普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
导数的计算（一）
第二章 导数与微分 · 第 5 次课
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
高等数学 C · 授课对象：医学生 · 2 学时
基本公式表 $(C)'=0$ · $(x^a)'=ax^{a-1}$ · $(\sin x)'=\cos x$ · 和差积商四则法则 · 链式法则 $y'_x=y'_u\cdot u'_x$
💭 上课之前 · 请想一想
🌡️
"体温正在升到多少度"，和"体温升得多快"，哪一个才是导数？
上一课我们把导数定义为瞬时变化率：差商的极限。体温曲线在某一时刻的陡峭程度，就是这个时刻体温上升的速度（单位：度每小时），它是导数。至于"升到多少度"，那是函数值本身。
✂️
两个函数相乘，导数是不是就等于两个导数相乘？
很多人第一反应是"是"。今天我们会用一个面积增量的图形把它推翻：$(uv)'=u'v+uv'$，多出来整整一项。能在图形上被反驳的猜测，才是真懂。
✦ 带着这两个问题，进入今天的主角 ✦
🤔 导数能不能"算"出来？
如果每一个导数都要回到定义求极限，那导数就只是一道漂亮的练习题
📋一张表：8 个必须背下来的基本导数公式
➕三条法则：和差、乘积、商的求导法则
⛓️一把钥匙：复合函数求导的链式法则
🚫两个绝不能当成公式的写法：$(uv)'=u'v'$、$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'}{v'}$
先看一段动态演示：拖动滑块，改变内层函数 $u=ax+1$ 的变化速度，观察这个速度怎样被外层 $\sin u$ 的导数"放大"或"缩小"，最后传给 $y$。
定义让我们知道导数是什么，法则让我们把导数算出来。
正是这一步，把微积分从"观赏品"变成了"工具"。
—— 从逐点用定义，到按代数方式运算
⚙️
求导法则：一步"机械化"的跳跃
导数从"每一点都要取极限"变成"照公式做代数运算"
这一步之后，微积分才真正能用在力学、天文与工程上
📖 为什么"会算"这么重要
导数的定义是 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。这个式子能说明导数是什么，却不能用来做工程：如果要描绘一条曲线的陡缓，或者要让物理学家算出每一时刻的速度、让天文学家算出轨道上每一位置的受力方向，难道每一点都回去做一次极限？
真正让微积分"用起来"的，是发现求导这件事本身服从一套代数规则：常数的导数总是零、幂函数的导数有固定形状、两个函数相加可以分别求导、两个函数相乘有固定的合成方式、复合函数的导数可以把各层的导数连乘。有了规则，求导数就从"求极限"变成了"照公式算"——一个熟练的人可以很快算出一条复杂曲线的导数表达式。
📋 表格化把最常用的导数结果列成一张表，遇到就查，不必重算
➕ 可拆分和与差可以"一项一项求导"，复杂表达式被拆成简单项
✖️ 有乘法规则乘积与商各有固定法则，虽然形式比"分别求导"复杂，但步骤是死的
⛓️ 可传递复合函数的导数等于各层导数连乘——变化率沿"链条"逐级传递
🌍 一件事的两个视角
历史上，微积分有两类不同的入口：一类从运动学出发，关心"瞬时速度"与"变化率"；另一类从几何出发，关心"曲线在一点的切线"与"面积"。两种入口都独立地发展出了求导数、求积分的方法，也都得到了同一套基本结果。
本课要讲的内容，正是这两种视角共同的产物：链式法则在运动学的语言里是"速度的逐级传递"（内层的快慢被外层放大或缩小），在几何的语言里是"切线斜率的乘积关系"。同一个公式，两种解释都成立——这也是微积分最迷人的地方：不同的直觉指向同一个算式。
上一课我们学会了用定义认识导数；这一课要学会用法则算出导数。
记住一句话：结构决定用哪条法则——和差用拆分、相乘用乘积法则、相除用商的法则、嵌套用链式法则。
💡 学这一课之前
上一课的结论是：$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$，它刻画了函数在一点变化的快慢。但定义法有一个现实困难：每求一个点，就要算一次极限。一个函数若要研究整段区间上的陡缓，定义法几乎无法完成。今天我们要造一套"机器"：输入函数表达式，输出它的导数表达式。
🔗
一、从"一点的数"到"一个函数"
上一课求的是 $f'(x_0)$——一个数。这一课求的是 $y'$——一个新的函数。把 $x_0$ 换成任意的 $x$，定义式就变成了导函数的定义：$y'=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。本节所有公式，本质都是这个极限的"封装结果"。
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二、三条主线，一张地图
本课有三层：基本公式表（8 个必须记得的结果，是全部计算的"砖块"）；四则运算法则（把砖块组合起来，处理和、差、积、商）；链式法则（处理"函数套函数"，这是本课的红线，也是最容易丢分的地方）。三层叠起来，绝大多数初等函数的导数都能算出来。
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三、为什么医生要用它
医学里真正关心的往往是速率而不是数值：血药浓度下降得快不快（消除速率）、效应随剂量增加而升得多陡（敏感度）、体温上升得急不急。这些量都是导数。只有把导数算得又快又准，才能对着真实的指标曲线做判断，而不是对着公式发愁。
✦ 上一课回答"导数是什么"，这一课回答"导数怎么算" ✦
5.1 基本初等函数的导数公式表
下面是本课的第一块砖：八个基本导数公式。它们都是上一课用定义算出来的结果，现在被"封装"成结论，直接使用即可。
📋 八个必须记住的公式
| 编号 | 函数 | 导数 | 记忆要说的一句话 |
|---|
| 1 | 常数 $y=C$ | $y'=0$ | 水平线永远是平的，斜率恒为 0 |
| 2 | 幂函数 $y=x^a$（$a$ 为常数） | $y'=ax^{a-1}$ | 指数搬到前面当系数，指数本身减一 |
| 3 | 正弦 $y=\sin x$ | $y'=\cos x$ | 正弦往前"走半步"变成余弦 |
| 4 | 余弦 $y=\cos x$ | $y'=-\sin x$ | 余弦求导得负正弦，负号不能丢 |
| 5 | 指数 $y=a^x$（$a\gt0,\ a\neq1$） | $y'=a^x\ln a$ | 形式不变，多乘一个 $\ln a$ |
| 6 | 自然指数 $y=e^x$ | $y'=e^x$ | 整个微积分里唯一"求导后不变"的函数 |
| 7 | 对数 $y=\log_a x$（$a\gt0,\ a\neq1$） | $y'=\dfrac{1}{x\ln a}$ | 分母里多一个 $\ln a$ |
| 8 | 自然对数 $y=\ln x$（$x\gt0$） | $y'=\dfrac1x$ | 形式最干净的一个：导数是它自己的倒数 |
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✅ 用定义验一条：为什么 $(x^a)'=ax^{a-1}$
这条公式之所以能"封装"，是因为它真的可以从定义算出来。以正整数指数为例：由二项式展开，
$(x+\Delta x)^n=x^n+nx^{n-1}\Delta x+\cdots+(\Delta x)^n$，于是差商为
$$\dfrac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}=nx^{n-1}+\text{（各项都含 } \Delta x \text{ 的因子）}$$
令 $\Delta x\to0$，后面那些项全部趋于 0，只剩 $nx^{n-1}$。这正是公式的形状：前面的 $n$ 来自"一共有 $n$ 个括号各出一个 $x$"这种组合计数，而指数减一来自"减掉原来的 $x^n$"。
⚠️ 公式 2 里的 $a$ 现在不限于正整数。本课用它处理分数指数与负指数，例如 $(\sqrt x)'=(x^{1/2})'=\dfrac12x^{-1/2}=\dfrac1{2\sqrt x}$，$\left(\dfrac1x\right)'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\dfrac1{x^2}$。习惯把根式与分式先改成幂的形式再求导，可以少犯很多错。
📈 动态演示：公式 2 的"指数搬前面、指数减一"
下图给出 $y=x^a$ 与它在某点的切线。拖动滑块改变 $a$，观察导数形状怎样随着 $a$ 一起变——特别是 $a$ 变小时，$x=0$ 附近的切线越来越陡。
① 常数与幂函数：一个"不积"、一个"套娃"
$(C)'=0$ 的理由很直接：$C$ 是一条水平线，水平线的斜率处处是 0；也可以从定义看，$f(x+\Delta x)-f(x)=C-C=0$，差商恒为 0，极限自然是 0。推论：常数因子可以提到求导号外面，即 $(Cu)'=Cu'$，因为 $C$ 不随 $x$ 变化，它不贡献任何变化率。
幂函数的公式是使用频率最高的一条。它的"直觉"是：$x^n$ 可以想成 $n$ 个 $x$ 相乘，求导时每个括号轮流"变一次"，一共得到 $n$ 个 $x^{n-1}$。所以指数跑到前面当系数、指数减一，是对这一过程最简洁的描述。
② 三角函数的两个公式：符号规律必须记牢
$(\sin x)'=\cos x$，而 $(\cos x)'=-\sin x$。为什么一个有负号、一个没有？在 $x=0$ 处看：$\sin x$ 在 0 附近上升（斜率约为 $+1$），所以它的导函数在 0 处取 $\cos 0=1$；$\cos x$ 在 0 处取最大值 1，曲线在此处正处在"顶端"，斜率是 0，而且两侧都往下走——所以导函数在 0 处是 $-\sin 0=0$，并且 $x$ 稍大时导数值就变成负数。
一个便于检查的口诀：求导一次，图像整体左移四分之一周期。这不是严格推导，但作为"结果对不对"的快速检查很好用。
③ 指数函数：$e^x$ 的特殊地位
$(a^x)'=a^x\ln a$ 里的 $\ln a$ 是一个纯粹的常数倍因子；当 $a=e$ 时 $\ln e=1$，这个因子消失，于是 $(e^x)'=e^x$——求导后表达式完全不变。这个性质在解微分方程、描述指数增长与衰减时起了关键作用：$y'=ky$ 的解就带着 $e$ 的身影。
④ 对数函数：与指数函数互相对应
$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$，当 $a=e$ 时得到 $(\ln x)'=\dfrac1x$。这条公式和指数函数的公式是一对"反向操作"，回忆下一课要讲的反函数求导就能看出这一点。注意 $(\ln x)'=\dfrac1x$ 严格说来只对 $x\gt0$ 成立——$\ln x$ 本身只在正半轴有定义。
⑤ 三条最容易记错的细节
第一，不要漏负号：$(\cos x)'=-\sin x$，负号属于公式的一部分。第二，不要把 $\ln a$ 丢掉：$(a^x)'=a^x\ln a$，只有 $a=e$ 时它才等于 1。第三，不要把幂函数与指数函数搞混：$y=x^a$ 的底在变，指数 $a$ 是常数，用幂函数公式；$y=a^x$ 的指数在变，底 $a$ 是常数，用指数函数公式。看到 $x^x$ 这种"底和指数都在变"的函数，两个公式都不能直接用——这要留到下一课（对数求导法）专门处理。
5.2 函数的和、差与乘积的求导法则
有了砖块，接下来要学"怎么搭"。本节先讲最顺手的和差法则，再讲最容易被想错、也最重要的乘积法则。
➕ 和与差：可以一项一项求导
设 $u=u(x)$、$v=v(x)$ 都可导，则它们的和与差也可导，并且
$$(u\pm v)'=u'\pm v'$$
这条法则让求导有了"线性"的方便：常数因子可以拿到求导号外面，加减法可以拆开逐项处理。于是任何多项式都能瞬间求导。
🔍 例：多项式求导
$y=3x^4-2x^3+5x-7$。逐项使用公式表与常数因子性质：$y'=3\cdot4x^3-2\cdot3x^2+5\cdot1-0=12x^3-6x^2+5$。注意常数项 $-7$ 的导数是 0，它不贡献任何变化率。
🔍 例：带根号与分式，先化成分数指数
$y=\sqrt x+\dfrac{3}{x}$ 改写为 $y=x^{1/2}+3x^{-1}$，于是 $y'=\dfrac12x^{-1/2}-3x^{-2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}-\dfrac{3}{x^2}$。先把根式、分式统一改成幂的形式，是幂函数公式用得顺的前提。
✖️ 乘积法则（本课第一个易错点）
先明确一件事：两个函数相乘求导，绝不等于各自求导再相乘。正确的法则是
$$(uv)'=u'v+uv'$$
记忆口诀：前导后不导，加上前不导后导——两项，一项只对前面那个求导，另一项只对后面那个求导，加起来。
🔍 例 1：乘积法则
$y=x^2\sin x$。取 $u=x^2$、$v=\sin x$，则 $u'=2x$、$v'=\cos x$，故 $y'=2x\sin x+x^2\cos x$。两项都写全，不要合并掉任何一项。
🚫 反例演示：错法错在哪里
若误用 $(uv)'=u'v'$，会得到 $2x\cos x$。取 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 检验：正确结果 $2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot1+\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2\cdot0=\pi$；错误结果 $2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot0=0$。两位数一对比，错法立刻现形。
⚠️ 三个因子怎么办
$y=uvw$ 时把 $uv$ 看成一个整体：$y'=(uv)'w+uvw'=u'vw+uv'w+uvw'$——有 $n$ 个因子就有 $n$ 项。规律很清楚：每次只让一个因子"求导"，其余保持原样，然后把所有可能加起来。
📈 动态演示：乘积法则的面积解释
把 $u(x)v(x)$ 看成一个矩形的面积：宽是 $u(x)$、高是 $v(x)$。当 $x$ 增加一点点，宽和高各自变化一点点，面积增量由三块组成——下面用图形把它画出来。
💡 图形与公式的对应：面积增量 $\Delta(uv)=(\Delta u)v+u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v)$，两边除以 $\Delta x$ 得 $\dfrac{\Delta(uv)}{\Delta x}=\dfrac{\Delta u}{\Delta x}v+u\dfrac{\Delta v}{\Delta x}+\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\Delta v$。令 $\Delta x\to0$，第三项因为还带着一个 $\Delta v$ 而趋于 0，只剩前两项——这就是乘积法则。图形上一眼可见：两块长条是一阶效应，小方块是二阶效应，可以忽略。
🔗 顺带记住：与"常数倍"和"倒数的直观"
由和差法则与乘积法则，可以得到两条常用推论：一是 $(Cu)'=Cu'$（常数因子可以直接提到求导号外）；二是若 $u$ 可导且 $u\neq0$，则 $\left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$——它是下一节商的法则中取 $v=1$ 的特例。
① 乘积法则为什么"必须"有两项
把 $u$ 与 $v$ 都看成随 $x$ 变化的量。$x$ 增加 $\Delta x$ 时，$u$ 变了 $\Delta u$、$v$ 变了 $\Delta v$，乘积的变化就是
$$\Delta(uv)=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=(\Delta u)v+u(\Delta v)+(\Delta u)(\Delta v)$$
两边同除以 $\Delta x$，得 $\dfrac{\Delta(uv)}{\Delta x}=\dfrac{\Delta u}{\Delta x}v+u\dfrac{\Delta v}{\Delta x}+\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\Delta v$。令 $\Delta x\to0$：前两项分别趋于 $u'v$ 与 $uv'$；第三项还带着一个 $\Delta v$，而 $\Delta v\to0$，所以整项趋于 0。于是 $\Delta(uv)/\Delta x\to u'v+uv'$。
这解释了为什么"两块长条"留下、而"角上那个小方块"被丢掉：它是两个小量的乘积，属于更高阶的小量。直觉上也很清楚——两条边的增量各自很小时，它们同时产生的"角"更小得多。
② 商法则可以从乘积法则推出来
不必单独记忆证明。设 $y=\dfrac uv$，则 $u=yv$。两边对 $x$ 求导（用乘积法则）：$u'=y'v+yv'$。解出 $y'$：$y'=\dfrac{u'-yv'}{v}$。再把 $y=\dfrac uv$ 代回去，$y'=\dfrac{u'-\dfrac uv v'}{v}=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$——商法则就出现了。
这个推导还顺带说明了一件事：如果把商法则记错了（比如写成 $u'/v'$），就等价于把乘积法则也用错了，两个错误是同一个根源。
③ 三个以上因子：每次只动一个
$y=uvw$ 时，先把 $uv$ 看成整体：$y'=(uv)'w+uv\,w'=(u'v+uv')w+uvw'=u'vw+uv'w+uvw'$。有多少个因子就有多少项，每一项只让一个因子"求导"，其余保持原样。这条规律可以一直推广到任意多个因子相乘。
④ 三类最容易犯的四则运算错误
第一类：漏项。把 $(uv)'$ 写成 $u'v'$，或者把三项的 $uvw$ 写成两项。检验办法是取一个具体的 $x$ 代入验算，一两秒钟就能发现。
第二类：符号与顺序。商法则的分子必须是 $u'v-uv'$，写成 $uv'-u'v$ 整体差一个负号；写成 $u'v+uv'$ 则更严重。记住"上导在前、中间是减号"。
第三类：把常数因子也拿去"求导"。$(3x^2\sin x)'$ 中，系数 3 是常数，可以直接提到外面：$3(x^2\sin x)'=3(2x\sin x+x^2\cos x)$。若把 3 也当成函数参与乘积法则，结果会多出一项 $0\cdot x^2\sin x$（凑巧不影响答案，但过程会乱，容易在更复杂的情形下出错）。
⑤ 一个"先化简再求导"的实用技巧
看到 $\dfrac{x^2-1}{x+1}$ 这类式子，先约分（此处 $x\neq-1$）得到 $x-1$，再求导得 1——比直接用商法则快得多，也不容易错。能约分、能合并、能化成分数指数的，都先处理掉再看结构。这不是投机取巧，而是让法则用在真正需要它的地方。
5.3 商的求导法则
除法是最容易出错的一步：分子的两项谁先谁后、相减还是相加、分母是 $v$ 还是 $v^2$，三个细节全都可能被记错。这一节我们把它们钉死。
➗ 商的法则
设 $u=u(x)$、$v=v(x)$ 都可导，且 $v(x)\neq0$，则
$$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$$
口诀：分母平方做分母，分子是"上导下不导，减去上不导下导"。注意顺序是"上导在下导之前"，中间是减号——这两点与乘积法则不同，也是错的集中地。
🔍 例 1：$\tan x$ 的导数
$y=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$。取 $u=\sin x$、$v=\cos x$，则 $u'=\cos x$、$v'=-\sin x$，于是 $y'=\dfrac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{1}{\cos^2x}=\sec^2x$。这是商的法则最经典的一次"化简出奇迹"。
🔍 例 2：分母带根式
$y=\dfrac{1}{\sqrt x}$。既可以用商的法则，也可以先改成 $x^{-1/2}$ 再用幂函数公式：$y'=-\dfrac12x^{-3/2}=-\dfrac{1}{2x\sqrt x}$。能化成幂就先化，可以避开商法则的行数。
🚫 绝不能写成 $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'}{v'}$
取 $u=x$、$v=x^2$，则 $\dfrac uv=\dfrac1x$，正确答案是 $-\dfrac{1}{x^2}$；而错法给出 $\dfrac{1}{2x}$。取 $x=1$：正确答案 $-1$，错法 $\dfrac12$——符号和数值都不对，错误方式还是符号级的，不会被"约分"救回来。
📈 动态演示：商的法则为什么不能"上下分别求导"
下图给出 $\dfrac uv$ 的真实导数曲线与两种常见错法对应的曲线。拖动滑块改变考察点，只看三者的读数差——错法的偏差会随位置明显起伏。
⚠️ 红线提醒：$(uv)'=u'v'$ 与 $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'}{v'}$ 都是错误公式，本课明确点名它们，请在学习笔记里把这两个"陷阱"单独圈出来。凡是在练习里看到有人这么做，第一步就该想到"漏了一项"或"顺序与符号错了"。
🧮 一条完整的综合例题
求 $y=\dfrac{x\ln x}{x+1}$（$x\gt0$）的导数。分子本身就是乘积，所以要用两次法则：
$$y'=\dfrac{(x\ln x)'(x+1)-x\ln x\cdot(x+1)'}{(x+1)^2}=\dfrac{(\ln x+1)(x+1)-x\ln x}{(x+1)^2}$$
其中用了 $(\ln x)'=\dfrac1x$，所以 $(x\ln x)'=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1$。最后可以按需把分子整理成 $\dfrac{x\ln x+\ln x+x+1-x\ln x}{(x+1)^2}=\dfrac{\ln x+x+1}{(x+1)^2}$。
🧭 解题顺序建议：先用括号把"谁是 $u$、谁是 $v$"分清楚，写成 $u'$、$v'$ 两张小纸片，再代公式。把这两步分开做，比直接往公式里塞要稳得多——商的法则的错误，绝大多数发生在"没分清上下"而不是在算术上。
5.4 复合函数的求导法则（链式法则） · 本课重点红线
本节是全课最重要的一节。前面几条法则处理的是"拼起来"的函数，而实际遇到的函数大多是套起来的——嵌套结构必须用链式法则，而且绝不能漏乘内层的导数。
⛓️ 链式法则
设 $y=f(u)$ 对 $u$ 可导，$u=\varphi(x)$ 对 $x$ 可导，则复合函数 $y=f[\varphi(x)]$ 对 $x$ 可导，且
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\qquad\text{即}\qquad y'_x=y'_u\cdot u'_x$$
读法：外层导数 × 内层导数。莱布尼茨的 $\dfrac{dy}{dx}$ 记法在这里最好用——右边的 $du$ 仿佛可以"约掉"，公式的形状自己就记住了（这当然不是严格证明，但作为记忆助手非常有效）。
⚙️ 一个直观：变化的"逐级传动"
把 $x\to u\to y$ 想成两级传动。$x$ 变化 1，$u$ 变化 $u'_x$；而 $u$ 变化 1，$y$ 变化 $y'_u$。两级串起来，$x$ 变化 1 时 $y$ 就变化 $y'_u\cdot u'_x$。变化率沿链条逐级相乘——这就是链式法则的物理含义。
🪜 标准动作：由外向内逐层剥
| 步骤 | 做什么 | 以 $y=\sin(2x+1)$ 为例 |
|---|
| 第一步 | 认清结构：谁套着谁 | 外层是 $\sin(\ )$，内层是 $2x+1$ |
| 第二步 | 设中间变量 $u$ | 令 $u=2x+1$，则 $y=\sin u$ |
| 第三步 | 分别求两层的导数 | $y'_u=\cos u$，$u'_x=2$ |
| 第四步 | 相乘，并把 $u$ 换回 $x$ | $y'=\cos u\cdot2=2\cos(2x+1)$ |
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🎯 第三、四步之间的"相乘"就是红线。漏掉 $u'_x$ 只写出 $\cos(2x+1)$，答案就整体少了一个倍数因子 2——而导数是"变化率"，少一个倍数，物理意义就完全错了。漏乘内层导数，是本课最主要的失分点。
✏️ 三个必会例题
例 1：$y=\sin(2x+1)$
如上面的四步表：$y'=2\cos(2x+1)$。检验一下内部一致性：$x$ 每增加 $\pi$，内层 $2x+1$ 增加 $2\pi$，外层回到原值；而导数的振幅是 2 而不是 1——内层变化得快 2 倍，外层被"推"得也快 2 倍，倍数 2 一点不奇怪。
例 2：$y=\ln(\cos x)$
外层 $\ln(\ )$，内层 $\cos x$。令 $u=\cos x$，则 $y'_u=\dfrac1u$，$u'_x=-\sin x$，相乘得 $y'=\dfrac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\tan x$。注意这个结果的适用范围：必须 $\cos x\gt0$，因为 $\ln$ 只对正数有定义。
例 3：$y=e^{\sin^2x}$（三层嵌套）
结构是 $y=e^{\,w}$，$w=v^2$，$v=\sin x$——三层。从外向内剥：$y'_w=e^w$，$w'_v=2v$，$v'_x=\cos x$。连乘得 $y'=e^{\sin^2x}\cdot2\sin x\cdot\cos x=2\sin x\cos x\,e^{\sin^2x}$，还可以把 $2\sin x\cos x$ 写成 $\sin 2x$。三层以上一律由最外层开始，一层一层往里乘。
🧭 一眼看穿结构：三问法
遇到一个函数，先不要动笔算，先问三个问题：① 最外层是什么？（是幂、是指数、是对数，还是三角函数）② 它的"整体自变量"是什么？（把这个整体设成 $u$）③ 这层里面还套着东西吗？（如果还套着，就继续往里剥）。三问走完，链式法则的链条就画出来了。
① 结构一：幂函数套一个内部式子
$y=(3x+2)^5$。外层是"五次方"，内层是 $3x+2$。令 $u=3x+2$，则 $y'=5u^4\cdot3=15(3x+2)^4$。这里的 $15$ 就是 $5\times3$：指数 5、内层系数 3，两个因子都必须在。初学者最容易只写 $5(3x+2)^4$，把内层的 3 丢掉。
更一般地，$y=(ax+b)^n$ 的导数是 $y'=na(ax+b)^{n-1}$。把它记成一个"半成品公式"，可以节省大量时间，但前提是你要清楚这两个因子分别来自哪里——否则一旦内层不再是线性的（比如 $u=x^2$），机械套用就会出错。
② 结构二：指数函数套一个内部式子
$y=e^{-kt}$（$k$ 为正常数）。外层是 $e^{(\ )}$，内层是 $-kt$。于是 $y'=e^{-kt}\cdot(-k)=-ke^{-kt}$。这个结果在药物动力学里随处可见：$y'$ 与 $y$ 只相差一个常数倍数 $-k$，说明衰减速率正比于当前药量——这正是"一级消除"的数学表述。
③ 结构三：对数函数套一个内部式子
$y=\ln(2x+5)$。外层是 $\ln(\ )$，内层是 $2x+5$，故 $y'=\dfrac{1}{2x+5}\cdot2=\dfrac{2}{2x+5}$。另一个常见情形是 $\ln|x|$：它的导数同样是 $\dfrac1x$（在 $x\neq0$ 的一切位置），这条结果在下一课还会再遇到。
④ 结构四：多层嵌套，逐层连乘
$y=\sin(\ln x)$：外层 $\sin(\ )$，内层 $\ln x$，故 $y'=\cos(\ln x)\cdot\dfrac1x$。若还想套第四层，就继续往右乘。规则只有一条：从最外层开始，每剥一层乘一个因子，一直乘到最里面那层的自变量就是 $x$ 为止。链条的长度等于嵌套的层数。
⑤ 漏乘内层导数，到底错多少
以 $y=\sin(2x+1)$ 为例。正确答案是 $2\cos(2x+1)$，漏乘后写成 $\cos(2x+1)$。在 $x=0$ 处：正确答案 $2\cos1\approx1.081$，漏乘得到 $\cos1\approx0.540$——整整差一倍。再考虑取极值的位置：正确的导函数在 $2x+1=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ 处为零，漏乘的导函数零点位置虽然相同（因为只是乘了一个常数 2），但在其余位置的数值全错。用导数做近似、求最值、判断单调性时，这个倍数会一路传到最终结论里。
所以在检查答案时养成一个习惯：先看结果里有没有"内层导数"的痕迹。内层若是 $ax+b$，答案里应该带着 $a$；内层若是 $x^2$，答案里应该带着 $2x$。看不到这个因子，就基本可以判定漏乘了。
5.5 多层复合的拆解 · 常见错误对照
这一节把前面三条法则合成一套"作业流程"，再把最常见的六类错误集中起来对照。学完这一节，绝大多数导数题都有了固定的下手方式。
🌳 多层复合的树形拆解
把复合结构画成一棵树：根是 $y$，往下每一层是一个中间变量，叶子是 $x$。导数就等于从根一路走到叶子，把每一段的"导数"乘起来。
| 函数 | 层级拆解（从外到内） | 导数（连乘） |
|---|
| $y=(2x+1)^4$ | $y=u^4$，$u=2x+1$ | $4u^3\cdot2=8(2x+1)^3$ |
| $y=e^{3x}$ | $y=e^u$，$u=3x$ | $e^u\cdot3=3e^{3x}$ |
| $y=\ln(1+x^2)$ | $y=\ln u$，$u=1+x^2$ | $\dfrac{1}{u}\cdot2x=\dfrac{2x}{1+x^2}$ |
| $y=\cos(x^2+1)$ | $y=\cos u$，$u=x^2+1$ | $-\sin u\cdot2x=-2x\sin(x^2+1)$ |
| $y=e^{\sin x}$ | $y=e^u$，$u=\sin x$ | $e^u\cdot\cos x=e^{\sin x}\cos x$ |
| $y=\sqrt{\sin x}$ | $y=u^{1/2}$，$u=\sin x$ | $\dfrac{1}{2\sqrt u}\cdot\cos x=\dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$ |
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📈 动态演示：多层复合的逐层拆解
下图把 $y=\ln(1+x^2)$ 的三段"传递"分开画出：内层 $u=1+x^2$ 怎样变化、外层 $\ln u$ 又怎样放大这个变化，以及最终合成后的导数曲线。
🚫 常见错误对照表
下表左边是错误写法，右边是正确写法。请特别留意"错在哪里"一栏——把错误分类，比记住正确答案更有用。
| 错误写法 | 正确写法 | 错在哪里 |
|---|
| $(uv)'=u'v'$ | $(uv)'=u'v+uv'$ | 把乘法当成了"分别求导"，漏掉一整个交叉项 |
| $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'}{v'}$ | $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ | 商的法则被想成了"上下分别求导"，顺序与分母全错 |
| $(\sin x)'=\cos x$，$(\sin 2x)'=\cos 2x$ | $(\sin 2x)'=2\cos 2x$ | 漏乘内层导数 2（本课红线） |
| $(e^{3x})'=e^{3x}$ | $(e^{3x})'=3e^{3x}$ | 把 $e^x$ 的"求导不变"错误推广到 $e^{u}$ 上 |
| $(\ln x)'=\dfrac1x$ 用来算 $(\ln 2x)$ 时直接写 $\dfrac1{2x}$ | $(\ln 2x)'=\dfrac{1}{2x}\cdot2=\dfrac1x$ | 只换了"里面"，没有乘内层导数；正确结果其实与 $\dfrac1x$ 相同，但过程必须完整 |
| $(x^2\sin x)'=2x\cos x$ | $(x^2\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x$ | 乘积法则被当成 $(uv)'=u'v'$ |
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📈 动态演示：错法与正确解法的对照
下图同时画出 $y=\sin x\cos x$ 的正确导数与两种"想当然"的错解。拖动滑块读三个数值，看看错法偏了多少。
✅ 一个可自查的顺序：拿到函数，先判断结构（和差／乘积／商／嵌套／混合），再决定用哪条法则；混合结构先分外层、再处理内层；每一步都把"这一层我对谁求导"写出来。养成写中间变量 $u$ 的习惯，能挡住本课八成以上的错误。
5.6 医学应用与 AI 联系 · 导数算出来之后能做什么
前面五节给的是"算法"，这一节回答"算完有什么用"。导数的价值在于：它把"变化得快不快"变成一个可以写出来、可以求零点、可以比较大小的表达式。
💊 医学应用一：血药浓度的下降速率
设血药浓度随时间按 $C(t)=C_0e^{-kt}$ 衰减（$C_0$ 为初始浓度、$k$ 为消除速率常数）。用链式法则立刻得到
$$C'(t)=-kC_0e^{-kt}=-kC(t)$$
这个式子的含义值得停一下：下降速率与当前浓度严格成正比，比例系数就是 $k$。所以浓度越高，掉得越快；浓度越低，掉得越慢——图像上是一条不断变缓的下降曲线。比较两种药物的 $k$ 值，就能比较它们"掉得快不快"，而不必逐点计算。
📌 不要过度解读：上面这是一个理想化的模型式子，用于说明"导数与函数成正比"这一数学结构。真实的药代动力学要复杂得多（可能有吸收相、分布相、非线性消除等），临床判断必须依据实测数据与专业规范。
📈 医学应用二：剂量—效应曲线的"敏感度"
设效应 $E$ 是剂量 $D$ 的函数 $E(D)$。那么在剂量 $D_0$ 处，导数 $E'(D_0)$ 就是曲线的斜率，它衡量的正是"剂量再加一点点，效应还能升多少"——也就是敏感度。
📈 斜率大：敏感区
$E'(D_0)$ 数值大，说明曲线陡。此时剂量的微小调整会导致效应明显变化，窗口很窄，需要精细控制。
➡️ 斜率小：平台区
$E'(D_0)$ 接近 0，说明曲线接近水平。此时加大剂量效应提升有限，可能只是增加不良反应风险。
🔍 导数为零的位置
$E'(D_0)=0$ 的点就是曲线的"平坦处"（驻点）。求导数并令其为零，是寻找平台起点的标准数学动作——这将在下一章"导数的应用"里系统展开。
🧪 用导数代替"看图"
光看曲线图只能大致判断陡缓；把 $E'(D)$ 的表达式算出来，就能定量比较两个剂量点、两种药物的敏感度，甚至求出敏感度最大的位置。
🤖 数学与 AI：反向传播就是链式法则
神经网络本质上是一个多层复合函数：输入先经过第一层的线性变换与激活函数，输出再作为第二层的输入……层层嵌套。训练时要回答的问题是：某个参数稍微变一点，最终的损失会变多少？这正是"复合函数的导数"，而计算它的工具就是链式法则，在机器学习里叫反向传播。
⛓️ 逐层连乘
损失对第一层参数的导数，等于后面每一层的局部导数连乘。这与本课"由外向内逐层剥"的顺序完全一致，只是层数多得多。
📉 为什么会"梯度消失"
连乘的因子若大多小于 1，乘得越多结果越接近 0，前面几层几乎收不到"该往哪改"的信号。这就是梯度消失的数学根源——它正是链式法则连乘结构的直接后果。
⚡ 为什么会"梯度爆炸"
反过来，若连乘的因子大多大于 1，乘积会迅速变大，训练便容易不稳定。同一件事的两个方向：连乘既可以衰减也可以放大。
🧩 激活函数的选择
ReLU 在正半轴的导数恒为 1，连乘时不会持续缩小，因而是缓解梯度消失的常用选择之一。这正好与前几课讲过的 ReLU 性质接上。
🔍 一句话把两件事接起来：本课学的链式法则不是一条"考试专用的公式"——它是深度学习框架每次训练时都要在后台执行成千上万次的核心运算。看懂 $y'_x=y'_u\cdot u'_x$，就摸到了神经网络训练的数学骨架。
🧠 学习策略：本课该练什么
第一步 · 背公式表（最省时间的一步）
八个公式必须能默写。建议每天写一遍，连写五天。公式不熟，后面所有法则都会变成事故现场。
第二步 · 练"看结构"（本课的核心能力）
拿 20 个函数，不算答案，只判断"该用哪条法则、结构是几层"。这个练习比闷头算 20 道题更有价值，因为它练的是决策。
第三步 · 专练链式法则
把 $(2x+1)^5$、$e^{-kt}$、$\ln(1+x^2)$、$\sin(\ln x)$、$\sqrt{\sin x}$ 这类题各做 5 道，每道都写出中间变量 $u$，直到不用写也不会漏乘为止。
第四步 · 收集自己的错题类型
本课的错误就那几类：漏乘内层导数、$(uv)'=u'v'$、商法则顺序符号错、$\cos$ 的负号丢、$\ln a$ 忘乘、$e^{3x}$ 当成 $e^x$。把这六类做成一张卡片贴在书桌前，两周后你会发现它们全都不再出现。
5.7 拓展资源 · 自主加练
本课配有一条知识短片（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容：为什么要有求导法则 → 八个基本公式 → 和差法则 → 乘积法则与面积解释 → 商的法则 → 链式法则与逐层拆解 → 常见错误对照 → 医学中的速率与敏感度 → AI 里的反向传播。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
| 演示 | 位置 | 看什么 |
|---|
| 变化的逐级传动 | 开场（5.0 之前） | 拖 $a$，看"内层速度"怎样被外层导数放大后传给 $y$ |
| 幂函数公式的动态检验 | 5.1 节 | 拖指数 $a$，看切线斜率是否等于 $a x_0^{a-1}$ |
| 乘积法则的面积增量 | 5.2 节 | 看两块长条与一个小方块，理解为什么只留下两项 |
| 商的法则的错法对照 | 5.3 节 | 拖 $x_0$，比较正确导数曲线与 $u'/v'$ 错法曲线的读数差 |
| $\sin(2x+1)$ 与其导数 | 5.4 节 | 拖 $a$，看导数振幅怎样随内层系数一起变大 |
| 多层复合的逐层拆解 | 5.5 节 | 看 $u=1+x^2$、$\ln u$、$u'=2x$ 三段如何连乘成最终导数 |
| 常见错误对照 | 5.5 节 | 同一点读出三种写法的数值，亲眼看到错法偏了多少 |
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📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学"，可找到多所高校的完整课程录像。"导数公式表与求导法则"这一节通常归在"导数与微分"模块内。
📺 视频平台
在主流视频平台搜索"求导法则""链式法则""复合函数求导"，建议优先选择播放量大、有配套板书讲解的视频。看的时候把例题先暂停、自己写一遍再对照，效率比单纯看讲解高得多。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）第二章：函数的和差积商的求导法则、复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。课后习题建议全部完成，其中复合函数求导（含三层）至少做 5 道。
📌 复习建议：本课最容易被"看懂"骗过去——每条法则都听懂了，一遇到 $(x^2+1)^3\sin 2x$ 这种嵌套与乘积混合的题就乱。建议按这个顺序练：先默写八条基本公式 → 再练五道纯链式法则题（每题写出中间变量 $u$）→ 再练五道乘积与商混合题 → 最后练五道"乘积 + 嵌套"混合题。每类分开集中练，比混在一起做更见效。
5.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉
1️⃣ 下列求导结果中，正确的是哪一个？
A. $(x^3)'=3x^2$，且 $(3^x)'=x\cdot3^{x-1}$
B. $(x^3)'=3x^2$，且 $(3^x)'=3^x\ln 3$
C. $(x^3)'=x^2$，且 $(3^x)'=3^x$
D. $(x^3)'=3x^2$，且 $(3^x)'=3^x$
2️⃣ 设 $y=x^2e^x$，则 $y'=$？
A. $2xe^x$
B. $x^2e^x$
C. $-2xe^x-x^2e^x$
D. $2xe^x+x^2e^x$
3️⃣ 设 $y=\sin(2x+1)$，则 $y'=$？
A. $\cos(2x+1)$
B. $2\cos x$
C. $2\cos(2x+1)$
D. $-2\cos(2x+1)$
4️⃣ 设 $y=\ln(\cos x)$（在 $\cos x\gt0$ 处），则 $y'=$？
A. $\dfrac{1}{\cos x}$
B. $-\tan x$
C. $\tan x$
D. $-\dfrac{1}{\cos x}$
5️⃣ 设 $y=\dfrac{\sin x}{x}$（$x\neq0$），则 $y'=$？
A. $\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$
B. $\dfrac{\cos x}{1}=\cos x$
C. $\dfrac{\sin x-x\cos x}{x^2}$
D. $\dfrac{x\cos x+\sin x}{x^2}$
5.9 数学思维导图 · 本课小结
🧠 导数计算知识思维导图
📘 导数的
计算（一）
基本公式表
- $(C)'=0$
- $(x^a)'=ax^{a-1}$
- $(\sin x)'=\cos x$
- $(\cos x)'=-\sin x$
- $(a^x)'=a^x\ln a$
- $(e^x)'=e^x$
- $(\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}$
- $(\ln x)'=\dfrac1x$
和差法则
- $(u\pm v)'=u'\pm v'$
- 常数因子提到外面
- 多项式逐项求导
- 根式分式先化幂
积与商
- $(uv)'=u'v+uv'$
- 面积增量两块长条
- $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
- 顺序是上导先于下导
- $(uv)'\neq u'v'$
链式法则
- $y'_x=y'_u\cdot u'_x$
- 外层导数 × 内层导数
- 由外向内逐层剥
- 绝不漏乘内层导数
- 多层则逐层连乘
应用与纠错
- 消除速率 $C'=-kC$
- 剂量效应曲线的斜率
- 六类常见错误对照
- 反向传播就是链式法则
✅ 本课小结
📋
八个基本公式必须背下来，它们是全部计算的"砖块"：$(C)'=0$、$(x^a)'=ax^{a-1}$、$(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$、$(a^x)'=a^x\ln a$、$(e^x)'=e^x$、$(\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}$、$(\ln x)'=\dfrac1x$。公式不熟，后面所有法则都会变成事故现场。
➕
和差可以拆开逐项求导，常数因子可以直接提出来：$(u\pm v)'=u'\pm v'$、$(Cu)'=Cu'$。所以多项式求导几乎是机械动作。遇到根式与分式，先改成分数指数或负指数再求导，能少踩很多坑。
✖️
乘积法则要与面积增量一起记住：$(uv)'=u'v+uv'$。面积增量由两块长条与一个小方块组成，令 $\Delta x\to0$ 时小方块是高阶小量，因此只剩两项。$(uv)'=u'v'$ 是错的——取 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 验 $x^2\sin x$ 就能立刻发现差别。
➗
商的法则的两个细节：顺序与减号：$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$。分子是"上导乘下"减去"上乘下导"，分母是 $v$ 的平方。$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'}{v'}$ 是错的，取 $\dfrac{x}{x^2}$ 立刻能验证符号与数值都不对。
⛓️
链式法则是本课红线：$y'_x=y'_u\cdot u'_x$，绝不能漏乘内层导数。"变化的逐级传动"是它最直观的解释；操作上是由外向内逐层剥，每剥一层乘一个因子，层数就是链条长度。自查方法：看答案里有没有内层导数的痕迹——内层是 $ax+b$ 就该带着 $a$。
🩺
医学上真正关心的往往是导数本身：$C(t)=C_0e^{-kt}$ 给出 $C'(t)=-kC(t)$，说明衰减速率与当前浓度成正比；剂量—效应曲线的斜率 $E'(D_0)$ 就是敏感度，斜率大的区间剂量窗口窄。把"看图判断"升级为"算出表达式再比较"，这是本课对医学思维最直接的贡献。
🚀
下节预告：导数的计算（二）——本课解决的是"显式函数"的求导。下一课要处理三类更棘手的情形：反函数求导（由此得到反三角函数的导数公式）、隐函数求导（把 $y$ 看成 $x$ 的函数，对方程两边同时求导）、对数求导法（对付 $x^x$ 这类底与指数都在变的函数，或多因子连乘除），此外还会介绍高阶导数与参数方程求导。