普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
函数的概念及基础函数
第一章 函数与极限 · 第 1 次课
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
$f(x)$ · $\sin x$ · $e^x$ · $\ln x$ · $x^\alpha$ · $a^x$
💭 上课之前 · 请想一想
🤔
关于数学，你们想知道什么？
每个人心中都有一份好奇——它为什么无处不在？学好它有什么用？把你想知道的写下来，我们一起在高等数学中找到答案。
🧗
你在数学学习中遇见了什么样的难题？
是公式记不住、题目不会做，还是不知道学了有什么用 ？说出你的困难，我们一起想办法攻克它。
✦ 带着思考，进入今天的主题 ✦
🤔 什么是数学？
"问题是数学的心脏"——每个人眼中的数学，都是不一样的
🧮 有人说是公式与计算
📐 有人说是图形与空间
🔢 有人说是数字的游戏
🌐 还有人说是解释世界的语言
先看一段视频，听听数学家和科学家心中的数学——
▶ 视频：大咖们的数学观 · 数学家与科学家心中的数学
网络公开教学资源，辅助拓展学习
"数学家的灵魂深处，必住着一位诗人。"
—— 索菲亚·科瓦列夫斯卡娅（Sofia Kovalevskaya, 1850–1891）
"It is impossible to be a mathematician without being a poet in soul."
✨ 点击展开 · 女数学家的传奇一生 ▼
👩🎓
索菲亚·科瓦列夫斯卡娅
Sofia Kovalevskaya · 1850–1891 · 历史上最伟大的女数学家之一
📖 生平与突破
1850 年生于俄罗斯莫斯科贵族家庭，自幼对数学有天赋，童年时卧室墙壁贴的是父亲学过的微积分讲义。
当时俄国大学不招收女性，她通过假结婚 （与古生物学家科瓦列夫斯基）获得出国护照，1869 年前往德国海德堡大学旁听。
1870 年秋到柏林，大学仍不收女生，她直接找到魏尔斯特拉斯 （Weierstrass，分析学大师），魏尔斯特拉斯出了几道难题考她，发现她才华惊人，于是私下每周单独授课，持续约四年（1870–1874）。
1874 年，哥廷根大学在魏尔斯特拉斯的推荐下，免答辩、免考试授予她数学博士学位——她是历史上第一位获得数学博士学位的女性 。
🏆 主要数学成就
柯西-科瓦列夫斯卡娅定理（Cauchy-Kovalevskaya Theorem） ：偏微分方程领域的基础定理，证明了解析偏微分方程初值问题解析解的存在唯一性。这是她博士论文的核心成果，至今仍是偏微分方程教材的标准内容。
刚体旋转问题 ：1888 年，她凭借《刚体绕定点旋转的一个特殊情形》获得法国科学院博尔丁奖（Prix Bordin）。在欧拉和拉格朗日之后，她发现了第三种可积的刚体旋转情形（称为"科瓦列夫斯卡娅陀螺"），这是经典力学的重要突破。
阿贝尔积分与分析学 ：在阿贝尔积分的化简、超椭圆积分等方面有重要工作。
🎓 数学博士 历史上第一位女性数学博士（哥廷根大学，1874）
🏛️ 数学教授 欧洲历史上第一位女性数学正教授（斯德哥尔摩大学，1889；此前 1884 年起任该校讲师）
🌟 科学院院士 1889 年当选俄国圣彼得堡科学院首位女性通讯院士（数学领域）
📜 作家 自传体小说《童年的回忆》《女虚无主义者》
🌍 历史意义
她的一生打破了 19 世纪欧洲学术界对女性的多重壁垒 ——不能上大学、不能拿学位、不能当教授、不能进科学院。她用实力证明了女性在数学领域的能力，为后来的女性数学家开辟了道路。她去世时年仅 41 岁，因流感并发肺炎在斯德哥尔摩逝世。
数学，是关于模式与秩序的科学 ——它是自然科学与社会科学的共同语言 ，为各门科学提供描述规律、进行推理的工具。数学理论、数学知识、数学能力、数学方法与数学素养 ，全面提升自己。
💡 走进高等数学之前
刚才我们看到：数学是解释世界的语言。那么——为什么要学这门高等数学？ 答案就藏在这三个问题里。
🏥
一、学习高等数学的重要性
它不只是学分，更是医学的底层语言 ：药代动力学 用指数函数算给药方案、CT 影像重建 靠积分与矩阵、流行病学 用微分方程预测疫情、AI 辅助诊断 背后是无数函数的复合。数学，让"经验医学"走向"精准医学"。
🎯
二、高等数学课的教学特点
和高中数学不同，它更抽象、更严谨、更连贯 ：从"函数"出发，一路走到极限、导数、积分——环环相扣，像盖楼一样 。所以这节课的函数，就是整座微积分大厦的地基 。
🗝️
三、怎样才能学好它
诀窍有三： ①先懂"为什么" ，再记"是什么"——理解概念比背公式更重要；②动手练 ，数学是"练"会的；③用好工具 ——本课的动态图像、AI 助教、随堂练习，都是为你准备的阶梯。
✦ 带着这三个问题的答案，我们开始盖楼——从"函数"这块基石讲起 ✦
1.1 数学文化 · 函数的百年之旅
📜 函数概念的演变（数学史）
17 世纪 · 莱布尼茨（Gottfried Leibniz, 1646–1716）首次使用"function"一词描述曲线上点的变动规律；18 世纪 · 欧拉（Leonhard Euler, 1707–1783）给出记号 $f(x)$ 并定义为"解析表达式"；19 世纪 · 狄利克雷（Dirichlet）提出"任意对应关系"的现代定义；20 世纪 · 集合论使函数成为"映射"的特殊情形。
有趣的是：医学领域对函数的贡献同样重要 ——1855 年德国生理学家费克（Fick）提出"费克扩散定律"，用函数描述物质跨膜运输，成为药代动力学的数学基石！
🧮
莱布尼茨 ：微积分符号的创造者，$dy/dx$、$\int$ 都出自他手。欧拉 ：数学界的"百科全书"，一生留下 800 余部（篇）论著，$f(x)$、$e$、$\pi$、$\sin$ 等符号都由他定型。费克 ：德国医生兼生理学家，用数学函数揭开物质跨膜运输的规律。
💡 文化启示： 函数概念从"公式"到"任意对应"的演变，反映了数学从具体到抽象、从描述到刻画本质的过程——这正是医学研究需要的思维方式。
1.2 函数的概念在医学研究中，变量之间的关系 无处不在：血药浓度随时间变化、心率随运动强度变化、体温随病情变化……函数就是描述这种关系的数学工具。
📖 定义 1.1（函数）
设 $D$ 是一个非空实数集。如果按照某一确定的对应法则 $f$，对于 $D$ 中的每一个数 $x$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的函数 ，记作
$$y = f(x), \quad x \in D$$
其中 $x$ 称为自变量 ，$y$ 称为因变量 （函数值），$D$ 称为定义域 ，集合 $R_f=\{f(x)\mid x\in D\}$ 称为值域 。
函数的三要素
要素 含义 医学示例 定义域 $D$自变量 $x$ 允许取值的范围 时间 $t\ge 0$（服药后时刻） 对应法则 $f$$x$ 如何变成 $y$ 的规则 血药浓度公式 $C(t)=C_0e^{-kt}$ 值域 $R_f$函数值 $y$ 的取值范围 浓度 $C\in(0,C_0]$
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💊 医学实例： 静脉注射药物后，血药浓度随时间按指数规律衰减：$C(t)=C_0 e^{-kt}$（$C_0$ 为初始浓度，$k>0$ 为消除速率常数）。这里 $t\ge0$ 是定义域，$(0,C_0]$ 是值域——这就是一个典型的函数！
💡 注意：两个函数相同当且仅当定义域与对应法则完全相同 。例如 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 与 $g(x)=x+1$ 定义域不同（前者 $x\ne1$），故不是同一个函数。
👶 教材例证：儿科用药剂量的函数法则
设 $d$ 是成人剂量，$c$ 是未成年人剂量，$a$ 是年龄——$c$ 就是 $a$ 的函数。医学上常用的两个经验法则：
🧒 杨氏法则（Young's rule）
$c=\dfrac{ad}{a+12}$
用于按年龄估算儿童剂量 ：年龄越小，所得剂量越小，随年龄递增。
👦 柯氏法则（Cowling's rule）
$c=\dfrac{(a+1)d}{24}$
同样用于按年龄估算儿童剂量 ：当 $a=23$ 时 $c=d$，恰好等于成人剂量（已达成人剂量水平）。
🧑⚕️ 医学视角： 年龄 $a$ 是自变量（定义域 $a\ge0$），剂量 $c$ 是因变量。同一个问题可以有不同的函数模型——这正是"对应法则"的灵活之处。柯氏法则可改写为分段函数：$f(a)=\begin{cases}\frac{(a+1)d}{24}, & a\lt 23 \\ d, & a\ge 23\end{cases}$
1.3 函数的表示法与图像函数的表示方法有三种：解析法 （公式）、图像法 （曲线）、表格法 （数据）。图像法最直观——下面用动态曲线展示几种基本函数。
选择函数：
$\sin x$ 正弦
$e^x$ 指数
$\ln x$ 对数
$x^2$ 幂
逻辑斯蒂
参数：
📖 逻辑斯蒂 · 点击查看详情 ▼ 📖 收起逻辑斯蒂完整讲义 ▲ 👆 完整讲义：标准公式 / 图像特点 / 医学应用
📈 逻辑斯蒂函数 Logistic Function · S 型增长函数
自带“增长天花板” 的 S 形曲线函数——生物、医学、流行病学中应用最广泛的数学模型之一，正好匹配《医科高等数学》的定位。
① 标准数学形式
$f(x)=\dfrac{L}{1+e^{-k(x-x_0)}}$
L 曲线的上限（饱和值 · 增长天花板）
k 曲线的增长速率——上图「参数」滑块调节的就是 $k$，$k$ 越大曲线中间段越陡峭
$x_0$ 曲线中点的横坐标（增长速度最快的位置）
🤖 特别地： 当 $L=1,\ k=1,\ x_0=0$ 时，就是最经典的 Sigmoid $\sigma(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$——人工智能里最基础的激活函数，对应本课「建模与 AI」模块。
② 图像核心特点
两端平缓、中间陡峭，整体呈平滑的 S 型 曲线；
存在上下两条水平渐近线 ——数值不会无限增长，也不会无限下跌；
与 $e^x$（指数爆炸式无限增长）、$\ln x$（持续慢增长）最本质的区别：逻辑斯蒂描述的是有限资源下的增长 ——前期快速增长，接近资源上限后增速放缓，最终趋于平稳。
③ 医科高数重点讲它的原因（医学核心应用）
🦠 微生物 / 细胞增殖
细菌培养、肿瘤细胞生长：营养与空间有限时先快速繁殖、后增速放缓，最终稳定在环境容纳量 ，完全符合逻辑斯蒂曲线规律。
🩺 流行病学
传染病累计感染人数、疫苗接种覆盖率扩散，都是典型的逻辑斯蒂增长——先快后慢，最终趋近总人口上限。
💊 药物量效关系
低剂量时药效随剂量快速上升，达到阈值后进入平台期 ——再加量也不会提升疗效，反而增加毒副作用风险。
🧠 医学 AI 与建模
神经网络的 Sigmoid 激活函数、疾病风险概率预测模型，底层都是逻辑斯蒂函数。
📝 补充： “逻辑斯蒂”是英文 Logistic 的音译，也译作逻辑斯谛、罗吉斯蒂 ；因曲线形态，也常被直接叫做 S 型增长函数 。
📐 图像法
把 $(x,f(x))$ 的点连成曲线。心电图、血压波形图都是函数图像的医学应用。
📊 表格法
如体温记录表、化验单数据。优点是精确，缺点是看不出整体趋势。
🎯 函数的四种性质 （教材 · 函数的几种简单性质）
🔒 有界性
存在正数 $M$，使区间内所有 $x$ 满足 $|f(x)|\le M$，则 $f(x)$ 在该区间有界 。
例：$y=\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界；$y=\frac{1}{x}$ 在 $(0,2)$ 内无界，在 $[1,+\infty)$ 上有界。
📈 单调性
对 $x_1\lt x_2$，若恒有 $f(x_1)\lt f(x_2)$ 则单调递增 ；若恒有 $f(x_1)>f(x_2)$ 则单调递减 。
例：$y=2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增；$y=x^2$ 在 $(-\infty,0)$ 递减、$(0,+\infty)$ 递增。
🪞 奇偶性
若 $f(-x)=f(x)$ 称偶函数 （图像关于 $y$ 轴对称）；若 $f(-x)=-f(x)$ 称奇函数 （图像关于原点对称）。
例：$x^3$、$\sin x$ 是奇函数；$x^3\sin x$（奇×奇）是偶函数。
🔁 周期性
若存在正数 $T$ 使 $f(x)=f(x\pm T)$ 恒成立，$T$ 为周期 ，最小正者称最小正周期 。
例：$\sin x$、$\cos x$ 以 $2\pi$ 为周期；生物节律、心电图近似周期函数。
💡 医学启示： 四性帮我们读懂函数图像——有界性 保证剂量安全范围，单调性 描述药效随时间变化趋势，周期性 对应昼夜节律，奇偶性 简化对称系统的计算。
1.4 基本初等函数以下 6 类函数 称为基本初等函数，一切初等函数都由它们经过有限次四则运算与复合构成。
类别 表达式 定义域 医学/生活应用 常数函数 $y=C$ $(-\infty,+\infty)$ 稳态血药浓度 幂函数 $y=x^\alpha$ 视 $\alpha$ 而定 体表面积 $S=k\cdot m^{2/3}$ 指数函数 $y=a^x\ (a>0,a\ne1)$ $(-\infty,+\infty)$ 细菌增殖 $N=N_0 2^{t/T}$ 对数函数 $y=\log_a x$ $(0,+\infty)$ pH 值 $pH=-\log_{10}[H^+]$ 三角函数 $y=\sin x,\cos x,\tan x$ $\mathbb{R}$（$\tan$ 例外） 心率、呼吸节律 反三角函数 $y=\arcsin x$ 等 $[-1,1]$ 等 关节活动角度测量
👉 左右滑动查看完整表格（含医学应用） 👈
重要公式：$e^{\ln x}=x\ (x>0)$，$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$，$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
🧬 医学实例 · 细菌增长： 理想条件下细菌数量 $N(t)=N_0\cdot 2^{t/T}$（$T$ 为倍增时间）。取对数得 $\ln N = \ln N_0 + \frac{\ln 2}{T}t$——在半对数坐标纸上呈直线，这就是"对数线性化"的威力。
1.5 反函数与复合函数反函数
📖 定义 1.2（反函数）
设 $y=f(x)$ 是定义在 $D$ 上的一一对应函数，值域为 $R_f$。若对每个 $y\in R_f$，都有唯一的 $x\in D$ 使 $f(x)=y$，则由 $y$ 确定 $x$ 的对应关系称为 $f$ 的反函数 ，记作 $x=f^{-1}(y)$（习惯写作 $y=f^{-1}(x)$）。反函数与原函数的图像关于直线 $y=x$ 对称。
示例：$y=e^{0.7x}$ 与反函数 $y=\frac{1}{0.7}\ln x$ 关于 $y=x$ 对称
复合函数
📖 定义 1.3（复合函数）
设 $y=f(u)$ 的定义域包含 $u=g(x)$ 的值域，则 $y=f[g(x)]$ 称为由 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合 而成的复合函数，$u$ 称为中间变量 。
例：$y=\sin 2x$ = $y=\sin u$ 与 $u=2x$ 复合 · $y=\sqrt{1-x^2}$ = $y=\sqrt{u}$ 与 $u=1-x^2$ 复合
💡 复合函数是"套娃"：外层函数 $f$ + 内层函数 $g$。以后学链式法则求导全靠它！
🌳 教材例证：一棵树的"函数链"（例 1-6）
设侧枝数目 $B$ 是树高 $h$ 的函数 $B(h)=4h-8$；整棵树的树叶总量 $L$ 又是枝数 $B$ 的函数 $L(B)=B^2-B$。于是树叶总量 $s$ 通过 $B$ 成为 $h$ 的复合函数：
$s = L[B(h)] = (4h-8)^2 - (4h-8) = 16h^2-68h+72$
这就是复合函数 ：$h \xrightarrow{\;B=4h-8\;} B \xrightarrow{\;L=B^2-B\;} s$，$B$ 是中间变量——像流水线一样一环扣一环。
1.6 数学应用（数学建模）· 数学与 AI💊 函数模型 · 医学应用
函数是医学定量研究的语言。拖动滑块观察参数对曲线的影响。
💊 药代动力学
$C(t)=C_0e^{-kt}$ 描述药物在体内的消除过程；半衰期 $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}$ 是临床给药间隔的重要依据。
📈 逻辑斯蒂增长
$P(t)=\dfrac{L}{1+ae^{-bt}}$ 描述种群/肿瘤在有限环境下的"S 形"生长，$L$ 为环境容纳量（如肿瘤最大负荷）。
🔬 数学建模：把医学问题翻译成函数
🧪 建模案例：传染病传播的 SIR 模型
传染病建模是现代公共卫生的核心工具。设 $N=S+I+R$ 为总人口，$S(t)$ 为易感者、$I(t)$ 为感染者、$R(t)$ 为康复者数量，三者满足：
$\dfrac{dS}{dt}=-\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I,\quad \dfrac{dI}{dt}=\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I-\gamma I,\quad \dfrac{dR}{dt}=\gamma I$
这里 $\beta$（传染率）和 $\gamma$（康复率）是模型参数——建模的本质就是把医学问题写成函数关系，再求解、预测、决策 。2020 年新冠疫情期间，全世界科学家正是用这类模型预测疫情拐点、评估防控措施。
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🦠 SIR 模型 · 完整讲义
传染病传播最经典的数学模型，也是医科高等数学微分方程章节最典型的医学应用案例 ——由 Kermack 与 McKendrick 于 1927 年提出。
① 基本概念：人群分为三个仓室
符号 名称 含义 S Susceptible 易感者 尚未得病、但有可能被感染的人 I Infected 感染者 已经得病、具有传染性的人 R Recovered 康复者 病愈后获得免疫力、不再被感染的人（也包含死亡者，故称“移除者”更准确）
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🧮 总人数 $N=S+I+R$，假设封闭人群 ，总人口保持不变。
② 核心微分方程组
$\dfrac{dS}{dt}=-\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I \qquad \dfrac{dI}{dt}=\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I-\gamma\cdot I \qquad \dfrac{dR}{dt}=\gamma\cdot I$
$\beta$ 传染率——每个感染者单位时间内接触并传染易感者的概率
$\gamma$ 康复率——单位时间内感染者康复的比例，$\dfrac{1}{\gamma}$ 就是平均传染期
$\beta\cdot\dfrac{S}{N}\cdot I$ 新感染人数（质量作用定律：感染取决于易感者比例与感染者数量）
③ 关键概念：基本再生数 $R_0$
$R_0=\dfrac{\beta}{\gamma}$
$R_0 > 1$ ：传染病会爆发 ——感染人数先上升后下降（经典的峰形曲线）；$R_0 \le 1$ ：传染病不会爆发 ——感染人数单调下降并最终消失；群体免疫阈值： 当康复者比例达到 $1-\dfrac{1}{R_0}$ 时疫情自然消退。例如 $R_0=3$ 时，需要 $\dfrac{2}{3}$ 的人有免疫力才能阻断传播。
④ 模型假设与局限
假设： 人群均匀混合 · 总人口不变 · 康复后终身免疫 · 无出生/死亡/迁移 · 潜伏期忽略不计；局限（实际需要扩展）： SEIR 加入潜伏期 $E$（Exposed），更符合新冠、麻疹等SIRS 康复后免疫力消退，可再次成为易感者SEIRS 综合以上两者
🤖 数学与 AI：函数是人工智能的"细胞"
🧠 激活函数：神经网络里无处不在的函数
人工智能（深度学习）的核心是神经网络，而神经元的计算就是函数的复合 ：输入经过加权求和再套一个"激活函数"。
$y = \sigma(w_1x_1 + w_2x_2 + \cdots + b)$，其中 $\sigma$ 是激活函数
常用的激活函数正是我们这节课学的：Sigmoid $\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$（逻辑斯蒂函数！）、ReLU $\text{ReLU}(x)=\max(0,x)$（分段函数）、tanh （双曲正切）。ChatGPT、医学影像 AI 诊断都建立在千千万万个这样的函数复合之上。
🏥 医学+AI 实例： AI 辅助阅片（肺结节检测）就是训练一个"图像→概率"的复合函数：卷积层提取特征（幂/矩阵运算）→ 激活函数引入非线性（Sigmoid）→ 输出层给出患病概率。函数，就是 AI 认识世界的语言。
▶ AI 短视频 · GTC 大会 · 函数与人工智能
网络公开教学资源，辅助拓展学习
1.7 拓展视频📀 拓展视频 ：点播放即可观看——
▶ 视频一：智能时代 · 创新思维未来教育（MP4）
网络公开教学资源，辅助拓展学习
🧠 智能时代 · 创新思维培养
传统创新方法全景图 · 两大思维 · 六大类型
🧮 逻辑思维
科学推理型
演绎法 归纳法 类比法 自然现象和科学原理探索法 等价变换法
组合型
◇组合法 ◇分解法 ◇形态分析法 ◇信息交合法 ◇横向思考法
有序思维型
◇KJ法 ◇类推法 ◇奥斯本检核表法 ◇5W1H法 ◇和田法 ◇智力激励法（头脑风暴法）
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1.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉 🧮 演算台
1️⃣ 函数 $f(x)=\sqrt{x-1}$ 的定义域是？
A. $(-\infty,+\infty)$
B. $[1,+\infty)$
C. $(0,+\infty)$
D. $(-\infty,1]$
提交答案
🧮 演算台
2️⃣ $y=\sin 2x$ 可以看作哪两个函数的复合？
A. $y=\sin u$，$u=2x$
B. $y=2u$，$u=\sin x$
C. $y=\sin x$，$u=2$
D. $y=u^2$，$u=\sin x$
提交答案
🧮 演算台
3️⃣ 血药浓度模型 $C(t)=C_0e^{-kt}$ 中，当 $t\to+\infty$ 时 $C(t)\to$？
A. $C_0$
B. $+\infty$
C. $0$
D. $k$
提交答案
🧮 演算台
4️⃣ 下列哪个是指数函数 ？
A. $y=x^3$
B. $y=3^x$
C. $y=\log_3 x$
D. $y=\sin 3x$
提交答案
🧮 演算台
5️⃣ 体温随时间变化的记录曲线，用函数观点看属于函数的哪种表示法？
A. 解析法
B. 图像法
C. 表格法
D. 复合函数
提交答案
1.9 数学思维导图 · 本课小结🧠 函数知识思维导图
📘 函数的概念及
概念与三要素
定义域 D 对应法则 f 值域 $R_f$ 函数相等条件 基本初等函数
常数 / 幂函数 指数 / 对数 三角 / 反三角 医学应用举例 反函数与复合
反函数对称性 $y=f^{-1}(x)$ 复合：$y=f[g(x)]$ 链式结构
✅ 本课小结
📌
函数是变量关系的数学刻画 ——三要素（定义域、对应法则、值域）是判断函数身份的"身份证"。
🎯
六大基本初等函数 是构成一切初等函数的"积木"，它们的图像与性质必须烂熟于心。
🔗
反函数与复合函数 是"逆向"与"嵌套"两种思维——反函数是求解的钥匙，复合是构造的引擎。
🏥
函数在医学中无处不在 ：药代动力学、细菌增长、传染病建模，甚至 AI 诊断，本质都是函数的应用。
🚀
下节预告 ：函数的极限——研究 $x$ 趋近某值时 $f(x)$ 的变化趋势，是微积分的基石。