普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
导数的概念及几何意义
第二章 导数与微分 · 第 4 次课
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
高等数学 C · 授课对象：医学生 · 2 学时
$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ · 割线的极限位置是切线 · 左导数与右导数 · 可导必连续 · 连续不一定可导 · 分段函数在分界点必须用定义求导
💭 上课之前 · 请想一想
🚗
汽车速度表上那个数字，是怎么算出来的？
平均速度好算：路程除以时间。可速度表显示的是某一瞬间的速度——那一刻时间间隔是 0，路程也是 0，两个 0 相除没有意义。那它凭什么能显示一个确定的数？
💊
血药浓度曲线上，某一时刻"下降得有多快"怎么刻画？
我们当然可以说"从第 1 小时到第 3 小时平均每小时降了多少"，可这是一段时间的平均。临床更关心的是此刻的变化速率——而这正是同一个问题：如何算出"某一瞬间"的变化快慢。
✦ 让分母趋于零——微积分最关键的一步 ✦
🤔 怎么算"某一瞬间"的变化快慢？
平均变化率是"一段路上的事"，瞬时变化率是"一点上的事"；把区间压到无穷小，比值却仍要有确定的极限
✏️平均变化率：函数的增量比自变量的增量，即差商
🎯瞬时变化率：让自变量增量趋于 0 取极限，这就是导数
📐几何上：差商是割线斜率，它的极限是切线斜率
🔗可导必连续，连续不一定可导；分段函数在分界点要用定义
先看一段动态演示：固定切点 $P$，拖动自变量的增量 $\Delta x$，观察割线 $PQ$ 绕着 $P$ 转动。当 $\Delta x$ 越来越小，割线就越来越接近那条唯一的切线。
"瞬时"看起来是一个无法计算的词：
要算变化率就得除以时间，可一瞬间的时间长度是零。
—— 解决办法不是让时间真的等于零，而是让它趋于零
🧭
牛顿与莱布尼茨：两条路走上同一座山
17 世纪后半叶 · 他们各自独立地建立起微积分的基本方法
一个从运动出发，一个从图形出发，最后落在同一个对象上
📖 两条不同的入口
牛顿的道路来自运动学。他关心的是"一个量怎样随时间变化"：位置在变、速度在变、速度本身也在变。为了描述这种变化，他引入了一类新的量——流数（fluxion），也就是我们今天所说的变化率。在他的框架里，自变量是"流动"的，而流数描述的是流动的快慢。
莱布尼茨的道路来自几何。他关心的是"曲线在一点的切线怎么求"：给定一条曲线，怎么作出它在某一点的切线？他发展出一套处理无穷小增量的记号系统，把切线斜率写成两个无穷小量之比。今天我们在课本上写的 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，正是沿着他这套记号的传统。
🏃 运动学入口从"位置随时间变化"出发，研究变化的快慢，得到瞬时速度
📐 几何入口从"曲线在一点的切线"出发，研究割线的极限位置，得到切线斜率
🧩 殊途同归瞬时速度与切线斜率在数学上是同一个极限——差商的极限
🔤 记号传承导数记号 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 与"微分"这个词，都来自几何这条路线
🌍 一次观念上的转变：从"平均"到"瞬时"
在这之前，人们并非不会算变化。路程除以时间就是平均速度，这个算法古老而可靠。但它有一个绕不过去的局限：它描述的永远是一段时间里的平均效果，而不是某一时刻的真实状态。一段路上的平均速度，可能掩盖了路上的加速与减速；一段时间内的平均浓度变化，可能掩盖了浓度曲线的先升后降。
真正的困难在于：要让"平均"变成"瞬时"，就必须让时间间隔趋于零，可这样一来分子分母同时趋于零，比值反而失去了意义。微积分的关键一步，就是不去追问"零除以零等于多少"，而是去追问"当间隔趋于零时，这个比值趋于谁"——把问题从"算一个数"改造成"求一个极限"。这一步一旦迈出，瞬时速度、切线斜率、变化率这三个看似无关的问题就统一成了一个。
上一课我们用极限描述"函数值趋向谁"；这一课换一个对象：用极限描述"函数值变化得有多快"。
同一个工具，换一个观察角度，就得到了整个微分学的起点。
💡 学这一课之前
上一课我们讲清了函数的连续性：$f$ 在 $x_0$ 连续，就是 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，图像不断开。但"不断开"只说明曲线没有被挖去、没有跳跃，它完全没有告诉我们曲线陡不陡。今天要在这条曲线上加一个全新的问题：它在某一点上，沿什么方向、以多大的陡度前进？
🔗
一、从"极限等于函数值"到"差商的极限"
上一课的极限比较的是 $f(x)$ 与 $f(x_0)$ 本身。这一课比较的是两个增量之比：$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$。这个比值的几何意义是割线斜率，它的极限就是切线斜率。注意：分母 $\Delta x$ 在极限过程中始终不等于 0，只是趋于 0——这正是上一课"极限只看趋近过程"的思想的直接应用。
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二、为什么医学生必须学它
生理量几乎都在变化，而临床上关心的往往不是"变了多少"，而是"变得多快"：血药浓度下降得多快、指标恶化得多快、剂量增加一点效应会变化多少。这些问题的数学形式完全一致——都是某个量对另一个量的导数。学会算导数，就拿到了"变化速率"的语言。
🎯
三、本课的四条主线
①定义：差商极限存在且有限，两种写法等价；②几何：割线的极限位置是切线，切线方程与法线方程；③关系：可导必连续，连续不一定可导（要会证明、会举反例）；④计算：分段函数在分界点处必须用定义求左右导数，相等才可导。
✦ 上一课问"有没有接上"，这一课问"以多快的速度在走" ✦
4.1 从平均变化率到瞬时变化率
导数这个概念并不是凭空造出来的，它是从一个非常朴素的问题里长出来的：一个量变化得快不快，怎么用数说清楚？
✏️ 第一步：把"变化了多少"写成一个比
设函数 $y=f(x)$，自变量从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$（$\Delta x$ 是一个非零的增量，可正可负）。函数值相应地发生变化，我们把这个变化量记作 $\Delta y$：
$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$
函数值的变化量 $\Delta y$ 与自变量的变化量 $\Delta x$ 之比，刻画的正是"自变量每变化一个单位，函数值平均变化多少"，我们称它为函数在区间 $[x_0,\,x_0+\Delta x]$（或 $[x_0+\Delta x,\,x_0]$）上的平均变化率：
$$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
这个比值在数学里有一个专门的名字，叫做差商。请记住这个名字——本课后面所有内容都围着它转。
📊 同一个比，三种读法
| 观察角度 | $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 的含义 | 典型问法 |
|---|
| 几何 | 曲线 $y=f(x)$ 上两点连线的割线斜率 | 这条弦有多陡？ |
| 运动学 | 一段时间内的平均速度 | 这段路上平均每小时走多远？ |
| 医学 | 一段时间内生理量的平均变化速率 | 这两个小时里浓度平均每小时降多少？ |
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💡 三种读法说的是一件事：用一个比值来衡量"变化有多快"。正因为它是同一个数学对象，后面我们才能用一句"导数是切线斜率"，同时解释瞬时速度和浓度的瞬时变化速率。
🔍 第二步：把"平均"推向"瞬时"
平均变化率有一个绕不过去的毛病：它依赖于 $\Delta x$ 取多大。取不同的区间长度，得到的平均变化率可能完全不同。要刻画"在 $x_0$ 这一点上"的变化快慢，就只能让 $\Delta x$ 越来越小。
但 $\Delta x$ 不能直接取 0——一旦取 0，分子分母同时为 0，比值失去意义。所以正确的做法是：不许 $\Delta x$ 等于 0，只让它趋于 0，然后考察差商趋于哪个数。以 $f(x)=x^2$ 在 $x_0=1$ 处为例，把 $\Delta x$ 逐次取得更小：
| $\Delta x$ | 1 | 0.5 | 0.1 | 0.01 | 0.001 | → 0 |
|---|
| $\Delta y$ | 3 | 1.25 | 0.21 | 0.0201 | 0.002001 | → 0 |
|---|
| $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ | 3 | 2.5 | 2.1 | 2.01 | 2.001 | → 2 |
|---|
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注意最后一行：分子、分母都在趋于 0，可它们的比值却在稳定地趋于 2。这不是"看出来的"，而是可以算出来的：
$$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{(1+\Delta x)^2-1^2}{\Delta x}=\dfrac{2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=2+\Delta x\ \xrightarrow{\ \Delta x\to0\ }\ 2$$
约分这一步是关键：只要 $\Delta x\neq0$，就可以把 $\Delta x$ 约掉；约掉之后剩下的式子 $2+\Delta x$ 是连续的，令 $\Delta x\to0$ 直接得到 2。整个计算过程中，$\Delta x$ 从来没有等于 0，只是在无限靠近 0。
🎯 这就是"瞬时变化率"的数学化：它不是"在一瞬间算出来的比值"，而是"当考察的区间长度趋于零时，差商所趋向的那个数"。物理上叫瞬时速度，几何上叫切线斜率，医学上叫瞬时变化速率——它们都是同一个极限。
⚠️ 三个必须说清的细节
1️⃣ 增量可以为负
$\Delta x$ 可正可负，只要不为 0。$\Delta x\gt0$ 表示从 $x_0$ 向右走，$\Delta x\lt0$ 表示向左走。极限要两侧都对，才叫"极限存在"。
2️⃣ 差商是"整体"的量
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 是一个比，不能把 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 拆开各自取极限——那样得到的是 $0/0$，毫无意义。必须先化简再求极限。
3️⃣ 极限必须存在且有限
如果差商随着 $\Delta x\to0$ 奔向无穷，或者来回摆动不收敛，那么"瞬时变化率"这个数就不存在。这一点下一节会作为可导的必要条件正式提出。
📐 与上一课的联系
这里求的极限和上一课的极限是同一套工具：夹逼、四则运算、等价无穷小都能用。区别只在于被求极限的对象换成了差商。
4.2 导数的定义 · 本课的地基
上一节我们做了很多次"差商取极限"的事。现在把它固定成一个定义，并为它取一个名字：导数。
✏️ 定义（增量形式）
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。给自变量一个增量 $\Delta x\neq0$，函数相应的增量为 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。如果差商的极限存在且有限，即极限 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在（是一个确定的有限数），就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导（或可微），并把这个极限值称为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$：
$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
换几个同样常见的记号：$y'|_{x=x_0}$、$\left.\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$。它们指的都是同一个数。
🔗 定义的第二种写法（与第一种是同一个东西）
把自变量的变化记成 $x=x_0+\Delta x$。当 $\Delta x\to0$ 时，$x\to x_0$；反过来，当 $x\to x_0$ 时，$\Delta x=x-x_0\to0$。同时 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(x)-f(x_0)$。把这些代进定义式，就得到
$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
🎯 两种写法必须一起记：它们不是两个定义，而是同一个极限在不同换元下的样子。增量形式突出"自变量改变了多少"，$x\to x_0$ 形式突出"两个点靠得多近"。做题时哪种方便就用哪种——已经知道函数在 $x_0$ 处的值时用后者常常更省事，需要展开表达式时用前者更顺手。
🧩 换元的两处对应
$\Delta x\ \longleftrightarrow\ x-x_0$；$\Delta y\ \longleftrightarrow\ f(x)-f(x_0)$。分母也跟着换：$\Delta x$ 变成 $x-x_0$，一分不少。
⚠️ 常见的写法错误
写成 $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x_0-x}$（分母顺序颠倒）会得到导数的相反数，必须保持"新的减旧的"这个顺序一致。
⭐ 可导的必要条件：差商极限存在且有限
定义里的"存在且有限"四个字不能省。若差商在 $\Delta x\to0$ 时奔向 $+\infty$ 或 $-\infty$，我们就说导数不存在（有时也说"导数为无穷大"），此时函数在这点不算可导。
🔬 例子：$y=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处
$f(0)=0$，差商为 $\dfrac{\sqrt[3]{0+\Delta x}-0}{\Delta x}=\dfrac{\sqrt[3]{\Delta x}}{\Delta x}=\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{\Delta x}\right)^{2}}$。当 $\Delta x\to0$（且 $\Delta x\neq0$）时，分母趋于 0 而恒为正，所以差商趋于 $+\infty$。极限不是有限数，故在 $x=0$ 处不可导。几何上，曲线在该点的切线是竖直的直线 $x=0$。
📐 几何上的一句话
可导 $\iff$ 曲线在该点有一条不竖直的切线。竖直切线的斜率不是数，所以那一点不算可导。
🧭 左导数与右导数
差商极限是一个双侧极限，它存在要求左右两侧都收敛到同一个数。把两侧分开写，就得到左导数与右导数：
$$f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x\to0^-}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},\qquad f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x\to0^+}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
由极限存在的充要条件（上节课讲过的"左右极限存在且相等"）立刻得到：
$$f\ \text{在}\ x_0\ \text{可导}\iff f'_-(x_0)\ \text{与}\ f'_+(x_0)\ \text{都存在且相等},\quad \text{此时}\ f'(x_0)=f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$$
⚠️ 这一条是本课最常用的判据。遇到带绝对值、带分段、带尖角的函数，第一反应就应该是"分别算左右导数，看它们相不相等"。只要有一侧不存在，或者两侧存在但不相等，就立刻可以断定：该点不可导。
🔤 导函数：把 $x_0$ 换成 $x$
如果函数 $f(x)$ 在开区间 $I$ 内的每一点都可导，那么对 $I$ 内的每一个 $x$，都有一个确定的导数与之对应。于是我们得到了一个新的函数，称为 $f(x)$ 的导函数，记作 $f'(x)$。常见的几种记号是等价的：
$$f'(x),\qquad y',\qquad \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\qquad \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$$
💡 请务必分清两个层次：$f'(x_0)$ 是一个数——曲线在 $x_0$ 处切线的斜率；$f'(x)$ 是一个函数——它给出每一个位置上的切线斜率。关系是：把 $x_0$ 代入 $f'(x)$，就得到 $f'(x_0)$。做题时要看清题目问的是"某点的导数"还是"导函数"。
① 用定义求导数的三个标准动作
动作一：算增量。写出 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，并且尽量把它化到最简（能提取公因式 $\Delta x$ 的一定要提取）。
动作二：写差商。用 $\Delta y$ 除以 $\Delta x$，此时分母 $\Delta x$ 非零，可以放心约分。约分的目的就是把分母里那个趋零的因子消掉，让剩下的式子变成可以代入的普通表达式。
动作三：取极限。令 $\Delta x\to0$，求出剩下的式子趋向的那个数。若该数存在且有限，它就是导数；若它趋于无穷或不存在，则导数不存在。
用 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $x=1$ 处练一遍：$\Delta y=\dfrac{1}{1+\Delta x}-1=\dfrac{1-(1+\Delta x)}{1+\Delta x}=\dfrac{-\Delta x}{1+\Delta x}$，差商为 $\dfrac{-\Delta x}{1+\Delta x}\cdot\dfrac{1}{\Delta x}=\dfrac{-1}{1+\Delta x}$，令 $\Delta x\to0$ 得 $f'(1)=-1$。全过程只用到了定义，没有用到任何求导公式。
② 为什么两种写法是同一个东西
把 $\Delta x$ 换成 $x-x_0$ 是一次纯粹的变量代换，不涉及任何新思想。做代换时三个地方要同时换：自变量增量换成 $x-x_0$；函数增量换成 $f(x)-f(x_0)$；极限过程 $\Delta x\to0$ 换成 $x\to x_0$。三处都换对，两个式子就完全等价。反过来，从 $x\to x_0$ 形式出发，令 $\Delta x=x-x_0$，也能回到增量形式。所以：它们是一个定义，两种记法。
③ 四个常见错误
错误一：把 $\Delta x$ 当成 0 代入。差商在 $\Delta x=0$ 处根本没有定义，整个极限过程都建立在"$\Delta x\neq0$"之上。必须先约分再取极限。
错误二：把 $f'(x_0)$ 与 $f(x_0)$ 混为一谈。$f(x_0)$ 是函数值（曲线上的高度），$f'(x_0)$ 是切线斜率（曲线的陡度）。它们在含义、量纲、数值上都不同。
错误三：只算一侧就下结论。差商极限是双侧极限。只算 $\Delta x\to0^+$ 得到的只是右导数，它存在并不保证导数存在。
错误四：忽略"有限"二字。差商趋于无穷时极限不存在（不是"存在且为无穷"），那一点就是不可导的。
④ 一个容易忽略的事实：可导不一定"处处可导"
说一个函数"可导"，通常指的是在某个区间上每一点都可导。同一个函数完全可能在这里可导、在那里不可导。最典型的例子就是 $y=|x|$：它在 $x\neq0$ 的每一点都可导，偏偏在 $x=0$ 处不可导。所以讨论可导性时，一定要指明在哪一点。
4.3 导数的几何意义 · 割线的极限位置是切线
导数是一个数，但这个数在图上有一个非常直观的身份：它是曲线在某一点处切线的斜率。这一节要把这件事说清楚——包括"切线到底是什么"。
📐 从割线到切线
在曲线 $y=f(x)$ 上取两点：$P(x_0,\,f(x_0))$ 与 $Q(x_0+\Delta x,\,f(x_0+\Delta x))$。连接这两点的直线叫做曲线的割线。由两点式，割线 $PQ$ 的斜率为
$$k_{PQ}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{(x_0+\Delta x)-x_0}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
也就是说，差商就是割线的斜率——这是"平均变化率"在几何上的样子。
现在让 $\Delta x\to0$。此时 $Q$ 点沿着曲线不断向 $P$ 点靠拢，割线 $PQ$ 绕点 $P$ 转动。如果这些割线有一个确定的极限位置，我们就把这条极限位置的直线定义为曲线在点 $P$ 处的切线。于是切线的斜率就是
$$k=f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$
🎯 关键理解：切线不是"与曲线只交于一点的直线"。那种说法在圆上碰巧对，但对一般曲线是错的（例如 $y=\sin x$ 的切线可以和曲线交于很多点）。切线的正确定义正是上面这句：割线的极限位置。这也解释了为什么导数存在就等价于"有一条不竖直的切线"。
📈 动态演示：切线方程与法线方程
下图画出曲线 $y=x^2$ 与它在点 $(x_0,\,x_0^2)$ 处的切线（金色）和法线（青色）。拖动滑块移动切点，观察两条直线怎样随切点一起变化。
✏️ 切线方程与法线方程
已知切点 $(x_0,\,f(x_0))$ 与斜率 $f'(x_0)$，由点斜式立刻写出切线方程：
$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$
过切点且与切线垂直的直线叫做曲线在该点的法线。两条互相垂直的直线，斜率之积为 $-1$，所以当 $f'(x_0)\neq0$ 时，法线斜率为 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$，法线方程为
$$y-f(x_0)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\qquad(f'(x_0)\neq0)$$
⚠️ 三种特殊情形要单独处理：
① 若 $f'(x_0)=0$，切线是水平线 $y=f(x_0)$，此时法线是竖直线 $x=x_0$——法线斜率不存在，不能写成 $-\dfrac{1}{0}$。
② 若 $f$ 在 $x_0$ 不可导但两侧差商都趋于无穷（如 $y=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$），曲线有一条竖直切线 $x=x_0$，此时切线方程不能用点斜式写，但可以写成 $x=x_0$。
③ 若 $f$ 在 $x_0$ 不可导且不是竖直切线（如 $y=|x|$ 在 $x=0$），则该点没有切线。
👶 两个例题（都用定义算出斜率）
例 1：曲线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处
用定义求 $f'(1)$：$\dfrac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=2+\Delta x\to2$，故 $f'(1)=2$。切线：$y-1=2(x-1)$，即 $y=2x-1$。法线斜率 $-\dfrac{1}{2}$，法线：$y-1=-\dfrac{1}{2}(x-1)$，即 $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$。
例 2：曲线 $y=\dfrac{1}{x}$ 在点 $(1,1)$ 处
差商为 $\dfrac{1}{1+\Delta x}-1$ 除以 $\Delta x$，化简得 $\dfrac{-1}{1+\Delta x}$，令 $\Delta x\to0$ 得 $f'(1)=-1$。切线：$y-1=-(x-1)$，即 $y=-x+2$。法线斜率为 $1$，法线：$y-1=x-1$，即 $y=x$。
🔍 从例 1 与例 2 能看出什么
例 1 的切线斜率是正的（2），曲线在该点正在上升；例 2 的切线斜率是负的（$-1$），曲线在该点正在下降。这不是巧合——导数的符号就是曲线升降的方向：$f'(x_0)\gt0$ 表示在 $x_0$ 附近曲线随 $x$ 增大而上升，$f'(x_0)\lt0$ 表示下降，$f'(x_0)=0$ 表示在该点切线水平。这个结论将在第 9 次课"导数的应用"里展开成完整的单调性判别法。
4.4 可导与连续的关系 · 本课重点
上一课我们说连续的曲线"不断开"。这一课问一个更细的问题：不断开的曲线，是不是一定"光滑"？答案是否定的，而这正是本课最容易被含糊过去的地方。
⭐ 定理：可导必连续
如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，那么 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处一定连续。
证明：我们要证 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，也就是 $\lim\limits_{x\to x_0}\bigl[f(x)-f(x_0)\bigr]=0$。当 $x\neq x_0$ 时，可以凑出一个差商：
$$f(x)-f(x_0)=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot(x-x_0)$$
这个等式只是把同一个量"乘了又除"，对 $x\neq x_0$ 恒成立。现在让 $x\to x_0$，看右边两个因子各自的极限：
第一个因子 $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，按导数的第二种写法，它的极限正是 $f'(x_0)$，由可导性它是一个确定的有限数；第二个因子 $x-x_0\to0$。于是由极限的乘法法则：
$$\lim_{x\to x_0}\bigl[f(x)-f(x_0)\bigr]=f'(x_0)\cdot0=0$$
即 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，按连续的定义，$f$ 在 $x_0$ 处连续。证毕。
🎯 证明里最关键的一步是"有限的数乘 0 等于 0"。这正好用上了定义中"差商极限存在且有限"这个要求。如果差商趋于无穷，$f'(x_0)$ 就不是一个有限数，这一步推理便无从谈起——这也从反面说明了"有限"二字为什么不能省。
🚫 逆命题不成立：连续不一定可导
反过来的命题是假的。下面两个反例都很有名，请务必记住第一个。
📈 动态演示：$y=|x|$ 在原点处的左右导数
下图画出 $y=|x|$ 与从原点出发到点 $(h,|h|)$ 的割线。拖动滑块改变 $h$，注意无论 $h$ 取多小，左右两条割线的斜率分别锁定在 $-1$ 与 $1$，永远不可能相等。
🔬 反例一：$y=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导
先看连续：$f(0)=0$，且 $\lim\limits_{x\to0}|x|=0$，极限值等于函数值，所以它在 $x=0$ 处连续。
再看可导：用定义算两个单侧差商。当 $\Delta x\lt0$ 时 $|\Delta x|=-\Delta x$，所以 $\dfrac{|\Delta x|-0}{\Delta x}=\dfrac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$，即 $f'_-(0)=-1$；当 $\Delta x\gt0$ 时 $|\Delta x|=\Delta x$，所以 $\dfrac{\Delta x}{\Delta x}=1$，即 $f'_+(0)=1$。
左右导数都存在，但 $-1\neq1$，两者不相等，故 $f'(0)$ 不存在。几何上，曲线在原点有一个"尖角"，从左边以斜率 $-1$ 到达原点，从右边以斜率 $1$ 离开，没有任何一条直线能成为它的切线。
🔬 反例二（补充）：$y=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处连续，但差商趋于无穷
$\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处有定义且极限为 0，故连续。但差商 $\dfrac{\sqrt[3]{\Delta x}}{\Delta x}=\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{\Delta x}\right)^{2}}\to+\infty$（$\Delta x\to0$，两侧都趋于 $+\infty$，因为分母恒为正）。左右导数都不是有限数，所以不可导。它与 $|x|$ 的"不可导"方式不同：这里曲线没有尖角，而是有一条竖直切线 $x=0$。
🔬 反例三（了解）：$y=x\sin\dfrac{1}{x}$（$x\neq0$），$f(0)=0$
因为 $\left|x\sin\dfrac{1}{x}\right|\le|x|\to0$，所以它在 $x=0$ 处连续。但差商 $\dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\sin\dfrac{1}{\Delta x}$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间无限振荡，不趋向任何数，极限不存在，故不可导。这说明不可导的第三种方式：差商振荡，连单侧极限都没有。
🧾 三种"不可导"的方式
| 类型 | 差商的表现 | 典型例子 | 几何图像 |
|---|
| 尖角型 | 左右导数都存在，但不相等 | $y=|x|$ 在 $x=0$ | 尖角，无切线 |
| 竖直切线型 | 左右差商都趋于无穷 | $y=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ | 切线竖直 |
| 振荡型 | 差商无限振荡，极限不存在 | $y=x\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ | 无限密集的摆动 |
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① 把证明再拆细一点：为什么"乘了又除"是合法的
关键等式 $f(x)-f(x_0)=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot(x-x_0)$ 对一切 $x\neq x_0$ 成立，理由仅仅是 $\dfrac{x-x_0}{x-x_0}=1$。$x=x_0$ 那一点不在考虑范围内——而求极限恰恰只关心去心邻域，所以这个改写完全合法。这也提示我们：证明连续性时用到的是"去心邻域内函数的行为"，而结论却落在 $x_0$ 这一点本身，这正是极限能把"远处"与"此处"连起来的体现。
② 为什么"有限"二字不能少：一个反面例子
如果差商趋于无穷，上面那步推理就失效了。这不是文字游戏，确实存在这样的函数。取 $f(x)=\dfrac{1}{x}$（$x\neq0$），再补充定义 $f(0)=0$。此时在 $x=0$ 处差商为 $\dfrac{\frac{1}{\Delta x}-0}{\Delta x}=\dfrac{1}{(\Delta x)^{2}}\to+\infty$，差商"趋于无穷"；而这个函数在 $x=0$ 处并不连续（$x\to0$ 时函数值奔向无穷，极限不是 0）。可见"差商趋于无穷"绝不蕴含连续。所以定义里必须写"极限存在且有限"——只有这样，"可导"才是一个足够强的条件，才能推出连续。
③ $y=|x|$ 的完整计算（考试怎么写）
第一步，连续性：$|x|\to0=f(0)$，故连续。第二步，左导数：$f'_-(0)=\lim\limits_{\Delta x\to0^-}\dfrac{|\Delta x|}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^-}\dfrac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$。第三步，右导数：$f'_+(0)=\lim\limits_{\Delta x\to0^+}\dfrac{|\Delta x|}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^+}\dfrac{\Delta x}{\Delta x}=1$。第四步，比较：$-1\neq1$，左右导数不相等，故 $f'(0)$ 不存在。结论写在最后一行，中间每一步都要有依据。
顺便说一个易错点：$|x|$ 在 $x\neq0$ 处的导数是 $\operatorname{sgn}x$（$x\gt0$ 时为 1，$x\lt0$ 时为 $-1$）。有人直接把 $\operatorname{sgn}x$ 在 $x=0$ 处取值来当 $f'(0)$，这是错的——那个公式只在 $x\neq0$ 时成立。
④ 两个"不能反过来说"的命题
"可导必连续"的逆否命题是"不连续必不可导"——这条也是对的，而且非常有用：看到函数在某点不连续，不必去算差商，直接断定不可导。这正是第 4.5 节分段函数求导的第一步。
但"连续必可导"是错的，反例就是 $y=|x|$。同样地，"不连续"与"不可导"也不是一回事：不连续一定不可导，可导一定连续，其余三种组合都有可能（连续但不可导、既不连续也不可导……）。用集合的语言说：可导函数类真包含于连续函数类之中。
⑤ 一张判断流程图
判断 $f$ 在 $x_0$ 处是否可导，照这个顺序走：第一步，$f$ 在 $x_0$ 处连续吗？不连续 ⟹ 不可导，结束。第二步，连续的话，分别用定义算出 $f'_-(x_0)$ 与 $f'_+(x_0)$。第三步，两者都存在且相等 ⟹ 可导，导数为该公共值；否则不可导。注意第一步只是"必要条件"，通过它并不能证明可导。
4.5 分段函数在分界点处的导数 · 必须用定义
药代动力学里的许多模型是分段的：给药阶段一个表达式，停药阶段另一个表达式；按体重分档给药、按阈值切换方案，也都是分段的。这类函数最需要小心的地方，就是两个表达式接缝处的那一点。
⚠️ 为什么分界点处不能直接用求导公式
分段函数的每一个分支，通常只在它自己的区间内部有效。而分界点 $x_0$ 往往并不落在任何一个分支的开区间内部：它要么是某个分支的端点，要么两侧各属一个分支。用左侧式子算出来的导数公式，只保证在对 $x\lt x_0$ 成立；用右侧式子算出来的，只保证对 $x\gt x_0$ 成立。两者在 $x_0$ 这一点上都没有被定义，谁也不能代表 $f'(x_0)$。
🎯 唯一的正确做法就是回到定义。在 $x_0$ 处写出差商 $\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$，注意 $\Delta x\lt0$ 时 $x_0+\Delta x$ 落在左侧，用左侧表达式；$\Delta x\gt0$ 时落在右侧，用右侧表达式。于是分别得到左导数与右导数，再比较它们是否相等。
🧭 分段函数求导的四步法
| 步骤 | 做什么 | 依据 / 提醒 |
|---|
| 第一步 | 先检验 $f$ 在 $x_0$ 处是否连续 | 由"可导必连续"，不连续就直接判不可导，省去后面所有计算。连续是必要前提，通过了也只是"有可能可导"。 |
| 第二步 | 用定义算左导数 $f'_-(x_0)$ | 取 $\Delta x\lt0$，用左侧分支的表达式代入 |
| 第三步 | 用定义算右导数 $f'_+(x_0)$ | 取 $\Delta x\gt0$，用右侧分支的表达式代入 |
| 第四步 | 比较两侧：都存在且相等才可导 | 相等时 $f'(x_0)$ 就是这个公共值；否则不可导 |
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⭐ 完整例题：$f(x)=x^2\sin\dfrac{1}{x}$（$x\neq0$），$f(0)=0$
这个函数在 $x=0$ 附近振荡得非常剧烈，图像看不出任何"光滑"的样子。但我们要用定义严格判断它在 $x=0$ 处到底可不可导。
第一步：先看连续性。对 $x\neq0$，有
$$|f(x)-f(0)|=\left|x^2\sin\dfrac{1}{x}\right|=x^2\left|\sin\dfrac{1}{x}\right|\le x^2$$
而 $x^2\to0$（$x\to0$），由夹逼准则得 $\lim\limits_{x\to0}\bigl[f(x)-f(0)\bigr]=0$，即 $\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)=0$。所以 $f$ 在 $x=0$ 处连续——可导的必要条件满足，可以继续往下算。
第二步：用定义写出 $x=0$ 处的差商。这里 $f(0)=0$，所以
$$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\dfrac{(\Delta x)^2\sin\dfrac{1}{\Delta x}}{\Delta x}=\Delta x\sin\dfrac{1}{\Delta x}\qquad(\Delta x\neq0)$$
第三步：用夹逼准则求极限。因为 $\left|\sin\dfrac{1}{\Delta x}\right|\le1$，所以
$$\left|\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right|=\left|\Delta x\sin\dfrac{1}{\Delta x}\right|\le|\Delta x|$$
当 $\Delta x\to0$ 时 $|\Delta x|\to0$，由夹逼准则，$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to0$。这个极限存在且有限，并且左右两侧都成立（$\Delta x$ 可正可负，结论一样）。
第四步：下结论。所以 $f$ 在 $x=0$ 处可导，且
$$f'(0)=0$$
💡 这个例子说明了两件事：① 函数在某点"看起来很不光滑"，完全可能在这一点可导——所以判断可导性必须靠定义计算，不能靠看图；② 求 $f'(0)$ 时利用的是 $f(0)=0$ 这个特殊值以及 $x^2$ 提供的"压住振荡"的因子，与 $f$ 在 $x\neq0$ 时的求导公式毫无关系。
📐 几何上
因为 $f'(0)=0$，曲线在原点处的切线是水平直线 $y=0$。曲线在原点附近虽然剧烈振荡，但振幅被 $x^2$ 压住，最终以水平方向"贴"到原点上。
🔎 一个值得知道的延伸
当 $x\neq0$ 时按乘积法则可以算出 $f'(x)=2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}$。当 $x\to0$ 时第一项趋于 0，而第二项 $\cos\dfrac{1}{x}$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间振荡，所以 $f'(x)$ 在 $x\to0$ 时没有极限。于是：$f$ 在 0 处可导，但导函数 $f'$ 在 0 处不连续——可见"可导"并不保证导函数连续。这一条属于拓展，知道结论即可。
📈 动态演示：$x^2\sin\dfrac{1}{x}$ 在原点处的差商被"夹住"
下图画出上面这个例题的曲线（已被垂直压缩以便观察振荡），并画出 $y=|x|$ 与 $y=-|x|$ 两条虚线构成的夹逼带。拖动滑块改变 $\Delta x$，观察从原点到 $(\Delta x,\,f(\Delta x))$ 的割线斜率怎样被压在 $\pm|\Delta x|$ 之内。
📈 动态演示：左右导数不等的分段函数
取 $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le 0\\ x, & x\gt0\end{cases}$。它在 $x=0$ 处连续，但左右两侧的差商分别趋于不同的数。下图画出该函数与从原点出发的两条单侧割线。
🧮 这个分段函数的完整计算
连续性：$\lim\limits_{x\to0^-}x^2=0$，$\lim\limits_{x\to0^+}x=0$，且 $f(0)=0$，三者相等，故连续。
左导数：$\Delta x\lt0$ 时 $f(\Delta x)=(\Delta x)^2$，差商为 $\dfrac{(\Delta x)^2-0}{\Delta x}=\Delta x\to0$，故 $f'_-(0)=0$。
右导数：$\Delta x\gt0$ 时 $f(\Delta x)=\Delta x$，差商为 $\dfrac{\Delta x-0}{\Delta x}=1\to1$，故 $f'_+(0)=1$。
比较：$0\neq1$，左右导数不相等，故 $f'(0)$ 不存在。几何上，曲线从左边以水平切线到达原点，从右边以斜率 1 的直线离开，原点是一个"角点"。
① 四步法逐条落实（以例题为例）
第一步判连续。把 $x_0$ 处的左极限、右极限、函数值三个数都算出来，三者相等才继续。这一步做对了，后面才不会白算。
第二步算左导数。写 $f'_-(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0^-}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$，把 $x_0+\Delta x$ 代进左侧分支。注意 $\Delta x\lt0$，必要时用 $|\Delta x|=-\Delta x$ 之类的化简。
第三步算右导数。同理，用右侧分支。两侧的表达式不同，得到的结果可以不同。
第四步比较并下结论。都存在且相等 ⟹ 可导，$f'(x_0)$ 等于这个公共值；否则不可导。若某一侧趋于无穷，也属于"不存在"，同样判不可导。
② 易错点一：直接套求导公式代入分界点
例如对 $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le0\\ x, & x\gt0\end{cases}$，若用左侧的公式 $2x$ 在 $x=0$ 处取值，得到 $0$；用右侧的公式 $1$ 在 $x=0$ 处取值，得到 $1$。这样做实际上是把某一侧的信息硬塞到分界点上，没有任何依据。正确做法是回到定义算差商——差商里包含 $f(x_0)$ 这个信息，而求导公式里没有。
③ 易错点二：只算一侧就下结论
只算右导数等于 1，就说"导数为 1"——这漏掉了左导数等于 0 的事实。分界点处的导数是一个双侧极限，必须两侧都算、两侧都看。
④ 易错点三：跳过连续性检查，或者把连续性当成可导的证明
不做连续性检查，可能白算一堆差商；而反过来，连续性通过并不等于可导（$y=|x|$ 就是通过连续性检查却不可导的典型）。连续只是"入场券"，不是"通行证"。
⑤ 常见题型：求待定参数使分段函数在接缝处可导
设 $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le1\\ ax+b, & x\gt1\end{cases}$，求 $a,b$ 使 $f$ 在 $x=1$ 处可导。
先保连续。$f(1)=1$，右极限为 $a+b$，要连续必须 $a+b=1$。
再令左右导数相等。左导数：$\lim\limits_{\Delta x\to0^-}\dfrac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^-}(2+\Delta x)=2$。右导数：$\lim\limits_{\Delta x\to0^+}\dfrac{a(1+\Delta x)+b-1}{\Delta x}$，用 $a+b=1$ 把常数项消掉，得 $\lim\limits_{\Delta x\to0^+}\dfrac{a\Delta x}{\Delta x}=a$。令 $a=2$，再由 $a+b=1$ 得 $b=-1$。
所以 $a=2$，$b=-1$，即右分支为 $2x-1$。此时 $f$ 在 $x=1$ 处可导，且 $f'(1)=2$。解题顺序不能颠倒：必须先满足连续（这是可导的必要条件），才能去令左右导数相等。
4.6 导数的医学意义 · 以及与 AI 的联系
导数的物理含义是"瞬时变化率"。凡是能写成"一个量随另一个量变化"的场合，导数都在回答同一个问题：此刻，每增加一个单位的自变量，因变量大约变化多少。
💊 医学中的三处典型用法
① 血药浓度的变化速率
设 $C(t)$ 是 $t$ 时刻的血药浓度，则 $C'(t)$ 是浓度变化速率。$C'(t)\gt0$ 表示浓度正在上升，$C'(t)\lt0$ 表示正在下降，$C'(t)=0$ 表示此刻浓度曲线是平的（例如浓度峰顶附近）。它的大小告诉我们变化有多急。
② 剂量—效应曲线的敏感度
设 $E(d)$ 是剂量 $d$ 下的效应强度，曲线 $E=E(d)$ 在天花板效应区变得平坦。它在该点的斜率 $E'(d)$ 就是敏感度：剂量每增加一个单位，效应大致变化多少。$E'(d)$ 大说明剂量敏感，微调即有明显变化，调整时要更谨慎。
③ 生理量的升降方向
体温、血压、心率等随时间变化，它们的导数符号直接告诉我们"在升还是在降"。只看差值会丢失方向信息——同一时刻的浓度可能相同，但一个在升、一个在降，临床上含义完全不同。
④ 从数据估计速率
临床上只能离散采样，得不到解析表达式，此时常用差商近似导数：$C'(t)\approx\dfrac{C(t+h)-C(t)}{h}$（$h$ 取一个较小的采样间隔）。$h$ 越小，在可导的前提下这个近似越接近真实的变化速率。
⚠️ 两点必须说清：① 导数是局部信息——它只描述该点附近的变化倾向，不能替代对整个过程的了解。浓度在某一刻下降得快，不等于最终一定能降到零。② 用差商近似导数需要 $h$ 足够小，而且要求曲线在该点确实可导；如果曲线在采样点附近有跳变或尖角，差商就不是导数的可靠估计。
📈 动态演示：浓度曲线的瞬时变化速率
下图画出浓度衰减曲线 $C(t)=C_0e^{-kt}$（取 $C_0=1$）。拖动滑块移动时刻 $t_0$，金色直线是该点处的切线（它的斜率就是 $C'(t_0)$），蓝色短线段是跨度为 $0.5$ 的割线（它的斜率是差商近似值）。观察两者怎样随 $t_0$ 变化。
🔬 三个可检验的结论
① 对 $C(t)=e^{-kt}$（$k\gt0$）求导可得 $C'(t)=-ke^{-kt}$，它恒为负——浓度始终在下降，这与血药浓度衰减的实际情况一致。② 斜率的大小 $|C'(t)|=ke^{-kt}$ 随 $t$ 增大而变小：浓度越低，下降得越慢，曲线越来越平。③ 当 $t$ 越来越大时 $C'(t)\to0$，曲线趋于水平——这正是"消除速率与浓度成正比"这一级动力学特征在导数上的表现。
📐 反过来看：导数给了什么、没给什么
导数给的是"此刻的变化快慢"，它是一个局部的、瞬时的信息。想知道"从给药到现在一共暴露了多少药量"，那要把浓度曲线累积起来——那是后面学定积分时要解决的问题。微分与积分是同一件事的两个方向，本课只走通了第一个方向。
🤖 数学与 AI：训练模型就是在用导数找方向
训练一个神经网络，说到底是在调整一大堆参数，让预测的误差尽可能小。把这个误差写成一个关于参数的函数——通常叫损失函数——训练问题就变成了"在什么地方这个函数最小"。而寻找最小值的第一步，正是求导数。
🎯 一维情形：导数指出方向
把某个参数记作 $w$，损失记作 $L(w)$。$L'(w)$ 的符号告诉你该往哪边调：导数为正说明"把 $w$ 增大损失会上升"，于是应该把 $w$ 减小；导数为负则反过来。导数的绝对值则告诉你这一步该迈多大——斜率陡的地方迈小一点，平坦的地方可以迈大一点。这就是梯度下降的基本想法：$w\leftarrow w-\eta L'(w)$，其中 $\eta$ 是学习率。
🧭 多维情形：梯度是导数的推广
模型参数成千上万，损失是多元函数。这时对每一个参数分别求偏导数，把它们排成一个向量，就是梯度。梯度方向是函数上升最快的方向，所以负梯度方向就是下降最快的方向。梯度下降每次沿负梯度方向走一小步，逐步靠近损失的低谷。
⚠️ 为什么只要"局部"信息就够用
导数只描述当前这一点附近的倾斜情况，它并不知道全局最低点在哪里。整个训练过程是"一步一步试、一步一次修正"的：每到一个新位置，重新算一次导数，重新决定方向。这正是极限思想在工程上的样子——不求一步到位，只求每一步都朝着当下的下降方向。
🔗 与上一课的联系
上一课讲过，ReLU 激活函数在 $x=0$ 处连续但不可导（左右导数分别为 $0$ 与 $1$）。工程上遇到这类点，通常约定取一个"次梯度"（例如取 0 或 1）继续计算。这不是数学上严格的导数，而是在不可导点处的一种实用处理——恰好说明"可导"这个条件在实用算法里确实是要被认真对待的。
🔍 必须分清的一点：导数告诉你"当前往哪走最快"，但它不保证你走到的低谷是全局最低点，也不保证步长选得合适——学习率太大会一步跨过谷底来回震荡，太小则收敛极慢。所以实际训练中还要看损失曲线的走势与验证集表现来判断。把"梯度下降用了导数"当成"一定能训好模型"的证明，是把一个必要条件当成了充分条件。
4.7 拓展资源 · 自主加练
本课配有一条知识短片（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容：从平均变化率到瞬时变化率 → 差商与导数定义（两种写法）→ 差商极限必须存在且有限 → 左导数与右导数 → 导函数与记号 → 割线的极限位置是切线 → 切线方程与法线 → 可导必连续的证明 → $y=|x|$ 的反例 → 分段函数在分界点用定义求导 → 浓度变化速率与梯度下降。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
| 演示 | 位置 | 看什么 |
|---|
| 割线趋近切线 | 开场（4.0 之前） | 拖动 $\Delta x$，看割线怎样绕切点转动、斜率怎样趋于 2 |
| 切线方程与法线方程 | 4.3 节 | 拖动切点，看切线（金色）与法线（青色）怎样随切点联动 |
| $y=|x|$ 在原点不可导 | 4.4 节 | 无论 $h$ 多小，左差商恒为 $-1$、右差商恒为 $1$ |
| $x^2\sin\dfrac{1}{x}$ 在原点可导 | 4.5 节 | 割线斜率被夹在 $\pm|\Delta x|$ 之内，随 $\Delta x\to0$ 被压向 0 |
| 分段函数左右导数比较 | 4.5 节 | 左侧差商趋于 0、右侧差商恒为 1，两者永不相等 |
| 浓度曲线的瞬时变化速率 | 4.6 节 | 金色切线的斜率就是 $C'(t_0)$；与割线斜率比较，看近似与真实的差距 |
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📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学"或"医科高等数学"，可找到多所高校的完整课程录像。导数的定义与几何意义通常归在"导数与微分"模块的第一节，重点看老师怎么用定义算差商。
📺 视频平台
在主流视频平台搜索"导数的定义""导数的几何意义""可导与连续""分段函数求导"，建议优先选择有配套板书、能把差商化简过程一步步写出来的视频。看的时候自己也在纸上跟着算一遍。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）第二章"导数与微分"第 1 节：导数的定义、导数的几何意义、可导性与连续性的关系、分段函数在分界点处的导数。课后习题建议全部完成，其中用定义求导数的题目至少做 5 道，分段函数可导性的判定题至少做 3 道。
📌 复习建议：这一课的概念不多，但每一个都容易被"看懂"骗过去。建议按这个顺序练：先用定义求几个简单函数的导数（$\dfrac1x$、$\sqrt{x}$、$x^3$ 之类的差商化简）→ 再练分段函数在分界点的左右导数 → 再练切线方程与法线方程 → 最后背熟"可导必连续、连续不一定可导"并准备好反例。每类各做 5 道，手感就出来了。
4.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉
1️⃣ 设 $f'(x_0)$ 存在，则 $\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{h}$ 等于？
A. $f'(x_0)$
B. $2f'(x_0)$
C. $\dfrac{1}{2}f'(x_0)$
D. $0$
2️⃣ 函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处？
A. 可导，且 $f'(0)=0$
B. 连续，但不可导
C. 不连续，因此不可导
D. 可导，且 $f'(0)=1$
3️⃣ 曲线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程是？
A. $y=2x-1$
B. $y=2x+1$
C. $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$
D. $y=-2x+3$
4️⃣ 设 $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le0\\ x, & x\gt0\end{cases}$，则 $f$ 在 $x=0$ 处？
A. 可导，且 $f'(0)=0$
B. 可导，且 $f'(0)=1$
C. 连续，但不可导
D. 不连续
5️⃣ 下列关于可导与连续的命题，正确的是？
A. 函数在某点连续，则在该点一定可导
B. 函数在某点可导，则在该点一定连续
C. 函数在某点不可导，则在该点一定不连续
D. 曲线在某点有切线，则函数在该点一定可导
4.9 数学思维导图 · 本课小结
🧠 导数概念知识思维导图
📘 导数的
概念与几何意义
定义
- 差商 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
- 增量形式 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
- $x\to x_0$ 形式（换元）
- 差商极限存在且有限
左右导数
- $f'_-(x_0)$ 与 $f'_+(x_0)$
- 都存在且相等才可导
- 判据：先看连续
- 常用于分段与绝对值
几何意义
- 差商 = 割线斜率
- 割线的极限位置 = 切线
- 切线方程与法线方程
- 导函数 $f'(x)$ 的记法
可导与连续
- 可导必连续（会证明）
- 连续不一定可导
- 反例 $y=|x|$ 在 0 点
- 不可导的三种方式
分段与医学
- 分界点必须用定义
- 四步法：连续、左、右、比较
- 浓度变化速率 $C'(t)$
- 剂量敏感度与梯度下降
✅ 本课小结
🎯
导数是差商的极限：$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。定义里"存在且有限"四个字不能省——差商趋于无穷时不叫可导。
🔗
两种写法是同一个东西：令 $x=x_0+\Delta x$，$\Delta x\to0$ 就换成 $x\to x_0$，分子分母同步换成 $f(x)-f(x_0)$ 与 $x-x_0$，于是得到 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。换元而已，不是两个定义。
🧭
可导的判据是左右导数：$f$ 在 $x_0$ 可导 $\iff$ 左导数 $f'_-(x_0)$ 与右导数 $f'_+(x_0)$ 都存在且相等。只要有一侧不存在，或两侧不相等，该点就不可导——$y=|x|$ 在 $x=0$ 处的左右导数分别是 $-1$ 与 $1$。
📐
几何意义是切线斜率：差商是割线斜率，割线的极限位置就是切线，其斜率等于 $f'(x_0)$。切线方程为 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$；当 $f'(x_0)\neq0$ 时法线斜率为 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$，$f'(x_0)=0$ 时法线是竖直线 $x=x_0$。
⭐
可导必连续，连续不一定可导：证明的关键是把 $f(x)-f(x_0)$ 写成差商乘以 $(x-x_0)$，再用"有限数乘 0 等于 0"。反例用 $y=|x|$；补充例子 $y=\sqrt[3]{x}$ 说明差商趋于无穷时同样不可导，而它的切线是竖直的。
🧩
分段函数在分界点必须用定义求导：四步是"先判连续 → 算左导数 → 算右导数 → 比较"。例题 $f(x)=x^2\sin\dfrac{1}{x}$（$x\neq0$）、$f(0)=0$ 在 $x=0$ 处可导且 $f'(0)=0$，理由是 $\left|\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right|\le|\Delta x|$，由夹逼准则极限为 0。
🏥
医学与 AI 里的导数都是"变化率"：血药浓度对时间的导数 $C'(t)$ 是浓度变化速率（正升负降），剂量—效应曲线的斜率 $E'(d)$ 是敏感度；训练模型时，损失函数对参数的导数/梯度指出下降最快的方向。导数是局部信息，不代表全局结论。
🚀
下节预告 · 第 5 次课「导数的计算（一）」：本课我们每求一个导数都要写一遍差商、取一次极限，效率太低。下一课给出基本求导公式表（常数、幂函数、三角函数、指数函数、对数函数），再加上四则运算法则与复合函数的链式法则——从此求导从"逐点算极限"变成"按公式做代数运算"。