约 2 学时：先集合与区间邻域，再函数概念与两要素，后复合、反函数与四性质。
💭 上课之前 · 请想一想
🤔
关于数学，你们想知道什么？
每个人心中都有一份好奇——它为什么无处不在？学好它有什么用？把你想知道的写下来，我们一起在高等数学中找到答案。
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你在数学学习中遇见了什么样的难题？
是公式记不住、题目不会做，还是不知道学了有什么用？说出你的困难，我们一起想办法攻克它。
✦ 带着思考，进入今天的主题 ✦
🤔 什么是数学？
"问题是数学的心脏"——每个人眼中的数学，都是不一样的
🧮有人说是公式与计算
📐有人说是图形与空间
🔢有人说是数字的游戏
🌐还有人说是解释世界的语言
先看一段视频，听听数学家和科学家心中的数学——
▶ 视频：大咖们的数学观 · 数学家与科学家心中的数学
网络公开教学资源，辅助拓展学习
"数学家的灵魂深处，必住着一位诗人。"
—— 索菲亚·科瓦列夫斯卡娅（Sofia Kovalevskaya, 1850–1891）
"It is impossible to be a mathematician without being a poet in soul."
👩🎓
索菲亚·科瓦列夫斯卡娅
Sofia Kovalevskaya · 1850–1891 · 历史上最伟大的女数学家之一
数学史上多位"第一"的创造者：第一位女性数学博士 · 欧洲第一位女性数学正教授 · 俄国科学院首位女性通讯院士（数学领域）
📖 生平与突破
1850 年生于俄罗斯莫斯科贵族家庭，自幼对数学有天赋，童年时卧室墙壁贴的是父亲学过的微积分讲义。
当时俄国大学不招收女性，她通过假结婚（与古生物学家科瓦列夫斯基）获得出国护照，1869 年前往德国海德堡大学旁听。
1870 年秋到柏林，大学仍不收女生，她直接找到魏尔斯特拉斯（Weierstrass，分析学大师），魏尔斯特拉斯出了几道难题考她，发现她才华惊人，于是私下每周单独授课，持续约四年（1870–1874）。
1874 年，哥廷根大学在魏尔斯特拉斯的推荐下，免答辩、免考试授予她数学博士学位——她是历史上第一位获得数学博士学位的女性。
🏆 主要数学成就
柯西-科瓦列夫斯卡娅定理（Cauchy-Kovalevskaya Theorem）：偏微分方程领域的基础定理，证明了解析偏微分方程初值问题解析解的存在唯一性。这是她博士论文的核心成果，至今仍是偏微分方程教材的标准内容。
刚体旋转问题：1888 年，她凭借《刚体绕定点旋转的一个特殊情形》获得法国科学院博尔丁奖（Prix Bordin）。在欧拉和拉格朗日之后，她发现了第三种可积的刚体旋转情形（称为"科瓦列夫斯卡娅陀螺"），这是经典力学的重要突破。
阿贝尔积分与分析学：在阿贝尔积分的化简、超椭圆积分等方面有重要工作。
🎓 数学博士历史上第一位女性数学博士（哥廷根大学，1874）
🏛️ 数学教授欧洲历史上第一位女性数学正教授（斯德哥尔摩大学，1889；此前 1884 年起任该校讲师）
🌟 科学院院士1889 年当选俄国圣彼得堡科学院首位女性通讯院士（数学领域）
📜 作家自传体小说《童年的回忆》《女虚无主义者》
🌍 历史意义
她的一生打破了 19 世纪欧洲学术界对女性的多重壁垒——不能上大学、不能拿学位、不能当教授、不能进科学院。她用实力证明了女性在数学领域的能力，为后来的女性数学家开辟了道路。她去世时年仅 41 岁，因流感并发肺炎在斯德哥尔摩逝世。
数学，是关于模式与秩序的科学——它是自然科学与社会科学的共同语言，为各门科学提供描述规律、进行推理的工具。
学习数学，我们需要聚焦数学理论、数学知识、数学能力、数学方法与数学素养，全面提升自己。
💡 走进高等数学之前
刚才我们看到：数学是解释世界的语言。那么——为什么要学这门高等数学？答案就藏在这三个问题里。
📈
一、学习高等数学（微积分）的重要性
它不只是学分，更是经济与管理的分析语言：成本收益用函数刻画、边际分析是导数的第一应用、复利与贴现靠指数函数、弹性分析基于对数导数、优化决策离不开极值理论。数学，让经济学从"文字描述"走向"精确计算"。
🎯
二、高等数学课的教学特点
它更抽象、更严谨、更连贯：从"函数"出发，一路走到极限、导数、积分——环环相扣，像盖楼一样。所以本课的"函数概念及基本性质"，就是整座微积分大厦的地基。
🗝️
三、怎样才能学好它
诀窍有三：①先懂"为什么"，再记"是什么"——理解概念比背公式更重要；②动手练，数学是"练"会的；③用好工具——本课的动态图像、AI 助教、随堂练习，都是为你准备的阶梯。
✦ 带着这三个问题的答案，我们开始盖楼——从"集合"与"函数"讲起 ✦
1.1 数学文化 · 函数的百年之旅
📜 函数概念的演变（数学史）
17 世纪 · 莱布尼茨（Gottfried Leibniz, 1646–1716）首次使用"function"一词描述曲线上点的变动规律；18 世纪 · 欧拉（Leonhard Euler, 1707–1783）给出记号 $f(x)$ 并定义为"解析表达式"；19 世纪 · 狄利克雷（Dirichlet）提出"任意对应关系"的现代定义；20 世纪 · 集合论使函数成为"映射"的特殊情形。
有趣的是：数学的发展离不开各学科的反哺——1855 年德国生理学家费克（Fick）提出"费克扩散定律"，用函数描述物质的扩散运输，成为传质过程建模的数学基石！
🧮
莱布尼茨：微积分符号的创造者，$dy/dx$、$\int$ 都出自他手。
欧拉：数学界的"百科全书"，一生留下 800 余部（篇）论著，$f(x)$、$e$、$\pi$、$\sin$ 等符号都由他定型。
费克：德国医生兼生理学家，用数学函数揭开物质跨膜运输的规律。
💡 文化启示：函数概念从"公式"到"任意对应"的演变，反映了数学从具体到抽象、从描述到刻画本质的过程——这正是科学与管理研究需要的思维方式。
1.2 集合、区间与邻域
函数离不开"数的范围"。本目系统复习集合及其运算，再给出微积分最常用的区间与邻域——邻域正是下一章"极限"定义的基石。
一、集合的概念与表示
📖 集合的概念
具有某种特定性质的事物的总体称为集合（简称集），组成集合的事物称为元素。通常用大写字母 $A,B,C,\dots$ 表示集合，小写字母 $a,b,c,\dots$ 表示元素。若 $a$ 是 $A$ 的元素，记 $a\in A$（读作 $a$ 属于 $A$）；否则记 $a\notin A$。
✍️ 列举法
把集合的元素一一列举出来，用花括号括起。例：$A=\{1,2,3,4,5\}$。
🧾 描述法
用元素满足的条件表示。例：$B=\{x\mid x\text{ 是偶数},\,x>0\}$。
常见数集（必须牢记）
| 符号 | 名称 | 内容 |
|---|
| $\mathbb{N}$（或 $N$） | 自然数集 | $\{0,1,2,3,\dots\}$（有的教材从 $1$ 开始） |
| $\mathbb{Z}$（或 $Z$） | 整数集 | $\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ |
| $\mathbb{Q}$（或 $Q$） | 有理数集 | 一切整数与分数 |
| $\mathbb{R}$（或 $R$） | 实数集 | 有理数与无理数的全体 |
| $\mathbb{C}$（或 $C$） | 复数集 | 实数与虚数的全体 |
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集合间的关系与运算
| 关系/运算 | 定义 | 记号 |
|---|
| 子集 | $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素 | $A\subseteq B$ |
| 真子集 | $A\subseteq B$ 且 $A\ne B$ | $A\subset B$ |
| 相等 | $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$ | $A=B$ |
| 空集 | 不含任何元素的集合（是任何集合的子集） | $\varnothing$ |
| 并集 | 属于 $A$ 或属于 $B$ 的所有元素 | $A\cup B$ |
| 交集 | 既属于 $A$ 又属于 $B$ 的所有元素 | $A\cap B$ |
| 差集 | 属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素 | $A\setminus B$ |
| 补集 | 全集 $U$ 中不属于 $A$ 的元素 | $A^c$ 或 $\complement_UA$ |
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🧮 运算律（重点）：交换律 $A\cup B=B\cup A$、$A\cap B=B\cap A$；结合律 $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$、$(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$；分配律 $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$。
🌟 德摩根律（对偶律）：$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$，$(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$ —— 口诀："并的补 = 补的交，交的补 = 补的并"。
二、区间
设 $a,b\in\mathbb{R}$ 且 $a\lt b$。有限区间（$a,b$ 称为端点，$b-a$ 为区间长度）：
| 名称 | 记号 | 集合表示 | 数轴 |
|---|
| 开区间 | $(a,b)$ | $\{x\mid a\lt x\lt b\}$ | 两端空心 |
| 闭区间 | $[a,b]$ | $\{x\mid a\le x\le b\}$ | 两端实心 |
| 左闭右开 | $[a,b)$ | $\{x\mid a\le x\lt b\}$ | 左实右空 |
| 左开右闭 | $(a,b]$ | $\{x\mid a\lt x\le b\}$ | 左空右实 |
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∞ 无限区间：$(a,+\infty)=\{x\mid x>a\}$、$[a,+\infty)$、$(-\infty,a)$、$(-\infty,a]$、$(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}$。注意：$+\infty$ 与 $-\infty$ 只是记号，不是数，不能参与运算。
三、邻域（极限定义的基石 · 讲透）
⭐ 定义（邻域与去心邻域）
设 $a\in\mathbb{R}$，$\delta>0$，称开区间 $(a-\delta,\ a+\delta)$ 为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(a,\delta)$：
$$U(a,\delta)=\{x\mid |x-a|\lt \delta\}=(a-\delta,\ a+\delta),$$
其中 $a$ 称为邻域的中心，$\delta$ 称为邻域的半径。去心邻域（去掉中心 $a$）记作 $\mathring{U}(a,\delta)$（或 $U^\circ(a,\delta)$）：
$$\mathring{U}(a,\delta)=\{x\mid 0\lt |x-a|\lt \delta\}=(a-\delta,\ a)\cup(a,\ a+\delta).$$
还常用左邻域 $(a-\delta,a)$ 与右邻域 $(a,a+\delta)$。
💡 直观理解：邻域就是"点 $a$ 附近的一个开区间"——$\delta$ 越小"附近"越窄；去心邻域是"不含 $a$ 本身、但无限靠近 $a$ 的区域"。下一章定义极限 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 时，考察的正是 $x$ 在 $a$ 的去心邻域内的行为——所以今天必须把它讲透！
1.3 函数的概念 · 两要素
有了集合与邻域作铺垫，现在给函数下严格定义。函数是整个微积分的研究对象，理解"两要素"是学好本章的第一把钥匙。
📖 函数的定义
设 $D$ 是一个非空数集，若存在对应法则 $f$，使得对每个 $x\in D$，都有唯一确定的 $y\in\mathbb{R}$ 与之对应，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数，记作 $y=f(x),\ x\in D$。$x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量；$D$ 称为定义域 $D_f$；函数值全体构成的集合称为值域：$R_f=f(D)=\{y\mid y=f(x),\ x\in D\}$。
✏️ 函数的两要素（重点中的重点）：函数由定义域与对应法则唯一确定。两个函数相同 $\iff$ 定义域相同 且 对应法则相同——与变量用什么字母表示无关。
🧾 典型例题 1 · 判断函数是否相同：
① $f(x)=x$ 与 $g(t)=t$：相同（定义域都是 $\mathbb{R}$，法则都是"取本身"，字母无关）；
② $f(x)=1$ 与 $g(x)=\frac{x}{x}$：不同（$D_f=\mathbb{R}$，而 $D_g=\{x\mid x\ne0\}$）；
③ $f(x)=\sqrt{x^2}$ 与 $g(x)=|x|$：相同（$\sqrt{x^2}=|x|$，定义域都是 $\mathbb{R}$）；
④ $f(x)=\ln x^2$ 与 $g(x)=2\ln x$：不同（$D_f=\{x\mid x\ne0\}$，$D_g=\{x\mid x>0\}$）。
求定义域的基本原则
| 表达式类型 | 定义域要求 |
|---|
| 分式 $\dfrac{1}{f(x)}$ | $f(x)\ne 0$ |
| 偶次根式 $\sqrt[2n]{f(x)}$ | $f(x)\ge 0$ |
| 对数 $\log_a f(x)$ | $f(x)>0$（真数必须 > 0，不是 ≥ 0！） |
| 反正弦/反余弦 $\arcsin f(x)$、$\arccos f(x)$ | $|f(x)|\le 1$ |
| 正切 $\tan f(x)$ / 余切 $\cot f(x)$ | $f(x)\ne k\pi+\frac{\pi}{2}$ / $f(x)\ne k\pi$ |
| 多个式子组合 | 取各部分定义域的交集 |
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📝 典型例题 2 · 求定义域：
① $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}+\ln(x-1)$：由 $4-x^2>0\Rightarrow -2\lt x\lt 2$，且 $x-1>0\Rightarrow x>1$，取交集得 $D=(1,2)$；
② $f(x)=\arcsin\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x-2}}$：由 $\left|\frac{x-1}{2}\right|\le1\Rightarrow -1\le x\le3$，且 $x^2-x-2>0\Rightarrow x\lt -1$ 或 $x>2$，取交集得 $D=(2,3]$。
表示法三兄弟（复习）
函数的表示方法有三种：解析法（公式）、图像法（曲线）、表格法（数据）。图像法最直观——下面用动态曲线展示几种基本函数。
选择函数：
参数：
👆 完整讲义：标准公式 / 图像特点 / 应用领域
📈 逻辑斯蒂函数 Logistic Function · S 型增长函数
自带“增长天花板”的 S 形曲线函数——技术扩散、市场渗透、网络传播中应用广泛的模型，有限资源下的增长规律无处不在。
① 标准数学形式
$f(x)=\dfrac{L}{1+e^{-k(x-x_0)}}$
L曲线的上限（饱和值 · 增长天花板）
k曲线的增长速率——上图「参数」滑块调节的就是 $k$，$k$ 越大曲线中间段越陡峭
$x_0$曲线中点的横坐标（增长速度最快的位置）
🤖 特别地：当 $L=1,\ k=1,\ x_0=0$ 时，就是最经典的 Sigmoid $\sigma(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$——人工智能里最基础的激活函数，对应本课「建模与 AI」模块。
② 图像核心特点
- 两端平缓、中间陡峭，整体呈平滑的 S 型曲线；
- 存在上下两条水平渐近线——数值不会无限增长，也不会无限下跌；
- 与 $e^x$（指数爆炸式无限增长）、$\ln x$（持续慢增长）最本质的区别：逻辑斯蒂描述的是有限资源下的增长——前期快速增长，接近资源上限后增速放缓，最终趋于平稳。
③ 它在哪里大显身手（典型应用）
📲 技术采用 / 市场渗透
新产品渗透率、App 装机量、社交平台用户数：初期慢、中期爆发、后期饱和，是标准 S 形扩散。
📈 网络传播 / 流行病
信息与谣言传播、传染病累计感染人数，都是先快后慢、最终趋近总规模上限的逻辑斯蒂增长。
💼 学习曲线 / 产量爬坡
熟练度与产能爬坡：初期快速提升，接近上限进入平台期——继续投入收益递减（边际递减）。
🧠 人工智能与建模
神经网络 Sigmoid 激活函数、概率预测（点击率/违约风险）的底层都是逻辑斯蒂函数。
📝 补充：“逻辑斯蒂”是英文 Logistic 的音译，也译作逻辑斯谛、罗吉斯蒂；因曲线形态，也常被直接叫做 S 型增长函数。
📐 图像法
把 $(x,f(x))$ 的点连成曲线。需求曲线、成本曲线、利润曲线以及电商的销量-时间、转化率-投放曲线，都是函数图像在经营管理中的直接体现。
📊 表格法
如销售统计表、实验观测数据。优点是精确，缺点是看不出整体趋势。
分段函数与几个常用函数
| 函数 | 表达式 | 定义域 / 值域 | 特征 |
|---|
| 绝对值函数 | $y=|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\ -x,&x\lt 0\end{cases}$ | $D=\mathbb{R}$，$R_f=[0,+\infty)$ | 偶函数，图像为折线 |
| 符号函数 | $y=\mathrm{sgn}\,x=\begin{cases}1,&x>0\\ 0,&x=0\\ -1,&x\lt 0\end{cases}$ | $D=\mathbb{R}$，$R_f=\{-1,0,1\}$ | $x=\mathrm{sgn}\,x\cdot|x|$ |
| 取整函数 | $y=[x]$（不超过 $x$ 的最大整数） | $D=\mathbb{R}$，$R_f=\mathbb{Z}$ | $[2.3]=2$，$[-1.5]=-2$，$[\pi]=3$ |
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⚠️
分段函数是一个函数（不是几个函数！），只是在不同范围用不同式子表示。求分段函数值，先判断自变量属于哪一段，再代入对应式子。如 $f(x)=\begin{cases}x+1,&x\le0\\ x^2,&x>0\end{cases}$：$f(-1)=0$、$f(0)=1$、$f(2)=4$。
🧮 经管速览 · 分段函数就是"阶梯报价"：商业里最常见的分段函数——批发阶梯价：采购 $x$ 件，前 $100$ 件单价 $10$ 元、超出部分 $8$ 元，应付
$$T(x)=\begin{cases}10x, & 0\le x\le100\\ 1000+8(x-100), & x>100\end{cases}$$
（买 $150$ 件应付 $1000+8\times50=1400$ 元）。阶梯电价/水费、快递按重量分段计费、运费按地区分段都是同一结构——先判断自变量落在哪一段，再代入对应式子。
🎯 函数的四种性质 （教材 · 函数的几种简单性质）
🔒 有界性
存在正数 $M$，使区间内所有 $x$ 满足 $|f(x)|\le M$，则 $f(x)$ 在该区间有界。
例：$y=\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界；$y=\frac{1}{x}$ 在 $(0,2)$ 内无界，在 $[1,+\infty)$ 上有界。
📈 单调性
对 $x_1\lt x_2$，若恒有 $f(x_1)\lt f(x_2)$ 则单调递增；若恒有 $f(x_1)>f(x_2)$ 则单调递减。
例：$y=2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；$y=x^2$ 在 $(-\infty,0)$ 递减、$(0,+\infty)$ 递增。
🪞 奇偶性
若 $f(-x)=f(x)$ 称偶函数（图像关于 $y$ 轴对称）；若 $f(-x)=-f(x)$ 称奇函数（图像关于原点对称）。
例：$x^3$、$\sin x$ 是奇函数；$x^3\sin x$（奇×奇）是偶函数。
🔁 周期性
若存在正数 $T$ 使 $f(x)=f(x\pm T)$ 恒成立，$T$ 为周期，最小正者称最小正周期。
例：$\sin x$、$\cos x$ 以 $2\pi$ 为周期，$\tan x$ 以 $\pi$ 为周期；交流电、季节波动都近似周期变化。
💡 启示：四性帮我们读懂函数图像——有界性保证数值不越界（安全范围/预算上限），单调性描述量随自变量的变化趋势，周期性对应季节与周期波动，奇偶性简化对称问题的计算。
1.4 基本初等函数
以下 6 类函数称为基本初等函数，一切初等函数都由它们经过有限次四则运算与复合构成。
| 类别 | 表达式 | 定义域 | 典型应用 |
|---|
| 常数函数 | $y=C$ | $(-\infty,+\infty)$ | 固定成本 / 稳态量 |
| 幂函数 | $y=x^\alpha$ | 视 $\alpha$ 而定 | 销量弹性 $Q=aP^{-e}$、规模效应 $C=aq^{b}$ |
| 指数函数 | $y=a^x\ (a>0,a\ne1)$ | $(-\infty,+\infty)$ | 复利 $A=P(1+r)^n$、指数增长 $N=N_0 2^{t/T}$ |
| 对数函数 | $y=\log_a x$ | $(0,+\infty)$ | 分贝 $L=10\lg\frac{I}{I_0}$、弹性分析 |
| 三角函数 | $y=\sin x,\cos x,\tan x$ | $\mathbb{R}$（$\tan$ 例外） | 周期性波动（季节销售、潮汐） |
| 反三角函数 | $y=\arcsin x$ 等 | $[-1,1]$ 等 | 由比例/斜率反求角度 |
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重要公式：$e^{\ln x}=x\ (x>0)$，$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$，$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
📈
实例 · 倍增与对数线性化：连续复利本息 $A=P e^{rt}$；产量倍增过程 $N(t)=N_0\cdot 2^{t/T}$（$T$ 为倍增时间）取对数得 $\ln N=\ln N_0+\frac{\ln 2}{T}t$——在半对数坐标纸上呈直线，这就是"对数线性化"的威力（分贝、里氏震级同理）。
🏭 经管应用 · 幂函数与对数函数在企业里：① 柯布-道格拉斯生产函数 $Q=c\,K^{\alpha}L^{1-\alpha}$（$K$ 资本、$L$ 劳动、$c$ 技术系数）——产量对资本与劳动都是幂函数关系，刻画投入与产出的规模效应；② 需求价格弹性（"涨价 1% 销量变化百分之几"）是对数思想在企业定价中的化身：需求 $Q(P)=200-4P$ 在 $P=25$（$Q=100$）处的点弹性 $E=\frac{P}{Q}\cdot\left|\frac{dQ}{dP}\right|=\frac{25}{100}\times4=1$，恰为单位弹性。
1.5 反函数与复合函数
反函数
📖 定义 1.2（反函数）
设 $y=f(x)$ 是定义在 $D$ 上的一一对应函数，值域为 $R_f$。若对每个 $y\in R_f$，都有唯一的 $x\in D$ 使 $f(x)=y$，则由 $y$ 确定 $x$ 的对应关系称为 $f$ 的反函数，记作 $x=f^{-1}(y)$（习惯写作 $y=f^{-1}(x)$）。反函数与原函数的图像关于直线 $y=x$ 对称。
示例：$y=e^{0.7x}$ 与反函数 $y=\frac{1}{0.7}\ln x$ 关于 $y=x$ 对称
复合函数
📖 定义 1.3（复合函数）
设 $y=f(u)$ 是 $u$ 的函数，$u=g(x)$ 是 $x$ 的函数。若 $g$ 的值域与 $f$ 的定义域交集非空（即存在 $x$ 使 $g(x)\in D_f$），则在集合 $\{x\mid x\in D_g\ \text{且}\ g(x)\in D_f\}$ 上，$y$ 通过 $u$ 成为 $x$ 的函数 $y=f[g(x)]$，称为 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合而成的复合函数，$u$ 称为中间变量。
例：$y=\sin 2x$ = $y=\sin u$ 与 $u=2x$ 复合 · $y=\sqrt{1-x^2}$ = $y=\sqrt{u}$ 与 $u=1-x^2$ 复合
💡 复合函数是"套娃"：外层函数 $f$ + 内层函数 $g$。以后学链式法则求导全靠它！
💼 教材例证：生产中的"成本链"（例 1-6 经管版）
设某工厂每日产量 $q$（件）是开工时间 $t$（小时）的线性函数 $q(t)=10t$；又设总成本 $C$（元）是产量 $q$ 的函数 $C(q)=q^2+5q+200$（其中 $200$ 为固定成本，$q^2$ 项刻画加班、损耗等随产量加速上升的成本）。于是总成本 $C$ 通过 $q$ 成为时间 $t$ 的复合函数：
$C = C[q(t)] = (10t)^2 + 5(10t) + 200 = 100t^2 + 50t + 200$
这就是复合函数：$t \xrightarrow{\;q=10t\;} q \xrightarrow{\;C=q^2+5q+200\;} C$，中间变量 $q$——从开工到成本，一环扣一环。代入 $t=3\,\mathrm{h}$：$q=30$ 件，$C=30^2+5\times30+200=1250$ 元，与复合式 $100\times9+50\times3+200=1250$ 完全一致 ✓
💰
成本 $C=q^2+5q+200$
第二层 · 成本结构
📊
复合式 $C=100t^2+50t+200$
复合结果
⭐ 复合函数的构成条件（难点）
内层函数 $u=\varphi(x)$ 的值域 $R_\varphi$ 与外层函数 $y=f(u)$ 的定义域 $D_f$ 的交集必须非空（$R_\varphi\cap D_f\ne\varnothing$），否则不能复合；复合函数的定义域是 $\{x\mid x\in D_\varphi\ \text{且}\ \varphi(x)\in D_f\}$。
🧩 典型例题 4 · 能否复合：
① $y=f(u)=\sqrt{u}$，$u=\varphi(x)=1-x^2$：$R_\varphi=(-\infty,1]$，$D_f=[0,+\infty)$，交集 $[0,1]$ 非空 → 能复合，$y=\sqrt{1-x^2}$，定义域 $[-1,1]$；
② $y=f(u)=\arcsin u$，$u=\varphi(x)=2+x^2$：$R_\varphi=[2,+\infty)$，$D_f=[-1,1]$，交集为空 → 不能复合。
复合函数的分解（求导链式法则的基础技能）
✂️ 分解原则：从外向内、逐层分解，每一层都是基本初等函数或简单函数（务必检查每层定义域）。
例 5-① $y=\sin^2(x+1)$
$y=u^2$，$u=\sin v$，$v=x+1$（三层套娃）
例 5-② $y=e^{\sqrt{\ln x}}$
$y=e^u$，$u=\sqrt v$，$v=\ln x$（定义域 $x\ge1$）
例 5-③ $y=\ln(\cos x^2)$
$y=\ln u$，$u=\cos v$，$v=x^2$
📖 反函数存在的条件与求法
存在条件：$y=f(x)$ 在 $D$ 上一一对应（单射）；严格单调函数必有反函数（充分非必要）。性质：定义域与值域互换（$D_{f^{-1}}=R_f$，$R_{f^{-1}}=D_f$）；$f[f^{-1}(x)]=x$；图像关于 $y=x$ 对称；与原函数同单调。求法三步：①由 $y=f(x)$ 解出 $x=\varphi(y)$；②交换 $x,y$ 写成 $y=f^{-1}(x)$；③标明反函数定义域 $R_f$。
📝
典型例题 6 · 求反函数：
① $y=2x+3$：解 $x=\frac{y-3}{2}$ → $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$；
② $y=e^{2x-1}$：$\ln y=2x-1$，$x=\frac{\ln y+1}{2}$ → $f^{-1}(x)=\frac{\ln x+1}{2}\ (x>0)$；
③ $y=x^2,\ x\in[0,+\infty)$：因 $x\ge0$，$x=\sqrt{y}$ → $f^{-1}(x)=\sqrt{x}\ (x\ge0)$。注意 $y=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上
不是一一对应、无反函数，必须先限制定义域。
📉 经管应用 · 由需求函数求价格函数（反函数）：某商品销量 $Q$ 与单价 $P$ 的关系（需求函数）为 $Q=200-4P$（$0\le P\le 50$）。销量随价格严格递减，单调函数必有反函数——解出
$$P=\varphi(Q)=\frac{200-Q}{4}=50-\frac{Q}{4},\qquad 0\le Q\le200.$$
代入 $Q=80$ 件：$P=50-20=30$ 元/件 ✓——销售团队要知道"想卖出 $Q$ 件应定价 $P(Q)$"，这正是反函数（也称反需求函数）在定价决策中的直接应用。若以 $Q$ 为横轴、$P$ 为纵轴作图，需求函数与反需求函数互为反函数，其图像关于直线 $y=x$ 对称。
1.6 数学应用（数学建模）· 数学与 AI
💼 函数模型 · 经济管理应用
函数是经济管理定量研究的语言。拖动滑块观察参数对曲线的影响。
💰 指数衰减 / 贴现
$P(t)=P_0e^{-kt}$ 描述资产折旧、连续贴现（现值 $PV=FV\,e^{-rt}$）；$t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}$ 称为"半衰期/折半期"。
📈 逻辑斯蒂增长
$P(t)=\dfrac{L}{1+ae^{-bt}}$ 描述新技术渗透、市场扩散的"S 形"增长，$L$ 为市场天花板（饱和规模）。
⚖️ 供需均衡
某商品需求 $Q_d=100-2P$、供给 $Q_s=-20+3P$。市场出清 $Q_d=Q_s$：$100-2P=-20+3P$，解得 $P=24$ 元、$Q=52$ 件——两个一次函数图像的交点就是均衡价格与均衡数量。
📈 盈亏平衡分析
固定成本 $200$ 元、单位变动成本 $5$ 元、售价 $15$ 元：总收入 $R=15q$，总成本 $C=200+5q$，令 $R=C$ 得 盈亏平衡点 $q=20$ 件——此后每多卖一件净赚 $10$ 元。
🔬 数学建模：把实际问题翻译成函数
🧪 建模案例：传染病传播的 SIR 模型（跨学科经典）
传染病建模是数学生物学与公共卫生的核心工具。设 $N=S+I+R$ 为总人口，$S(t)$ 为易感者、$I(t)$ 为感染者、$R(t)$ 为康复者数量，三者满足：
$\dfrac{dS}{dt}=-\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I,\quad \dfrac{dI}{dt}=\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I-\gamma I,\quad \dfrac{dR}{dt}=\gamma I$
这里 $\beta$（传染率）和 $\gamma$（康复率）是模型参数——建模的本质就是把实际问题写成函数关系，再求解、预测、决策。2020 年新冠疫情期间，全世界科学家正是用这类模型预测疫情拐点；同一套"仓室模型"思想也被用来研究信息与谣言在社交网络中的扩散。
含三仓室表 / 微分方程组 / 基本再生数 $R_0$ / 模型假设与局限
🦠 SIR 模型 · 完整讲义
传染病传播最经典的数学模型，也是微积分微分方程章节最典型的跨学科应用案例（数学生物学 · 网络传播）——由 Kermack 与 McKendrick 于 1927 年提出。
① 基本概念：人群分为三个仓室
| 符号 | 名称 | 含义 |
|---|
| S | Susceptible 易感者 | 尚未得病、但有可能被感染的人 |
| I | Infected 感染者 | 已经得病、具有传染性的人 |
| R | Recovered 康复者 | 病愈后获得免疫力、不再被感染的人（也包含死亡者，故称“移除者”更准确） |
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🧮 总人数 $N=S+I+R$，假设封闭人群，总人口保持不变。
② 核心微分方程组
$\dfrac{dS}{dt}=-\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I \qquad \dfrac{dI}{dt}=\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I-\gamma\cdot I \qquad \dfrac{dR}{dt}=\gamma\cdot I$
$\beta$传染率——每个感染者单位时间内接触并传染易感者的概率
$\gamma$康复率——单位时间内感染者康复的比例，$\dfrac{1}{\gamma}$ 就是平均传染期
$\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I$新感染人数（质量作用定律：感染取决于易感者比例与感染者数量）
③ 关键概念：基本再生数 $R_0$
$R_0=\dfrac{\beta}{\gamma}$
- $R_0 > 1$：传染病会爆发——感染人数先上升后下降（经典的峰形曲线）；
- $R_0 \le 1$：传染病不会爆发——感染人数单调下降并最终消失；
- 群体免疫阈值：当康复者比例达到 $1-\dfrac{1}{R_0}$ 时疫情自然消退。例如 $R_0=3$ 时，需要 $\dfrac{2}{3}$ 的人有免疫力才能阻断传播。
④ 模型假设与局限
- 假设：人群均匀混合 · 总人口不变 · 康复后终身免疫 · 无出生/死亡/迁移 · 潜伏期忽略不计；
- 局限（实际需要扩展）：SEIR加入潜伏期 $E$（Exposed），更符合新冠、麻疹等SIRS康复后免疫力消退，可再次成为易感者SEIRS综合以上两者
🤖 数学与 AI：函数是人工智能的"细胞"
🧠 激活函数：神经网络里无处不在的函数
人工智能（深度学习）的核心是神经网络，而神经元的计算就是函数的复合：输入经过加权求和再套一个"激活函数"。
$y = \sigma(w_1x_1 + w_2x_2 + \cdots + b)$，其中 $\sigma$ 是激活函数
常用的激活函数正是我们这节课学的：Sigmoid $\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$（逻辑斯蒂函数！）、ReLU $\text{ReLU}(x)=\max(0,x)$（分段函数）、tanh（类双曲正切）。ChatGPT、人脸识别、语音助手都建立在千千万万个这样的函数复合之上。
🏢 AI 实例：AI 图像识别（如识别手写数字、人脸、质检缺陷）就是训练一个"输入→类别概率"的复合函数：卷积层提取特征（幂/矩阵运算）→ 激活函数引入非线性（Sigmoid/ReLU）→ 输出层给出各类别概率。函数，就是 AI 认识世界的语言。
▶ AI 短视频 · GTC 大会 · 函数与人工智能
网络公开教学资源，辅助拓展学习
1.7 拓展视频
📀 拓展视频：点播放即可观看——
▶ 视频一：智能时代 · 创新思维未来教育（MP4）
网络公开教学资源，辅助拓展学习
🧠 智能时代 · 创新思维培养
传统创新方法全景图 · 两大思维 · 六大类型
🧮 逻辑思维
科学推理型
演绎法归纳法类比法自然现象和科学原理探索法等价变换法
组合型
◇组合法◇分解法◇形态分析法◇信息交合法◇横向思考法
有序思维型
◇KJ法◇类推法◇奥斯本检核表法◇5W1H法◇和田法◇智力激励法（头脑风暴法）
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同济大学公开课：高等数学（一）· 函数与极限
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1.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉
1️⃣ 函数 $f(x)=\sqrt{3-x}+\dfrac{1}{\ln(x-1)}$ 的定义域是？
A. $(1,3]$
B. $(1,2)\cup(2,3]$
C. $[1,3]$
D. $(1,+\infty)$
2️⃣ 函数 $f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$ 的奇偶性是？
A. 偶函数
B. 奇函数
C. 非奇非偶
D. 周期函数
3️⃣ 将 $y=\ln\!\left(\tan\!\left(e^{\sqrt{x}}\right)\right)$ 分解为简单函数的复合，正确的是？
A. $y=\ln u$，$u=\tan v$，$v=e^{w}$，$w=\sqrt{x}$
B. $y=u^2$，$u=\ln(\tan x)$
C. $y=\ln u$，$u=\tan(e^x)$
D. $y=\tan u$，$u=\ln v$，$v=e^{\sqrt{x}}$
4️⃣ 函数 $f(x)=1+\ln(x+2)$ 的反函数是？
A. $y=e^{x-1}-2$
B. $y=e^{x}-2$
C. $y=\ln(x-1)-2$
D. $y=e^{x+1}-2$
5️⃣ 关于 $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的说法，正确的是？
A. 无界
B. 有界（$|f(x)|\le\frac12$）
C. 只有上界
D. 只有下界
1.9 知识思维导图 · 本课小结
🧠 §1.1 知识思维导图
📘 §1.1 函数的概念
及基本性质
集合与区间邻域
- ∈ / ⊆ / ∅ / $A^c$
- 并 $\cup$ 交 $\cap$ · 德摩根
- 区间 (a,b)、[a,b]
- 邻域 $U(a,\delta)$ / 去心
函数 · 两要素
- 定义域 + 对应法则
- 函数相同 ⇔ 两者全同
- 求定义域（根/对/分式）
- 解析·表格·图像法
复合与反函数
- $y=f[\varphi(x)]$
- $R_\varphi\cap D_f\ne\varnothing$
- 分解：从外向内
- 反函数 $y=f^{-1}(x)$
四类基本性质
- 单调 · 有界(上下界)
- 奇偶（关于原点对称）
- 周期 · 最小正周期
- 有界 ⇔ 既有上界又有下界
应用与衔接
- 需求/成本/复利函数
- S 形扩散 · SIR 建模
- AI 激活函数
- 邻域 → 极限的定义
✅ 本课小结
📌
函数由两要素决定：定义域与对应法则——判断"两个函数是否相同"只需看这两点，与变量字母无关；求定义域要逐条约束再取交集。
🎯
邻域是极限的前奏：$\mathring{U}(a,\delta)$ 去心邻域刻画"无限靠近 $a$ 但不等于 $a$"——下一章极限定义全靠它。
🔗
复合与反函数是"嵌套"与"逆向"：复合要求内层值域与外层定义域相交非空，分解从外向内；反函数要求一一对应，图像关于 $y=x$ 对称。
📊
四类性质会判断：单调性、有界性（既有上界又有下界）、奇偶性（定义域须关于原点对称）、周期性——都是"看图读性"的基本功。
🚀
下节预告：§1.2 数列与函数的极限——研究 $x$ 趋近某值时 $f(x)$ 的变化趋势，是微积分的基石。