普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数 · 第 1 次课
教材：《高等数学》第八版 上册（同济大学数学系 编）
高等数学 A1 · 第 1 次课 · 2 学时
$f(x)$ · $\sin x$ · $e^x$ · $\ln x$ · $x^\alpha$ · $\arctan x$
导 本章导读：从"常量"走向"变量"
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。所谓函数关系，就是变量之间的依赖关系；极限方法，则是研究变量的一种基本方法。本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念以及它们的一些性质。
本节（第 1 次课 · 映射与函数）是整个高等数学的第一块基石——函数是微积分的研究对象，也是映射的一种。学好"映射与函数"，才能筑起极限、导数、积分的大厦。
💭 上课之前 · 请想一想
🤔
关于数学，你们想知道什么？
每个人心中都有一份好奇——它为什么无处不在？学好它有什么用？把你想知道的写下来，我们一起在高等数学中找到答案。
🧗
你在数学学习中遇见了什么样的难题？
是公式记不住、题目不会做，还是不知道学了有什么用？说出你的困难，我们一起想办法攻克它。
✦ 带着思考，进入今天的主题 ✦
🤔 什么是数学？
"问题是数学的心脏"——每个人眼中的数学，都是不一样的
🧮有人说是公式与计算
📐有人说是图形与空间
🔢有人说是数字的游戏
🌐还有人说是解释世界的语言
先看一段视频，听听数学家和科学家心中的数学——
▶ 视频：大咖们的数学观 · 数学家与科学家心中的数学
网络公开教学资源，辅助拓展学习
"数学家的灵魂深处，必住着一位诗人。"
—— 索菲亚·科瓦列夫斯卡娅（Sofia Kovalevskaya, 1850–1891）
"It is impossible to be a mathematician without being a poet in soul."
👩🎓
索菲亚·科瓦列夫斯卡娅
Sofia Kovalevskaya · 1850–1891 · 历史上最伟大的女数学家之一
数学史上多位"第一"的创造者：第一位女性数学博士 · 欧洲第一位女性数学正教授 · 俄国科学院首位女性通讯院士（数学领域）
📖 生平与突破
1850 年生于俄罗斯莫斯科贵族家庭，自幼对数学有天赋，童年时卧室墙壁贴的是父亲学过的微积分讲义。
当时俄国大学不招收女性，她通过假结婚（与古生物学家科瓦列夫斯基）获得出国护照，1869 年前往德国海德堡大学旁听。
1870 年秋到柏林，大学仍不收女生，她直接找到魏尔斯特拉斯（Weierstrass，分析学大师），魏尔斯特拉斯出了几道难题考她，发现她才华惊人，于是私下每周单独授课，持续约四年（1870–1874）。
1874 年，哥廷根大学在魏尔斯特拉斯的推荐下，免答辩、免考试授予她数学博士学位——她是历史上第一位获得数学博士学位的女性。
🏆 主要数学成就
柯西-科瓦列夫斯卡娅定理（Cauchy-Kovalevskaya Theorem）：偏微分方程领域的基础定理，证明了解析偏微分方程初值问题解析解的存在唯一性。这是她博士论文的核心成果，至今仍是偏微分方程教材的标准内容。
刚体旋转问题：1888 年，她凭借《刚体绕定点旋转的一个特殊情形》获得法国科学院博尔丁奖（Prix Bordin）。在欧拉和拉格朗日之后，她发现了第三种可积的刚体旋转情形（称为"科瓦列夫斯卡娅陀螺"），这是经典力学的重要突破。
阿贝尔积分与分析学：在阿贝尔积分的化简、超椭圆积分等方面有重要工作。
🎓 数学博士历史上第一位女性数学博士（哥廷根大学，1874）
🏛️ 数学教授欧洲历史上第一位女性数学正教授（斯德哥尔摩大学，1889；此前 1884 年起任该校讲师）
🌟 科学院院士1889 年当选俄国圣彼得堡科学院首位女性通讯院士（数学领域）
📜 作家自传体小说《童年的回忆》《女虚无主义者》
🌍 历史意义
她的一生打破了 19 世纪欧洲学术界对女性的多重壁垒——不能上大学、不能拿学位、不能当教授、不能进科学院。她用实力证明了女性在数学领域的能力，为后来的女性数学家开辟了道路。她去世时年仅 41 岁，因流感并发肺炎在斯德哥尔摩逝世。
数学，是关于模式与秩序的科学——它是自然科学与社会科学的共同语言，为各门科学提供描述规律、进行推理的工具。
学习数学，我们需要聚焦数学理论、数学知识、数学能力、数学方法与数学素养，全面提升自己。
💡 走进高等数学之前
刚才我们看到：数学是解释世界的语言。那么——为什么要学这门高等数学？答案就藏在这三个问题里。
🏗️
一、学习高等数学的重要性
它不只是学分，更是现代科技与工程的语言：信号与电路用指数函数描述充放电、控制系统靠微分方程建模、人工智能的核心是函数复合与优化、经济金融用极限与导数刻画变化率。数学，是理工科大厦的钢筋水泥。
🎯
二、高等数学课的教学特点
和高中数学不同，它更抽象、更严谨、更连贯：从"函数"出发，一路走到极限、导数、积分——环环相扣，像盖楼一样。所以这一节"映射与函数"，就是整座微积分大厦的地基。
🗝️
三、怎样才能学好它
诀窍有三：①先懂"为什么"，再记"是什么"——理解概念比背公式更重要；②动手练，数学是"练"会的；③用好工具——本课的动态图像、AI 助教、随堂练习，都是为你准备的阶梯。
✦ 带着这三个问题的答案，我们开始盖楼——从"映射与函数"这块基石讲起 ✦
1.1 数学文化 · 函数的百年之旅
📜 函数概念的演变（数学史）
17 世纪 · 莱布尼茨（Gottfried Leibniz, 1646–1716）首次使用"function"一词描述曲线上点的变动规律；18 世纪 · 欧拉（Leonhard Euler, 1707–1783）给出记号 $f(x)$ 并定义为"解析表达式"；19 世纪 · 狄利克雷（Dirichlet）提出"任意对应关系"的现代定义；20 世纪 · 集合论使函数成为"映射"的特殊情形。
有趣的是：数学的发展离不开各学科的反哺——1855 年德国生理学家费克（Fick）提出"费克扩散定律"，用函数描述物质的扩散运输，成为传质过程与建模的数学基石！
🧮
莱布尼茨：微积分符号的创造者，$dy/dx$、$\int$ 都出自他手。
欧拉：数学界的"百科全书"，一生留下 800 余部（篇）论著，$f(x)$、$e$、$\pi$、$\sin$ 等符号都由他定型。
费克：德国医生兼生理学家，用数学函数揭开物质跨膜运输的规律。
💡 文化启示：函数概念从"公式"到"任意对应"的演变，反映了数学从具体到抽象、从描述到刻画本质的过程——这正是医学研究需要的思维方式。
1.2 映射与函数
本节建立本课程的第一个核心概念。先从更一般的映射讲起——函数不过是"数集到数集"的映射；再把目光聚焦到函数：定义域、对应法则、图形，以及几个重要的基本函数。
一、映射 · 定义与要素
📖 定义 1.1（映射）
设 $X$、$Y$ 是两个非空集合，如果存在一个法则 $f$，使得对 $X$ 中每个元素 $x$，按法则 $f$ 在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应，那么称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作 $f:X\to Y$。其中 $y$ 称为 $x$（在 $f$ 下）的像，记作 $y=f(x)$；$x$ 称为 $y$ 的一个原像；集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域（$D_f=X$）；$X$ 中所有元素的像所组成的集合称为映射 $f$ 的值域，即 $R_f=f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$。
📌 构成映射的三个要素：① 定义域 $X$（$D_f=X$）；② 集合 $Y$（值域范围 $R_f\subset Y$）；③ 对应法则 $f$——使每个 $x\in X$ 有唯一确定的 $y=f(x)$ 与之对应。注意两点：对每个 $x$，像 $y$ 是唯一的；但对每个 $y\in R_f$，原像不一定唯一；值域 $R_f$ 是 $Y$ 的子集，不一定 $R_f=Y$。
映射示例：像与原像 · 例 1–3
例 1 · $f(x)=x^2$
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，$D_f=\mathbb{R}$，值域 $R_f=\{y\mid y\ge0\}$ 是 $\mathbb{R}$ 的真子集。除 $y=0$ 外，每个 $y$ 的原像不唯一——$y=4$ 的原像就有 $x=2$ 与 $x=-2$ 两个。既非单射，又非满射。
例 2 · 单位圆投影
$X=\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}$，$Y=\{(x,0)\mid |x|\le1\}$，$f:(x,y)\mapsto(x,0)$——把单位圆周上的点正投影到 $x$ 轴的区间 $[-1,1]$。$D_f=X$，$R_f=Y$：是满射，但不是单射（上下两点映到同一点）。
例 3 · $f(x)=\sin x$，$f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]$
把定义域限制在 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ 上，$D_f=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$，值域 $R_f=[-1,1]$：既单射（不同 $x$ 得不同像），又满射（$R_f=Y$），因此是一一映射。
⭐ 满射 · 单射 · 双射（一一映射）
设 $f$ 是从集合 $X$ 到集合 $Y$ 的映射：若 $R_f=Y$，即 $Y$ 中任一元素都是 $X$ 中某元素的像，称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 上的映射（满射）；若对 $X$ 中任意两个不同元素 $x_1\ne x_2$，有 $f(x_1)\ne f(x_2)$，称 $f$ 为单射；若 $f$ 既是单射又是满射，称 $f$ 为一一映射（双射）。例 1 既非单射又非满射；例 2 非单射、是满射；例 3 既是单射又是满射，是一一映射。
🗂️ 映射的别名：映射又称算子。根据集合 $X$、$Y$ 的不同：从非空集 $X$ 到数集 $Y$ 的映射又称 $X$ 上的泛函；从 $X$ 到它自身的映射又称 $X$ 上的变换；从实数集（或其子集）$X$ 到实数集 $Y$ 的映射，通常称为定义在 $X$ 上的函数。
二、逆映射与复合映射
📖 逆映射
设 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的单射，则由定义，对每个 $y\in R_f$，有唯一的 $x\in X$ 适合 $f(x)=y$。于是可定义一个从 $R_f$ 到 $X$ 的新映射 $g:R_f\to X$：$g(y)=x$——称 $g$ 为 $f$ 的逆映射，记作 $f^{-1}$。其定义域 $D_{f^{-1}}=R_f$，值域 $R_{f^{-1}}=X$。只有单射才存在逆映射：例 1、例 2、例 3 中仅例 3 有逆映射——正是反正弦函数的主值 $f^{-1}(x)=\arcsin x,\ x\in[-1,1]$。
📖 复合映射
设有两个映射 $g:X\to Y_1$，$f:Y_2\to Z$，其中 $Y_1\subset Y_2$，则由 $g$ 与 $f$ 可以定出一个从 $X$ 到 $Z$ 的对应法则：它将每个 $x\in X$ 映成 $f[g(x)]\in Z$，这个映射称为$g$ 与 $f$ 构成的复合映射，记作 $f\circ g$：$$(f\circ g)(x)=f[g(x)],\quad x\in X.$$ 复合的条件是 $g$ 的值域 $R_g$ 必须包含在 $f$ 的定义域 $D_f$ 内（$R_g\subset D_f$）。复合是有顺序的：$f\circ g$ 有意义并不表示 $g\circ f$ 也有意义；即使 $f\circ g$ 与 $g\circ f$ 都有意义，二者也未必相同。
🧩 例 4：设 $g:\mathbb{R}\to[-1,1]$，$g(x)=\sin x$；映射 $f:[-1,1]\to[0,1]$，$f(u)=\sqrt{1-u^2}$。则 $g$ 与 $f$ 构成的复合映射 $f\circ g:\mathbb{R}\to[0,1]$：$$(f\circ g)(x)=f[g(x)]=f(\sin x)=\sqrt{1-\sin^2 x}=|\cos x|.$$
三、函数 · 定义与记号
📖 定义 1.2（函数）
设数集 $D\subset\mathbb{R}$，则称映射 $f:D\to\mathbb{R}$ 为定义在 $D$ 上的函数，通常简记为 $$y=f(x),\quad x\in D,$$ 其中 $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，$D$ 称为定义域；函数值 $f(x)$ 的全体所构成的集合称为函数 $f$ 的值域 $R_f=f(D)=\{y\mid y=f(x),\ x\in D\}$。
✏️ 记号辨析：$f$ 与 $f(x)$ 的含义不同——前者表示自变量与因变量之间的对应法则，后者表示与 $x$ 对应的函数值；习惯上用 "$y=f(x),\ x\in D$" 表示函数。表示函数的记号可任意选取：$g$、$F$、$\varphi$ 均可；在同一个问题中讨论几个函数时，须用不同记号区分。构成函数的要素是定义域 $D$ 与对应法则 $f$：两个函数相同 $\iff$ 定义域与对应法则都相同（如 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 与 $g(x)=x+1$ 定义域不同，故不是同一函数）。
函数的定义域 · 两种情形
🏗️ 有实际背景的函数
按实际背景中变量的实际意义确定。如自由落体：设下落时间 $t$、距离 $s$，开始 $t=0$、落地 $t=T$，则 $s=\frac12 gt^2,\ t\in[0,T]$——定义域是区间 $[0,T]$。
📐 自然定义域
抽象的算式表达的函数，约定其定义域为使算式有意义的一切实数组成的集合。如 $y=\sqrt{1-x^2}$ 的定义域是 $[-1,1]$；$y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 的定义域是开区间 $(-1,1)$。
几个重要的基本函数 · 例 5–9
| 例 | 函数 | 定义域 / 值域 | 图形特征 |
|---|
| 例 5 | $y=2$（常数函数） | $D=(-\infty,+\infty)$，$R_f=\{2\}$ | 平行于 $x$ 轴的一条直线 |
| 例 6 | $y=|x|$（绝对值函数） | $D=\mathbb{R}$，$R_f=[0,+\infty)$ | 两条射线构成的折线 |
| 例 7 | $y=\mathrm{sgn}\,x$（符号函数） | $D=\mathbb{R}$，$R_f=\{-1,0,1\}$ | 三段水平线段；$x=\mathrm{sgn}\,x\cdot|x|$ |
| 例 8 | $y=[x]$（取整函数） | $D=\mathbb{R}$，$R_f=\mathbb{Z}$ | 阶梯曲线；整数值处跳跃、跃度为 1 |
| 例 9 | $f(x)=\begin{cases}2\sqrt{x}, & 0\le x\le1\\ 1+x, & x>1\end{cases}$ | $D=[0,+\infty)$（$f(3)=4$） | 分段函数：各段用不同式子表示 |
👉 左右滑动查看完整表格 👈
💡 分段函数是一个函数（不是几个函数！），在自然科学与工程技术中经常遇到。例如等温过程中气体压强 $p$ 与体积 $V$ 的关系：当 $V$ 不太小时依从玻意耳定律；当 $V$ 相当小时，则要用范德瓦耳斯方程 $p=\frac{k}{V-\beta}-\frac{\alpha}{V^2}$（$k,\alpha,\beta$ 均为常量）来描述。
⚙️ 工科速览 · 例 5–9 在机电与自动化中的样子：
$y=|x|$ 正是电工电子中的全波整流——把交流电压取绝对值，得到单向脉动直流；$y=\mathrm{sgn}\,x$ 是继电器、开关与数控中的符号判断（$x$ 为正则正转、为负则反转）；$y=[x]$（取整） 对应AD 采样量化与数字控制——连续电压被"取整"成有限个离散档位（位数越多，档位越细）；而分段函数正是电机限幅/饱和特性、弹簧双线性刚度等工程特性曲线的统一写法。
1.3 函数的表示法与图像
函数的表示方法有三种：解析法（公式）、图像法（曲线）、表格法（数据）。图像法最直观——下面用动态曲线展示几种基本函数。
选择函数：
参数：
👆 完整讲义：标准公式 / 图像特点 / 医学应用
📈 逻辑斯蒂函数 Logistic Function · S 型增长函数
自带“增长天花板”的 S 形曲线函数——生态、经济、流行病学、人工智能中应用最广泛的模型之一，有限资源下的增长规律无处不在。
① 标准数学形式
$f(x)=\dfrac{L}{1+e^{-k(x-x_0)}}$
L曲线的上限（饱和值 · 增长天花板）
k曲线的增长速率——上图「参数」滑块调节的就是 $k$，$k$ 越大曲线中间段越陡峭
$x_0$曲线中点的横坐标（增长速度最快的位置）
🤖 特别地：当 $L=1,\ k=1,\ x_0=0$ 时，就是最经典的 Sigmoid $\sigma(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$——人工智能里最基础的激活函数，对应本课「建模与 AI」模块。
② 图像核心特点
- 两端平缓、中间陡峭，整体呈平滑的 S 型曲线；
- 存在上下两条水平渐近线——数值不会无限增长，也不会无限下跌；
- 与 $e^x$（指数爆炸式无限增长）、$\ln x$（持续慢增长）最本质的区别：逻辑斯蒂描述的是有限资源下的增长——前期快速增长，接近资源上限后增速放缓，最终趋于平稳。
③ 它在哪里大显身手（典型应用）
🦠 生态种群 / 微生物增殖
细菌培养、种群增长：营养与空间有限时先快速增长、后增速放缓，最终稳定在环境容纳量，完全符合逻辑斯蒂规律。
🌐 流行病与网络传播
传染病累计感染人数、新技术的扩散（手机普及率、信息传播）都是典型逻辑斯蒂增长——先快后慢，最终趋近总规模上限。
📉 饱和系统 / 学习曲线
广告转化、产量爬坡、技能熟练度：初期快速提升，接近上限后进入平台期——继续投入收益递减（边际效应）。
🧠 人工智能与建模
神经网络的 Sigmoid 激活函数、概率预测模型（点击率、风险评分）的底层都是逻辑斯蒂函数。
📝 补充：“逻辑斯蒂”是英文 Logistic 的音译，也译作逻辑斯谛、罗吉斯蒂；因曲线形态，也常被直接叫做 S 型增长函数。
📐 图像法
把 $(x,f(x))$ 的点连成曲线。示波器上电压-时间波形、数控机床的位移-时间曲线、振动测试的加速度时程曲线，都是函数图像在电子/机械中的直接体现。
📊 表格法
如传感器每隔一段时间的采样数据表、设备运行记录。优点是精确，缺点是看不出整体趋势。
🎯 函数的四种性质 （教材 · 函数的几种简单性质）
🔒 有界性
存在正数 $M$，使区间内所有 $x$ 满足 $|f(x)|\le M$，则 $f(x)$ 在该区间有界。
例：$y=\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界；$y=\frac{1}{x}$ 在 $(0,2)$ 内无界，在 $[1,+\infty)$ 上有界。
📈 单调性
对 $x_1\lt x_2$，若恒有 $f(x_1)\lt f(x_2)$ 则单调递增；若恒有 $f(x_1)>f(x_2)$ 则单调递减。
例：$y=2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；$y=x^2$ 在 $(-\infty,0)$ 递减、$(0,+\infty)$ 递增。
🪞 奇偶性
若 $f(-x)=f(x)$ 称偶函数（图像关于 $y$ 轴对称）；若 $f(-x)=-f(x)$ 称奇函数（图像关于原点对称）。
例：$x^3$、$\sin x$ 是奇函数；$x^3\sin x$（奇×奇）是偶函数。
🔁 周期性
若存在正数 $T$ 使 $f(x)=f(x\pm T)$ 恒成立，$T$ 为周期，最小正者称最小正周期。
例：$\sin x$、$\cos x$ 以 $2\pi$ 为周期，$\tan x$ 以 $\pi$ 为周期；交流电、声波、四季更替都近似周期变化。
💡 启示：四性帮我们读懂函数图像——有界性保证数值不越界（安全范围），单调性描述量随时间的变化趋势，周期性对应振动与波动，奇偶性简化对称系统的计算。
1.4 基本初等函数
以下 5 类函数（幂、指数、对数、三角、反三角）称为基本初等函数，再加上常数函数 $y=C$ 作为常备成员——一切初等函数都由它们经过有限次四则运算与复合构成。
| 类别 | 表达式 | 定义域 | 典型应用 |
|---|
| 常数函数 | $y=C$ | $(-\infty,+\infty)$ | 稳态信号 / 平衡状态 |
| 幂函数 | $y=x^\alpha$ | 视 $\alpha$ 而定 | 自由落体 $s=\frac12 gt^2$、圆面积 $S=\pi r^2$ |
| 指数函数 | $y=a^x\ (a>0,a\ne1)$ | $(-\infty,+\infty)$ | RC 电路充放电、放射性衰变 $N=N_0 2^{-t/T}$ |
| 对数函数 | $y=\log_a x$ | $(0,+\infty)$ | 声强分贝 $L=10\lg\frac{I}{I_0}$、里氏震级 |
| 三角函数 | $y=\sin x,\cos x,\tan x$ | $\mathbb{R}$（$\tan$ 例外） | 交流电、简谐振动 $y=A\sin\omega t$ |
| 反三角函数 | $y=\arcsin x$ 等 | $[-1,1]$ 等 | 由比例反求角度（机械/测量） |
👉 左右滑动查看完整表格（含典型应用） 👈
重要公式：$e^{\ln x}=x\ (x>0)$，$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$，$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
🧬 实例 · 倍增过程的对数线性化：细菌数量 $N(t)=N_0\cdot 2^{t/T}$（$T$ 为倍增时间）。取对数得 $\ln N = \ln N_0 + \frac{\ln 2}{T}t$——在半对数坐标纸上呈直线，这就是"对数线性化"的威力（放射性半衰期同理）。
初等函数的定义
📖 定义（初等函数）
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。例如 $y=\sqrt{1-x^2}$、$y=\sin^2 x$ 等都是初等函数。本课程中讨论的函数绝大多数都是初等函数。
🔺 双曲函数与反双曲函数（应用上常遇）
以 $e$ 为底的指数函数 $y=e^x$ 和 $y=e^{-x}$ 可产生双曲函数（工程中悬索桥、输电线的悬链线形状即双曲余弦！）：
$\mathrm{sh}\,x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\ $（双曲正弦）$\qquad \mathrm{ch}\,x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\ $（双曲余弦）$\qquad \mathrm{th}\,x=\dfrac{\mathrm{sh}\,x}{\mathrm{ch}\,x}\ $（双曲正切）
🪞 基本性态
sh x：奇函数，$\mathbb{R}$ 上单调增，过原点；ch x：偶函数，过 $(0,1)$，$\mathrm{ch}0=1$ 为最小值，$(-\infty,0)$ 减、$(0,+\infty)$ 增；th x：奇函数，单调增，夹在 $y=\pm1$ 两条水平线之间。
🧮 常用公式
$\mathrm{sh}(x\pm y)=\mathrm{sh}\,x\,\mathrm{ch}\,y\pm\mathrm{ch}\,x\,\mathrm{sh}\,y$；$\mathrm{ch}(x\pm y)=\mathrm{ch}\,x\,\mathrm{ch}\,y\pm\mathrm{sh}\,x\,\mathrm{sh}\,y$。令 $x=y$ 得 $\mathrm{ch}^2x-\mathrm{sh}^2x=1$、$\mathrm{sh}2x=2\mathrm{sh}\,x\,\mathrm{ch}\,x$、$\mathrm{ch}2x=\mathrm{ch}^2x+\mathrm{sh}^2x$——与三角公式对照记忆。
📎 反双曲函数（均可用自然对数表示）：$\mathrm{arsh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，$x\in\mathbb{R}$（奇函数）；$\mathrm{arch}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$，$x\ge1$；$\mathrm{arth}\,x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}$，$|x|\lt 1$（奇函数）。
🏗️ 工科现场：两端悬挂的电缆、输电线、悬索桥主缆在自重下呈悬链线（Catenary）$y=a\,\mathrm{ch}\,\dfrac{x}{a}$，其弧垂（最低点下垂量） $f=a\left(\mathrm{ch}\frac{l}{2a}-1\right)$ 决定对地安全距离——电力与通信工程按它选杆塔高度；悬索桥则借它控制主缆线形。相邻两悬链线公式
$\mathrm{ch}^2u-\mathrm{sh}^2u=1$ 与三角恒等式 $\cos^2u+\sin^2u=1$ 形式完全平行——数学结构一致，适用场景截然不同：一个描述"圆"（旋转机械、交流电），一个描述"悬链"（缆索、重力场）。
1.5 反函数与复合函数
反函数
📖 定义 1.3（反函数）
设函数 $f:D\to f(D)$ 是单射，则它存在逆映射 $f^{-1}:f(D)\to D$，称此映射 $f^{-1}$ 为函数 $f$ 的反函数。对每个 $y\in f(D)$ 有唯一的 $x\in D$ 使 $f(x)=y$，故 $f^{-1}(y)=x$。习惯上写作 $y=f^{-1}(x),\ x\in f(D)$；原函数 $y=f(x)$ 称为直接函数。单调函数必存在反函数，且反函数与原函数同单调；直接函数与反函数的图形关于直线 $y=x$ 对称。
例：$y=x^3,\ x\in\mathbb{R}$ 是单射，反函数为 $y=\sqrt[3]{x},\ x\in\mathbb{R}$；$y=e^x$ 的反函数是 $y=\ln x$。
🌡️ 工科应用 · 传感器标定与反函数（自动化/仪表）：工业测温常用铂热电阻 Pt100：电阻 $R$ 随温度 $T$ 单调上升，近似 $R(T)=R_0(1+\alpha T)$（$R_0=100\,\Omega,\ \alpha\approx0.00385/{}^\circ\mathrm{C}$）。仪表要"由电阻反读温度"，用的正是反函数：
$$T=\varphi(R)=\frac{1}{\alpha}\left(\frac{R}{R_0}-1\right),\quad R\in[R_0,\ R_0(1+\alpha T_{\max})].$$
代入 $R=130.8\,\Omega$：$T=\frac{1}{0.00385}(\frac{130.8}{100}-1)\approx\frac{0.308}{0.00385}=80\,{}^\circ\mathrm{C}$ ✓——单调函数保证一一对应，反函数才存在，这就是测温仪表能精确"读数"的数学原理。
示例：$y=e^{0.7x}$ 与反函数 $y=\frac{1}{0.7}\ln x$ 关于 $y=x$ 对称
复合函数
📖 定义 1.4（复合函数）
设 $y=f(u)$ 的定义域包含 $u=g(x)$ 的值域，则 $y=f[g(x)]$ 称为由 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合而成的复合函数，$u$ 称为中间变量。复合条件是 $g$ 的值域 $R_g\subset D_f$——否则不能构成复合函数（若有必要，可先把 $g$ 限制在定义域的子集上）。两个以上函数也可顺次复合，中间变量可以有多个。
例：$y=\sin 2x$ = $y=\sin u$ 与 $u=2x$ 复合 · $y=\sqrt{1-x^2}$ = $y=\sqrt{u}$ 与 $u=1-x^2$ 复合
💡 复合函数是"套娃"：外层函数 $f$ + 内层函数 $g$。以后学链式法则求导全靠它！
🧩 教材例析：① $y=f(u)=\arcsin u$（$D_f=[-1,1]$）与 $u=g(x)=\sin x$：$g(\mathbb{R})\subset[-1,1]$，故可复合为 $y=\arcsin(\sin x),\ x\in\mathbb{R}$；② $y=f(u)=\sqrt{u}$（$D_f=[0,+\infty)$）与 $u=\tan x$：$\tan$ 的值域是 $\mathbb{R}$，不包含于 $[0,+\infty)$，故不能直接复合——但把 $\tan x$ 限制在 $D=\{x\mid\tan x\ge0\}$ 上，就可复合为 $y=\sqrt{\tan x},\ x\in D$；习惯上仍称它由 $u=\tan x$ 与 $y=\sqrt{u}$ 复合而成。
⚡ 教材例证：电工学中的"功率链"（例 1-6 工科版）
设某纯电阻负载（电炉、白炽灯等）的电阻为 $R$，两端电压为 $U$。由欧姆定律，电流 $I$ 是电压 $U$ 的函数 $I(U)=\frac{U}{R}$；再由焦耳定律，负载电功率 $P$ 是电流 $I$ 的函数 $P(I)=I^2R$。于是电功率 $P$ 通过 $I$ 成为 $U$ 的复合函数：
$P = P[I(U)] = \left(\dfrac{U}{R}\right)^{\!2}R = \dfrac{U^2}{R}$
这就是复合函数：$U \xrightarrow{\;I=\frac{U}{R}\;} I \xrightarrow{\;P=I^2R\;} P$，中间变量 $I$——正如电路中电压、电流、功率一环扣一环。代入 $U=100\,\mathrm{V},\ R=25\,\Omega$：$I=\frac{100}{25}=4\,\mathrm{A}$，$P=4^2\times25=400\,\mathrm{W}$，与复合式 $\frac{U^2}{R}=\frac{100^2}{25}=400$ 完全一致 ✓
🔌
电流 $I=\frac{U}{R}$
第一层 · 欧姆定律
💡
复合式 $P=\frac{U^2}{R}$
复合结果
1.6 函数模型 · 数学建模 · 数学与 AI
⚡ 函数模型 · 工程与科技应用
函数是工程与科技定量研究的语言。拖动滑块观察参数对曲线的影响。
⚡ RC 电路 / 一阶系统
$q(t)=Q_0e^{-kt}$ 描述电容放电、物体冷却等指数衰减过程；$t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}$ 为"半衰期"（时间常数 $\tau=\frac1k$ 内衰减到 $e^{-1}$）。
📈 逻辑斯蒂增长
$P(t)=\dfrac{L}{1+ae^{-bt}}$ 描述种群、技术扩散、网络传播等在有限环境下的"S 形"增长，$L$ 为环境容纳量（增长上限）。
🤖 自动化 · 一阶惯性环节
RC 电路、电机启动、炉温上升、液位充填在自动控制里是同一种"一阶惯性环节"：$y(t)=K(1-e^{-t/T})$（$K$ 稳态增益、$T$ 时间常数），$t=T$ 达 $63.2\%$，$3T$ 达 $95\%$，$5T$ 视为进入稳态——控制工程师据此整定参数。
🌀 机电 · 简谐振动
交流电、转子振动、机床主轴都可用 $x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$ 描述；两列同频信号叠加仍是同频正弦（旋转矢量合成）——三角函数是振动与"频谱"世界的通用函数。
🔬 数学建模：把实际问题翻译成函数
🧪 建模案例：传染病传播的 SIR 模型（跨学科经典）
传染病建模是数学生物学与公共卫生的核心工具。设 $N=S+I+R$ 为总人口，$S(t)$ 为易感者、$I(t)$ 为感染者、$R(t)$ 为康复者数量，三者满足：
$\dfrac{dS}{dt}=-\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I,\quad \dfrac{dI}{dt}=\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I-\gamma I,\quad \dfrac{dR}{dt}=\gamma I$
这里 $\beta$（传播率）和 $\gamma$（康复率）是模型参数——建模的本质就是把实际问题写成函数关系，再求解、预测、决策。2020 年新冠疫情期间，全世界科学家正是用这类模型预测疫情拐点、评估防控措施；同一套思想也用于信息、谣言在社交网络中的传播研究。
含三仓室表 / 微分方程组 / 基本再生数 $R_0$ / 模型假设与局限
🦠 SIR 模型 · 完整讲义
传染病传播最经典的数学模型，也是高等数学微分方程章节最典型的跨学科应用案例（流行病学 · 网络传播）——由 Kermack 与 McKendrick 于 1927 年提出。
① 基本概念：人群分为三个仓室
| 符号 | 名称 | 含义 |
|---|
| S | Susceptible 易感者 | 尚未得病、但有可能被感染的人 |
| I | Infected 感染者 | 已经得病、具有传染性的人 |
| R | Recovered 康复者 | 病愈后获得免疫力、不再被感染的人（也包含死亡者，故称“移除者”更准确） |
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🧮 总人数 $N=S+I+R$，假设封闭人群，总人口保持不变。
② 核心微分方程组
$\dfrac{dS}{dt}=-\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I \qquad \dfrac{dI}{dt}=\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I-\gamma\cdot I \qquad \dfrac{dR}{dt}=\gamma\cdot I$
$\beta$传染率——每个感染者单位时间内接触并传染易感者的概率
$\gamma$康复率——单位时间内感染者康复的比例，$\dfrac{1}{\gamma}$ 就是平均传染期
$\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I$新感染人数（质量作用定律：感染取决于易感者比例与感染者数量）
③ 关键概念：基本再生数 $R_0$
$R_0=\dfrac{\beta}{\gamma}$
- $R_0 > 1$：传染病会爆发——感染人数先上升后下降（经典的峰形曲线）；
- $R_0 \le 1$：传染病不会爆发——感染人数单调下降并最终消失；
- 群体免疫阈值：当康复者比例达到 $1-\dfrac{1}{R_0}$ 时疫情自然消退。例如 $R_0=3$ 时，需要 $\dfrac{2}{3}$ 的人有免疫力才能阻断传播。
④ 模型假设与局限
- 假设：人群均匀混合 · 总人口不变 · 康复后终身免疫 · 无出生/死亡/迁移 · 潜伏期忽略不计；
- 局限（实际需要扩展）：SEIR加入潜伏期 $E$（Exposed），更符合新冠、麻疹等SIRS康复后免疫力消退，可再次成为易感者SEIRS综合以上两者
🤖 数学与 AI：函数是人工智能的"细胞"
🧠 激活函数：神经网络里无处不在的函数
人工智能（深度学习）的核心是神经网络，而神经元的计算就是函数的复合：输入经过加权求和再套一个"激活函数"。
$y = \sigma(w_1x_1 + w_2x_2 + \cdots + b)$，其中 $\sigma$ 是激活函数
常用的激活函数正是我们这节课学的：Sigmoid $\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$（逻辑斯蒂函数！）、ReLU $\text{ReLU}(x)=\max(0,x)$（分段函数）、tanh（双曲正切）。ChatGPT、人脸识别、语音助手都建立在千千万万个这样的函数复合之上。
🤖 AI 实例：AI 图像识别就是训练一个"输入→类别概率"的复合函数：卷积层提取特征（幂/矩阵运算）→ 激活函数引入非线性（Sigmoid/ReLU）→ 输出层给出各类别概率。函数，就是 AI 认识世界的语言。
▶ AI 短视频 · GTC 大会 · 函数与人工智能
网络公开教学资源，辅助拓展学习
1.7 拓展视频
📀 拓展视频：点播放即可观看——
▶ 视频一：智能时代 · 创新思维未来教育（MP4）
网络公开教学资源，辅助拓展学习
🧠 智能时代 · 创新思维培养
传统创新方法全景图 · 两大思维 · 六大类型
🧮 逻辑思维
科学推理型
演绎法归纳法类比法自然现象和科学原理探索法等价变换法
组合型
◇组合法◇分解法◇形态分析法◇信息交合法◇横向思考法
有序思维型
◇KJ法◇类推法◇奥斯本检核表法◇5W1H法◇和田法◇智力激励法（头脑风暴法）
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同济大学公开课：高等数学（一）· 函数与极限
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1.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉
1️⃣ 设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，$f(x)=x^2$。关于映射 $f$，下列说法正确的是？
A. $f$ 是满射（$R_f=\mathbb{R}$）
B. $f$ 是单射
C. $f$ 既非单射，又非满射
D. $f$ 是一一映射
2️⃣ $f(x)=\lg x^2$ 与 $g(x)=2\lg x$ 是否相同？为什么？
A. 相同，因为 $\lg x^2=2\lg x$
B. 不同：定义域不同（$x^2>0\Rightarrow x\ne0$，而 $x>0$）
C. 不同：值域不同
D. 相同，因为对应法则一样
3️⃣ 狄利克雷函数 $D(x)=\begin{cases}1,& x\in\mathbb{Q}\\ 0,& x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$ 是周期函数吗？
A. 不是周期函数
B. 是，以 $1$ 为最小正周期
C. 是周期函数，但没有最小正周期
D. 是，以 $\pi$ 为最小正周期
4️⃣ $y=x^3\ (x\in\mathbb{R})$ 的反函数是？
A. $y=\sqrt[3]{x}$
B. $y=\dfrac{1}{x^3}$
C. $y=\pm\sqrt{x}$
D. $y=\ln x^3$
5️⃣ 函数 $y=\ln(x+1)$ 是由哪两个函数复合而成的初等函数？
A. $u=x+1$ 与 $y=\ln u$
B. $u=\ln x$ 与 $y=u+1$
C. $y=u^2$ 与 $u=\ln(x+1)$
D. $y=\ln x$ 与 $u=x^2+1$
6️⃣ ⚡ 电工：某纯电阻负载 $R=25\Omega$ 接在电压 $U=100\mathrm{V}$ 电源上。由 $P=\frac{U^2}{R}$（电压→电流→功率的复合），该负载功率为？
A. $100\,\mathrm{W}$
B. $250\,\mathrm{W}$
C. $400\,\mathrm{W}$
D. $2500\,\mathrm{W}$
7️⃣ 🌡️ 自动化仪表：铂热电阻 $R(T)=R_0(1+\alpha T)$（$R_0=100\Omega,\ \alpha=0.00385/{}^\circ\mathrm{C}$）。用其反函数测温，测得 $R=130.8\Omega$，温度约为？
A. $40\,{}^\circ\mathrm{C}$
B. $60\,{}^\circ\mathrm{C}$
C. $80\,{}^\circ\mathrm{C}$
D. $100\,{}^\circ\mathrm{C}$
8️⃣ 🤖 自动控制：一阶系统（如 $RC$ 电路充电、电机启动）$y(t)=K(1-e^{-t/T})$。当 $t=3T$ 时输出约达到稳态的？
A. $63\%$
B. $86\%$
C. $95\%$
D. $99.9\%$
9️⃣ ⚙️ 机械传动：电机转速 $n_1=1440\,\mathrm{r/min}$，经两级齿轮减速（传动比 $i_1=3$、$i_2=4$）后输出。总减速比 $i=i_1\cdot i_2$，输出转速 $n_2=\frac{n_1}{i}=\frac{n_1}{i_1\cdot i_2}$ 为？
A. $120\,\mathrm{r/min}$
B. $360\,\mathrm{r/min}$
C. $480\,\mathrm{r/min}$
D. $1440\,\mathrm{r/min}$
🔟 🔌 电工：理想全波整流电路输出 $y=|\sin x|$（交流电压取绝对值）。$y=|\sin x|$ 的最小正周期是？
A. $\dfrac{\pi}{2}$
B. $\pi$
C. $2\pi$
D. $4\pi$
1.9 数学思维导图 · 本课小结
🧠 映射与函数知识思维导图
📘 映射与函数
第一章 · 第 1 次课
映射
- $f:X\to Y$ · 像/原像
- 单射 / 满射 / 双射
- 逆映射 $f^{-1}$
- 复合映射 $f\circ g$
函数
- 定义域 / 对应法则
- 值域 $R_f$ · 记号辨析
- 自然定义域
- 分段 / 取整 / 符号
初等函数
- 基本初等函数 5 类
- 有限次四则+复合
- 双曲函数 sh/ch/th
- 反双曲 arsh/arch/arth
反函数与复合
- 单射才可逆
- $y=f^{-1}(x)$ · 关于 $y=x$ 对称
- 复合：$y=f[g(x)]$
- 值域⊂定义域才可复合
应用与拓展
- 指数衰减：RC 电路
- S 形增长：逻辑斯蒂
- SIR 跨学科建模
- AI 激活函数
✅ 本课小结
📌
映射是"集合到集合"的对应，函数是定义在数集上的映射——三要素（定义域、对应法则、值域）决定"身份"；单射是存在逆映射的前提。
🎯
五大基本初等函数（幂/指/对/三角/反三角）是构成一切初等函数的"积木"；双曲函数 sh/ch/th 由 $e^x$ 生成，反双曲函数可用 $\ln$ 表示。
🔗
反函数与复合函数是"逆向"与"嵌套"两种思维——反函数是解方程的钥匙，复合是构造新函数的引擎（$R_g\subset D_f$ 才可复合）。
🏗️
函数在科技中无处不在：RC 电路指数衰减、S 形扩散增长、SIR 跨学科建模，甚至 AI 的激活函数，本质都是函数关系。
🚀
下节预告：数列与函数的极限——研究 $x$ 趋近某值时 $f(x)$ 的变化趋势，是微积分的基石。