普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
导数的计算（二）
第二章 导数与微分 · 第 6 次课（教学进度表第 8 节）
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
高等数学 C · 授课对象：医学生 · 2 学时
反函数求导 · 隐函数求导 · 对数求导法 · 参数方程求导 · 高阶导数 · $(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$
💭 上课之前 · 请想一想
🧪
一烧杯里混合两种物质，生成物的量由 $y=x^x$ 描述。这个函数的导数怎么算？
幂函数公式要求指数是常数，指数函数公式要求底数是常数——$y=x^x$ 的底数与指数都在变，两个公式一个也用不上。它不是"没得算"，而是需要一件新工具：对数求导法。
📉
心电图上那条曲线，医生想知道它某一点"有多陡"，可你写不出它的解析式
很多实际曲线是参数给出的：横纵坐标分别是另一个变量的函数，比如 $x=x(t)$、$y=y(t)$。还有些曲线只给出一个方程关系（隐函数），解不出 $y$。这些"看不见的函数"，照样能求导数。
✦ 上一课把"复合"这条链打通了，这一课要打通剩下四条路 ✦
🤔 只能写成 $y=f(x)$ 的函数，才能求导吗？
不是。函数有四种常见"写法"，导数的计算也随之有四套配套方法
🔄反函数：图像关于 $y=x$ 对称，斜率互为倒数
🕳️隐函数：方程两边同时对 $x$ 求导，把 $y$ 当成 $x$ 的函数
🔢对数求导：幂指函数 $u^v$ 与多因子连乘除的通用解法
🎢参数方程：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$，逐项相除
🔁高阶导数：一阶之后还有二阶、三阶，直到 $n$ 阶
先看一段动态演示：拖动滑块，同时在两条曲线上移动。原函数曲线上的点与反函数曲线上的点关于直线 $y=x$ 对称，注意观察它们的切线斜率怎么变。
求导的第一课，我们学会了"按公式算"。
这一课要学的是：当函数不肯写成 y = f(x) 时，怎么算。
—— 方法变了，目标没变：仍然是求变化率
🕳️
隐函数求导：不必先解出 y，也能求它的变化率
从"必须先解出显式表达式"到"就地方程两边求导"
这一步把可求导的函数范围大大扩展了
📖 一个绕不开的困难
用解析式表示函数，最自然的方式是写成 $y=f(x)$——给定 $x$ 就能算出 $y$，一切都很直接。可现实里大量关系写不成这个样子：圆、椭圆、双曲线这类曲线，一个 $x$ 往往对应两个 $y$；更复杂的方程，甚至根本解不出来。
于是出现了一个很自然的疑问：既然解不出 $y$，是不是就不能讨论它的变化率了？答案是能——只要在方程两边同时对 $x$ 求导，把 $y$ 看作 $x$ 的函数，求导过程中就会出现 $y'$，最后把 $y'$ 解出来即可。整个过程完全不需要先得到 $y$ 的显式表达式。
⚙️ 为什么"就地方程求导"是划算的
与隐函数求导几乎同时出现的，还有参数方程求导与对数求导法。它们看上去是三件不同的事，其实是同一个思路的三种表现：不必先把函数化简成单一显式公式，只要在原来那种形式下直接求导。
🎯 隐函数求导不解方程，两边直接对 $x$ 求导，再解出 $y'$
🔢 对数求导法先取对数把乘除与乘方降成加减，再求导
🎢 参数方程求导两个式子各自对参数求导，再逐项相除
🔄 高阶导数把导数接着求导，得到变化率的变化率
🧩 一个跨越时代的呼应
值得留意的是，"不必先化简再求导"这个思路在今天有了新的名字。现代机器学习框架在求梯度时并不试图把整个模型写成一条公式，而是在计算图上逐节点就地求导、再按链式法则把结果乘起来——这就是自动微分。它的核心思想，与隐函数求导、参数方程求导一脉相承：局部求导 + 链式相乘，比整体化简更可行。
所以这一课的方法不是"老式技巧"，它恰好是让复杂系统的导数变得可计算的那条路。
上一课我们说复合函数要由外向内逐层剥；这一课把它推广成一句更宽的话：不论函数以什么形式给出，只要能建立起变量之间的联系，就能求出变化率。
四条新路：反函数、隐函数、对数、参数方程——外加一个高阶导数，把"变化率的变化率"也算清楚。
💡 学这一课之前
上一次课我们把"导数的计算"立了起来：基本公式表、四则运算法则，以及最关键的链式法则。有了这三样，任何由基本初等函数经过四则运算与复合构成的函数，都能一层层剥着算。但请回想一下：链式法则的前提是，你能把函数写成 $y=f(x)$ 的样子，并且看得出外层是谁、内层是谁。今天要处理的就是那些"看不出、写不成"的情形。
🔗
一、链式法则仍然是一切的基础
本课四个方法没有一个能离开链式法则。隐函数求导里，$\;y^2$ 求导之所以得到 $2y\cdot y'$，正是因为 $y$ 是 $x$ 的复合函数（外层平方，内层 $y$）；参数方程求导 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ 本身就是链式法则的变形（把 $y$ 看成 $y\!\left(x(t)\right)$ 再约去 $dt$）。上一个课没学扎实，这一课会处处卡住。
🧩
二、四套方法，对应函数的四种"写法"
① 写成 $y=f(x)$ —— 用上一课的基本公式、四则运算、链式法则；② 写成 $F(x,y)=0$ —— 用隐函数求导；③ 写成 $u^v$ 或多项乘除 —— 用对数求导法；④ 写成 $x=x(t),\ y=y(t)$ —— 用参数方程求导。选错方法不是"算不出来"，而是绕远路甚至算不动。
🎯
三、学完之后你应该能做的事
看见 $x^x$、$(\sin x)^x$ 这类幂指函数，不再犹豫直接取对数；看见 $e^y+xy=0$，不问"能不能解出 $y$"，直接两边求导；看见 $y'''$ 或 $y^{(n)}$ 不慌张，知道它只是"再求一次导"；看见 $(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$ 这样的结论，明白它描述的是"每求一次导就向左挪四分之一周期"。
✦ 上一课解决"怎么剥皮"，这一课解决"从哪儿下刀" ✦
6.1 数学文化 · 从"必须先解出来"到"就地求导"
求导有一套很舒服的流程：认外层、认内层、套公式、乘起来。但这套流程有一个隐含前提——函数得先写成 $y=f(x)$ 的样子。现实中的函数常常不这么"听话"。
🕰️ 三种"不听话"的写法
| 写法 | 典型例子 | 如果想"化"成 y = f(x) |
|---|
| 方程形式（隐函数） | $x^2+y^2=4$ | 要开方，得到一个 $x$ 对应两个 $y$ 的分支；$x^3+y^3=3xy$ 这类更复杂，甚至解不出解析式 |
| 幂指形式 | $y=x^x$ | 不是幂函数（指数在变），也不是指数函数（底数在变），没有现成公式可套 |
| 参数形式 | $x=t-\sin t,\ y=1-\cos t$ | 由一个自变量 $t$ 同时决定 $x$ 与 $y$，想消去 $t$ 往往做不到，或得到很丑的式子 |
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🌍 一条统一的思路
三种写法看上去完全不同，解决的思路却是同一个：不要试图先把它改写成标准形式，而是就在原来那种形式下直接求导。
第一种，方程两边同时对 $x$ 求导，把 $y$ 视为 $x$ 的函数，于是求导过程会自动带出 $y'$，最后把 $y'$ 解出来。整个过程根本没有"解出 $y$"这一步。
第二种，先对等式两边取对数，把乘方变成乘法、把乘法变成加法，结构一下子变简单，再求导就轻松了。
第三种，两个式子都各自对参数 $t$ 求导，然后把"纵向变化率"除以"横向变化率"，得到 $y$ 对 $x$ 的变化率。
💡 一句话贯通：这三种方法都在说明同一件事——变化率是局部性质，不需要全局的显式表达式。这也是现代自动微分在计算图上"逐节点求导、再按链式法则相乘"的思想源头。
📌 一个容易混淆的点："隐函数求导"算出来的结果里通常同时含 $x$ 和 $y$，这是正常的、也是允许的。比如由 $x^2+y^2=4$ 得到 $y'=-\dfrac{x}{y}$，它并没有"没算完"——因为在隐函数的情形下，我们本来就承认 $y$ 与 $x$ 通过方程绑在一起。只有在需要具体数值时，才把某个点（同时满足方程的 $x$ 与 $y$）代进去。
⚠️ 另一条红线：本课有两处公式条件必须写清、不许省略。一是 $(\ln|x|)'=\dfrac1x$，它成立的前提是 $x\neq0$；二是反函数求导公式 $[f^{-1}]'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}$，它成立的前提是 $f'(x)\neq0$——分母为零的时候结论直接失效，这一点不是"技术细节"，而是公式的一部分。
6.2 反函数求导 · 反三角函数的导数
反函数求导是最"几何"的一条法则：它把两个互为反函数的曲线放在一起看，然后给出一个非常清爽的关系——斜率互为倒数。
✏️ 公式与几何直观
设 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可导且 $f'(x)\neq0$，其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在对应点 $y$（即 $y=f(x)$）处可导，则
$$[f^{-1}]'(y)=\dfrac{1}{f'(x)},\qquad \text{其中 } y=f(x),\ f'(x)\neq0$$
为什么是倒数？因为 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，关于 $y=x$ 的对称把横纵坐标互换：原曲线上"横走 1、竖走 $k$"的切线，对称之后变成"横走 $k$、竖走 1"，于是斜率由 $k$ 变成 $\dfrac1k$。
一个自然的推论：$f'(x)$ 越大，反函数在该点的切线越平缓。两者是"你陡我平"的关系。
📐 用它推出反三角函数的导数
反三角函数的导数公式，正是反函数求导公式的直接产物。以 $y=\arcsin x$ 为例，逐步推一遍：
| 步骤 | 做什么 | 结果 |
|---|
| 第一步 | 把 $y=\arcsin x$ 反解成熟悉的形式 | $x=\sin y$，其中 $y\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ |
| 第二步 | 两边对 $y$ 求导（看作 $x$ 对 $y$ 的导数） | $\dfrac{dx}{dy}=\cos y$ |
| 第三步 | 用反函数求导公式取倒数 | $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\cos y}$ |
| 第四步 | 把 $\cos y$ 换成 $x$ 的式子：区间上 $\cos y\ge0$ | $\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$ |
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$$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\qquad (-1\lt x\lt1)$$
🔍 第四步为什么只取正号：因为 $y$ 被限制在 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上，在这个区间里 $\cos y\ge0$ 恒成立。这个区间限制不是"随便加的"，它正是为了让 $\sin$ 在这一段上单调，从而反函数存在。这里不存在"取负号"的选择。至于 $\arccos$ 的负号，来源是另一回事：那里把 $x=\cos y$ 对 $y$ 求导，得 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=-\sin y$，负号是 $\cos$ 求导自带出来的（$y\in[0,\pi]$ 上 $\sin y\ge0$，故 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$）。
📋 四个反三角函数的导数（需要背）
| 函数 | 导数 | 定义域 | 记忆要点 |
|---|
| $y=\arcsin x$ | $y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $-1\lt x\lt1$ | 根号在分母，正号 |
| $y=\arccos x$ | $y'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $-1\lt x\lt1$ | 与 $\arcsin$ 只差一个负号 |
| $y=\arctan x$ | $y'=\dfrac{1}{1+x^2}$ | $-\infty\lt x\lt+\infty$ | 没有根号，分母是 $1+x^2$ |
| $y=\operatorname{arccot}x$ | $y'=-\dfrac{1}{1+x^2}$ | $-\infty\lt x\lt+\infty$ | 与 $\arctan$ 只差一个负号 |
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🔍 为什么成对出现负号
在同一区间上 $\arccos x=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x$，而常数求导为 0，所以两者导数正好互为相反数。$\arctan$ 与 $\operatorname{arccot}$ 同理（$\arctan x+\operatorname{arccot}x=\dfrac{\pi}{2}$）。记住一个，另一个加负号。
⚠️ 常见的错法
把 $(\arcsin x)'$ 写成 $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 的"倒数形式"$\sqrt{1-x^2}$，或漏掉根号写成 $\dfrac{1}{1-x^2}$；$\arctan$ 写成 $\dfrac{1}{1-x^2}$。判别办法：把 $x=0$ 代进去，$\arcsin$ 在 0 处斜率应为 1，$\arctan$ 在 0 处斜率也应为 1——错公式在这一代立刻暴露。
📈 动态演示：对称与倒数的关系
下图中紫色曲线是 $y=f(x)$，青色虚线是它的反函数曲线，两条曲线关于灰色直线 $y=x$ 对称。拖动滑块，两个红色切点始终互为对称点——留意它们的斜率数值。
① 公式里的 $x$ 与 $y$ 谁是自变量
这是最容易搞混的地方。公式 $[f^{-1}]'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}$ 中，$x$ 与 $y$ 通过 $y=f(x)$ 成对出现：$x$ 是原函数的自变量，$y$ 是原函数的函数值，同时也是反函数的自变量。所以这句话的准确读法是：在反函数的 $y$ 点处的导数，等于原函数在对应 $x$ 点处导数的倒数。
做题时先做一件事：把"点"配成对。例如求 $(\arcsin x)'$ 在 $x=\dfrac12$ 处的值，对应关系是 $\sin y=\dfrac12$ 取 $y=\dfrac{\pi}{6}$，即原函数 $\sin$ 在 $\dfrac{\pi}{6}$ 处。$( \sin)'=\cos$，$\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$，倒数就是 $\dfrac{2}{\sqrt3}$，与直接代入 $\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac14}}=\dfrac{1}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt3}$ 一致。
② $f'(x)\neq0$ 这个条件为什么不能少
公式右边是一个倒数，分母为零就没有意义。几何上更直观：如果 $f$ 在某点切线水平（$f'=0$），对称过去反函数的切线就是竖直的——那种位置反函数根本不可导。所以"水平切线"的位置，正是反函数"不可导"的位置。
典型例子：$y=\sin x$ 在 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处导数为 0，对应的反函数 $\arcsin x$ 在 $x=1$ 处导数趋于无穷，$x=1$ 不属于开区间 $(-1,1)$——公式 $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 在 $x=\pm1$ 处分母为零，正好把这一点标了出来。
③ 求反函数在某点导数的三步法
第一步：配点。已知反函数在 $y_0$ 处求导，先由 $y_0=f(x_0)$ 解出对应的 $x_0$（有时题目直接给出点）。第二步：算原函数在该点的导数 $f'(x_0)$。第三步：取倒数。结果为 $\dfrac{1}{f'(x_0)}$。整个过程不需要求出反函数的表达式，这正是这个公式最省事的地方。
④ 一个不能忘的提醒：单调性
反函数要存在，原函数必须在讨论的区间上严格单调。求导公式给出的是"在对应点处"的关系，它默认反函数在该点附近存在。做题时若题目给了区间限制（例如 $\arcsin x$ 的取值范围写成 $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$），那不是多余的装饰，而是公式成立的前提之一。
⑤ 自测：一句话验证公式对不对
取 $f(x)=x^3$，$f'(x)=3x^2$。其反函数 $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=8$ 处的导数，按公式应等于 $\dfrac{1}{3x^2}$ 在 $x=2$ 处的值，即 $\dfrac{1}{12}$。直接对 $\sqrt[3]{x}$ 求导得 $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$，代入 $x=8$ 也是 $\dfrac{1}{12}$。两算一致，公式可用。
6.3 隐函数求导 · 不解方程也能求变化率
很多曲线是用方程给出的，而不是用 $y=f(x)$ 给出的。这一节要说清一件事：即使解不出 $y$，仍然能求出 $y$ 对 $x$ 的变化率。
✏️ 什么是隐函数
如果变量 $x$ 与 $y$ 满足一个方程 $F(x,y)=0$，并且在某点附近，对每一个 $x$ 都能唯一确定一个 $y$，那么这实际上隐含地确定了一个函数 $y=y(x)$，只是我们没有把它解出来。这种函数叫隐函数。
常见的两种情形：① 能解但不想解，如 $x^2+y^2=4$，解出来是 $y=\pm\sqrt{4-x^2}$，要分两支，还要判断取哪一支；② 想解也解不出，如 $e^y+xy=0$ 或 $y^5+2y-x=0$（这类方程没有初等的求根公式）。
🧭 隐函数求导的四个标准动作
| 步骤 | 做什么 | 关键点 |
|---|
| 第一步 | 方程两边同时对 $x$ 求导 | 把 $y$ 看成 $x$ 的函数，这一点是全节的核心 |
| 第二步 | 遇到 $y$ 的表达式时，用链式法则带上 $y'$ | $y^2$ 求导得 $2y\cdot y'$；$e^y$ 求导得 $e^y\cdot y'$；$xy$ 求导得 $y+x y'$ |
| 第三步 | 把含 $y'$ 的项移到一边，其余移到另一边 | 提取公因式 $y'$ |
| 第四步 | 解出 $y'$，得到用 $x$ 与 $y$ 表示的表达式 | 结果里含 $y$ 是正常的，不必强行换成 $x$ |
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🔴 本课第一大失分点：对 $y$ 的表达式求导时忘记乘 $y'$。请把它想成链式法则：$y^2$ 的外层是"平方"、内层是 $y$，而 $y$ 又是 $x$ 的函数，所以 $\dfrac{d}{dx}y^2=\dfrac{d}{dy}y^2\cdot\dfrac{dy}{dx}=2y\cdot y'$。漏掉 $y'$，等于把 $y$ 当成常数——整道题立刻作废。
👶 例 1：从圆的方程看切线
求由 $x^2+y^2=4$ 确定的曲线在点 $P(1,\sqrt3)$ 处的切线斜率。注意：这一点同时满足方程，即 $1^2+(\sqrt3)^2=4$，所以它在曲线上、且 $y=\sqrt3\gt0$。
解法一：先解出 y 再求导
由 $y\gt0$ 取上支 $y=\sqrt{4-x^2}$，用链式法则：$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{4-x^2}}\cdot(-2x)=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$。代入 $x=1$ 得 $y'=\dfrac{-1}{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}{3}$。可行，但要先判断取哪一支。
解法二：隐函数求导（推荐）
两边对 $x$ 求导：$2x+2y\cdot y'=0$，于是 $y'=-\dfrac{x}{y}$。代入 $x=1,\ y=\sqrt3$ 得 $y'=-\dfrac{1}{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}{3}$。不必分支、不必开方、不必判断正负。
两种解法结果一致。更重要的是，隐函数求导得到的 $y'=-\dfrac{x}{y}$ 是一个通用结论：圆上任意一点（$y\neq0$）的切线斜率都在这个式子里，取哪一点就代哪一点。切线方程写成点斜式即为 $y-\sqrt3=-\dfrac{\sqrt3}{3}(x-1)$。
👶 例 2：解不出 y 的方程
设 $y=y(x)$ 由 $e^y+xy=0$ 确定，求 $y'$。这个方程没有初等的显式解——用初等函数无法把 $y$ 单独表示出来。但隐函数求导照样能走：
$$e^y\cdot y'+y+x\cdot y'=0\ \Longrightarrow\ y'=-\dfrac{y}{e^y+x}$$
推导要点：$e^y$ 对 $x$ 求导是 $e^y\cdot y'$；$xy$ 是乘积，用乘积法则得 $1\cdot y+x\cdot y'=y+xy'$。把两个含 $y'$ 的项提取公因式并移项，即得上式。
💡 一个检验技巧：把结果代回原方程往往能化简出很漂亮的式子。本题中由原方程可得 $xy=-e^y$，即 $x=-\dfrac{e^y}{y}$，于是分母 $e^y+x=e^y-\dfrac{e^y}{y}=e^y\cdot\dfrac{y-1}{y}$，从而 $y'=-\dfrac{y^2}{e^y(y-1)}=\dfrac{y^2}{e^y(1-y)}$。这类化简在后续课程里会反复用到。
📈 动态演示：隐函数曲线与它的切线
下图是方程 $3x^2+2y^2+2xy=28$ 确定的封闭曲线（一个倾斜的椭圆）。拖动滑块移动切点，注意切线如何随位置改变方向；当切点在竖直切线附近时，观察斜率数值的变化。
① 题型一：求某点处的切线（最常见）
以 $x^2+y^2=25$ 在点 $(3,4)$ 处为例。两边求导得 $2x+2y\cdot y'=0$，故 $y'=-\dfrac{x}{y}$。代入 $(3,4)$ 得斜率 $-\dfrac34$。切线方程：$y-4=-\dfrac34(x-3)$，整理得 $3x+4y=25$。
顺便验证一个细节：圆心在原点的圆，在点 $(3,4)$ 处的半径方向是 $\overrightarrow{OP}=(3,4)$，而切线方向向量为 $(4,-3)$，两者数量积 $3\times4+4\times(-3)=0$，确实垂直。隐函数求导算出来的斜率与几何直觉一致。
② 题型二：求使切线水平的点
切线水平意味着 $y'=0$。仍以 $x^2+y^2=25$ 为例，$y'=-\dfrac xy$，要它为零需 $x=0$ 且 $y\neq0$。把 $x=0$ 代回方程得 $y=\pm5$，所以在 $(0,5)$ 与 $(0,-5)$ 两点处切线水平（这两点正是圆的最高点与最低点）。
注意为什么要附加 $y\neq0$：因为 $y'$ 的表达式里 $y$ 在分母上，$y=0$ 时导数不存在，那里对应的是竖直切线（圆上的 $(5,0)$ 与 $(-5,0)$ 两点，切线确实是竖直的）。"水平点"与"竖直点"是一对，找完一个不妨把另一个也找出来。
③ 为什么"结果里含 y"是正常的
很多同学看到 $y'=-\dfrac xy$ 会下意识想把它换成只含 $x$ 的式子。在隐函数的情形下这样做既麻烦又不必要：由方程解出的 $y$ 是两支（$\pm\sqrt{25-x^2}$），换过去反而丢掉了"在哪个分支上"的信息。而 $-\dfrac xy$ 这个形式对两支都适用，只要代入点的坐标即可。
④ 医学上的直接用处：剂量—效应曲线的斜率
许多剂量—效应关系写成 Hill 形式 $E=\dfrac{E_{\max}D^\alpha}{D^\alpha+K^\alpha}$，其中 $D$ 是剂量、$K$ 是半效剂量。这条曲线常常以"方程形式"出现在建模文献里，而不是写成 $E=E(D)$。求"剂量每增加一点，效应上升多少"就是求它的导数——用对数求导法或直接求导都可以，思路与本节的方程两边求导完全一致。
6.4 对数求导法 · 幂指函数与多因子乘除
这一节解决本课最"别扭"的一类函数：底数和指数同时含自变量的幂指函数，以及一大堆因子连乘连除的复杂式子。方法只有一个动作：先取对数，再求导。
✏️ 为什么 $x^x$ 不能直接套公式
❌ 当成幂函数：$(x^x)'=x\cdot x^{x-1}$
错。幂函数公式 $(x^a)'=ax^{a-1}$ 要求指数 $a$ 是常数。这里指数是 $x$，求导时它也会变，公式的前提被破坏了。
❌ 当成指数函数：$(x^x)'=x^x\ln x$
也错。指数函数公式 $(a^x)'=a^x\ln a$ 要求底数 $a$ 是常数。这里底数是 $x$，同样不满足前提。
🎯 结论：$y=x^x$ 既不是幂函数也不是指数函数，它属于幂指函数 $u^v$（底数与指数都含自变量）。对这类函数，两个公式一个都不能用，必须改用本节的通用方法。这也回答了本节开头的问题：它不是"没公式"，而是"要换方法"。
⭐ 完整过程：用对数求导法求 y = x^x 的导数
设 $y=x^x$（要求 $x\gt0$，因为两边要取对数，对数只对正数有定义）。分五步走：
| 步骤 | 操作 | 结果 |
|---|
| 第一步 | 两边取自然对数 | $\ln y=\ln x^x=x\ln x$ |
| 第二步 | 左边对 $x$ 求导（$y$ 是 $x$ 的函数，用链式法则） | $\dfrac{d}{dx}\ln y=\dfrac{1}{y}\cdot y'$ |
| 第三步 | 右边对 $x$ 求导（乘积法则） | $\dfrac{d}{dx}(x\ln x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1$ |
| 第四步 | 两边相等，解出 $y'$ | $\dfrac{y'}{y}=\ln x+1\ \Longrightarrow\ y'=y(\ln x+1)$ |
| 第五步 | 把 $y=x^x$ 代回，只保留 $x$ | $y'=x^x(\ln x+1)$ |
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$$y=x^x\ \Longrightarrow\ y'=x^x(\ln x+1)\qquad (x\gt0)$$
🔍 第二步是最关键、也最容易漏的一步：左边是 $\ln y$，而 $y$ 是 $x$ 的函数，所以求导必须用链式法则写成 $\dfrac{1}{y}\cdot y'$。如果写成 $\dfrac1y$ 就丢掉了 $y'$，后面的方程就解不出导数了。这与上一节"对 $y$ 的式子求导要乘 $y'$"是同一条法则的两次出现。
✅ 三个可以自己检验的结果
检验一：$x=1$ 处的斜率
$y'(1)=1^1(\ln1+1)=1\times(0+1)=1$。曲线 $y=x^x$ 过点 $(1,1)$，在该点切线斜率为 1。
检验二：极小值在 $x=\dfrac1e$
令 $y'=0$ 得 $\ln x=-1$，即 $x=\dfrac1e$。当 $0\lt x\lt\dfrac1e$ 时 $\ln x+1\lt0$，函数递减；$x\gt\dfrac1e$ 时递增。所以 $x=\dfrac1e$ 是极小值点。
检验三：用 $e$ 的形式重算一遍
$x^x=e^{x\ln x}$，用链式法则立刻得 $y'=e^{x\ln x}\cdot(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$。两条路得到同一个答案。
检验四：$x\to0^+$ 的行为
$x^x=e^{x\ln x}$，而 $x\to0^+$ 时 $x\ln x\to0$，所以 $x^x\to e^0=1$。这说明虽然 $0^0$ 本身无定义，但这条曲线从右侧趋于 1。
🧩 推广：幂指函数 u^v 的通用公式
把上面的过程原封不动地用在一般的幂指函数 $y=u^v$ 上（$u=u(x)\gt0$，$v=v(x)$），就得到一条通用公式：
$$y=u^v\ \Longrightarrow\ y'=u^v\left(v'\ln u+\dfrac{v\,u'}{u}\right)$$
推导只有三步：取对数得 $\ln y=v\ln u$；两边求导得 $\dfrac{y'}{y}=v'\ln u+v\cdot\dfrac{u'}{u}$；两边乘 $y=u^v$ 即得。请不要背成"两个公式相加"，而要记住它的来源——它是"把 $u^v$ 同时当作幂函数与指数函数各求一次导、再相加"，两项分别对应"底数变化的影响"与"指数变化的影响"。
例：$y=x^{\sin x}$（$x\gt0$）
取 $u=x$、$v=\sin x$，则 $u'=1$、$v'=\cos x$。代入公式：$y'=x^{\sin x}\left(\cos x\cdot\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。
例：$y=(1+x^2)^{\tan x}$
取 $u=1+x^2$、$v=\tan x$，得 $u'=2x$、$v'=\dfrac{1}{\cos^2x}$。于是 $y'=(1+x^2)^{\tan x}\left(\dfrac{\ln(1+x^2)}{\cos^2x}+\dfrac{2x\tan x}{1+x^2}\right)$。
📐 现场推一遍这条通用公式
上面的表达式不是"记下来的"，而是三行推出来的。把它写全，以后忘了可以自己重推：
$$\ln y=v\ln u\ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=v'\ln u+\dfrac{v\,u'}{u}\ \Longrightarrow\ y'=u^v\left(v'\ln u+\dfrac{v\,u'}{u}\right)$$
再做一个极限检验：把 $v=a$（常数）、$u=x$、$u'=1$、$v'=0$ 代入，右边变成 $x^a\left(0+\dfrac{a}{x}\right)=ax^{a-1}$——正是幂函数公式；把 $u=a$（常数）、$v=x$、$u'=0$、$v'=1$ 代入，右边变成 $a^x(1\cdot\ln a+0)=a^x\ln a$——正是指数函数公式。这说明幂指函数的通用公式把两个旧公式都包含在内，它是更一般的那一个。
🔢 第二类用途：多因子连乘连除
对数求导法不只是为幂指函数准备的。凡是"很多项相乘、相除"的式子，先取对数就能把乘除降成加减，求导立刻变简单。
例：$y=\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}$（$x\gt4$）
两边取对数：$\ln y=\ln(x-1)+\ln(x-2)-\ln(x-3)-\ln(x-4)$。两边求导：$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-4}$，于是 $y'=y\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-4}\right)$，再把 $y$ 代回原式即可。若直接用商法则，要算四项乘除，极易出错。
条件别忘：对数只对正数有定义
取对数前必须保证每一项都是正的。若某些因子为负，标准做法是写成 $\ln|y|=\ln|x-1|+\ln|x-2|-\ln|x-3|-\ln|x-4|$，最后得到的 $y'$ 表达式形式不变。这背后用到的是$(\ln|x|)'=\dfrac1x$（$x\neq0$）这条公式。
🔴 本课第二条红线：本课要写清楚的两条公式条件——①$(\ln|x|)'=\dfrac1x$，条件是 $x\neq0$；②$[f^{-1}]'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}$，条件是 $f'(x)\neq0$。二者都是公式成立的前提，不是可写可不写的脚注。
📈 动态演示：拆解 y = x^x
下图把 $y=x^x$ 这条曲线画了出来，并按上面五步的顺序标出每一步做了什么。拖动滑块移动参考点，观察曲线在极小值点 $x=\dfrac1e$ 两侧的行为。
6.5 参数方程求导与高阶导数
这一节讲两件事：一是当 $x$ 与 $y$ 都由第三个变量给出时怎么求导；二是对导数再求一次导意味着什么。两件事都建立在前几节和上一课的法则之上。
🎢 参数方程求导
设曲线由 $x=x(t)$、$y=y(t)$ 给出（$t$ 称为参数），且 $x(t)$ 可导、$x'(t)\neq0$。把 $y$ 看成 $y\!\left(x(t)\right)$，用链式法则：
$$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}\ \Longrightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$$
一句话记住：分别对参数求导，然后纵向的除以横向的。这个公式也可以写成更简的形式 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dot y}{\dot x}$，圆点表示对参数 $t$ 求导。
⚠️ 条件是 $x'(t)\neq0$。若在某个 $t$ 处 $x'(t)=0$，说明曲线在该处竖直前进而横向瞬间不动，此时 $\dfrac{dy}{dx}$ 不存在（切线竖直），不能用公式算。
👶 例：椭圆的参数方程
椭圆 $x=3\cos t$、$y=2\sin t$ 在 $t=\dfrac{\pi}{4}$ 处的切线斜率。
| 步骤 | 计算 |
|---|
| 分别对 $t$ 求导 | $\dfrac{dx}{dt}=-3\sin t$，$\dfrac{dy}{dt}=2\cos t$ |
| 作商得导数公式 | $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos t}{-3\sin t}=-\dfrac{2}{3}\cot t$ |
| 代入 $t=\dfrac{\pi}{4}$ | $\cot\dfrac{\pi}{4}=1$，故斜率 $=-\dfrac23$ |
| 写出切点与切线 | 切点 $\left(\dfrac{3\sqrt2}{2},\sqrt2\right)$；切线 $y-\sqrt2=-\dfrac23\left(x-\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)$ |
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👶 例：摆线（旋轮线）
摆线的参数方程是 $x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$（$t$ 为滚动角）。求 $\dfrac{dy}{dx}$。
$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}=\cot\dfrac{t}{2}\qquad (t\neq2k\pi)$$
计算细节：$\dfrac{dx}{dt}=1-\cos t$，$\dfrac{dy}{dt}=\sin t$，作商得 $\dfrac{\sin t}{1-\cos t}$。再用半角公式 $\sin t=2\sin\dfrac t2\cos\dfrac t2$、$1-\cos t=2\sin^2\dfrac t2$ 化简，得到紧致的 $\cot\dfrac t2$。
💡 为什么 $t\neq2k\pi$：那里 $1-\cos t=0$，即 $x'(t)=0$，曲线在那些点出现尖点（切线竖直），斜率不存在。对摆线来说，这些点正是轮子接触地面的位置——曲线在那儿"停一下再折回来"，本来就没有唯一的切线方向。
🔁 高阶导数：对导数再求导
导函数 $f'(x)$ 本身也是 $x$ 的函数，如果它还能求导，就可以接着求下去。这就是高阶导数。
| 名称 | 记号 | 含义 |
|---|
| 一阶导数 | $y'$、$f'(x)$、$\dfrac{dy}{dx}$ | 函数自身的变化率（曲线的切线斜率） |
| 二阶导数 | $y''$、$f''(x)$、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ | 斜率的变化率——曲线"弯曲"的剧烈程度 |
| 三阶导数 | $y'''$、$f'''(x)$、$\dfrac{d^3y}{dx^3}$ | 再求一次导；三阶以上一般写成 $y^{(4)}$ |
| $n$ 阶导数 | $y^{(n)}$、$f^{(n)}(x)$、$\dfrac{d^ny}{dx^n}$ | 求导 $n$ 次的结果；$n\ge4$ 时括号不能省 |
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⭐ 几个必须记住的 n 阶导数（本课重点）
$$(e^x)^{(n)}=e^x,\qquad (\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$$
$$(x^n)^{(n)}=n!,\qquad \left(\dfrac1x\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$$
🔄 $e^x$：怎么求都不变
$(e^x)'=e^x$，所以无论求多少次导，结果都是 $e^x$ 本身。这是唯一具有"求导保持不变"性质的函数（常数倍除外）。
🌊 $\sin x$：每求一次导挪四分之一周期
$( \sin x)'=\cos x$，而 $\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以每求一次导，就相当于把正弦曲线向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$。求 $n$ 次就是平移 $n\dfrac{\pi}{2}$。
📉 多项式：迟早变成 0
$(x^n)^{(n)}=n!$（常数），再求一次导就是 0。所以 $n$ 次多项式的 $n+1$ 阶导数恒为 0。反过来说：若一个函数的 $n+1$ 阶导数恒为零，则它必是次数不超过 $n$ 的多项式。注意阶数要对齐——$x^n$ 的 $n$ 阶导数是 $n!$（常数，不为零），要到 $n+1$ 阶才变成 0。
🎯 $\dfrac1x$：符号按奇偶交替
$\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$，$\left(\dfrac1x\right)''=\dfrac{2}{x^3}$，$\left(\dfrac1x\right)'''=-\dfrac{6}{x^4}$——分子是阶乘、分母幂次每次加一、符号由 $(-1)^n$ 控制。
再补两条常用的：
$$(\ln x)^{(n)}=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}\qquad (n\ge1),\qquad (a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n$$
以及乘积的 $n$ 阶导数公式（莱布尼茨公式），它与二项式展开的形状完全相同，系数是组合数：
$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)}$$
💡 为什么 $(x^2\sin x)''$ 这类题用它更快：取 $u=x^2$、$v=\sin x$。因为 $u$ 求三次导就变成 0，所以展开式里只剩前三项，计算量骤减。这是"多项式 × 三角函数"型高阶导数的标准做法。
🎢 参数方程的二阶导数
参数方程的二阶导数不能简单地把两个二阶导数相除，必须按下面的方式理解：$\dfrac{dy}{dx}$ 仍然是 $t$ 的函数，要求它再对 $x$ 求导，就得再用一次参数方程求导公式。
$$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$$
🔴 记住这个"再除一次"的结构：很多同学直接写 $\dfrac{y''(t)}{x''(t)}$，那是错的。正确的做法是先把一阶导算成 $t$ 的函数，再对它求一次 $t$ 的导，最后除以 $x'(t)$。以摆线为例：$\dfrac{dy}{dx}=\cot\dfrac t2$，对 $t$ 求导得 $-\dfrac12\cdot\dfrac{1}{\sin^2(t/2)}$，再除以 $x'(t)=1-\cos t=2\sin^2\dfrac t2$，得 $\dfrac{d^2y}{dx^2}=-\dfrac{1}{4\sin^4(t/2)}$。
📈 动态演示：参数曲线的切向量
下图是参数曲线 $x=2\cos t+\cos 2t$、$y=2\sin t+\sin 2t$（一条三尖瓣曲线）。拖动滑块让点沿曲线运动，红色箭头表示切向量，数值标注即为 $\dfrac{dy}{dx}$。
📈 动态演示：sin x 的各阶导数规律
下图同时画出 $\sin x$ 与它的前几阶导数。拖动滑块切换阶数，观察曲线如何一步步向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$——这正是公式 $(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的直观含义。
📈 动态演示：二阶导数看凹凸
一阶导给出切线，二阶导给出曲线"往哪边弯"。下图中拖动切点，背景颜色随二阶导的符号变化——绿色区间向上凹（$f''\gt0$），红色区间向下凹（$f''\lt0$）。
① 一阶导、二阶导、三阶导分别在说什么
一阶导 $f'$ 说的是"函数在增加还是减少、增加得多快"，几何上是切线斜率。二阶导 $f''$ 说的是"斜率自己在怎么变"，几何上是曲线的弯曲方向与弯曲程度：$f''\gt0$ 时曲线向上凹（俗称"下凸"），$f''\lt0$ 时向下凹。三阶导及以上不再有简单的几何图像，但它们在物理与近似计算中仍然有用——例如把函数在一点附近展开成幂级数时，第 $n$ 阶导数恰好决定 $n$ 次项的系数。
② "阶数越高越光滑"这句话怎么理解
光滑不是"看起来平滑"，而是一个可以用阶数逐级验收的条件：函数连续，是第 0 级；$f'$ 存在，说明曲线处处有切线，是第 1 级；$f''$ 存在，说明切线的方向在连续地转动，曲线不会突然"拐弯"，是第 2 级；依此类推，$n$ 阶导数存在且连续，就说明曲线在 $n$ 个层次上都没有突变。
这解释了为什么工程与医学建模中偏爱"高阶可导"的函数：一阶可导只保证不突然跳、不突然折，二阶可导才保证加速度也不突变。比如给药后血药浓度的变化，如果只要求浓度连续（第 0 级），允许浓度曲线出现折角；若进一步要求浓度变化速率也连续（二阶可导），就排除了"速率瞬间跳变"的生理上不合理的模型。
③ 一个反例：连续但处处不可导
阶数这件事不是"求几次就一定还能求"。"连续"与"可导"是两回事：连续只排除了断裂，不保证有切线。前面提到过的那条处处连续、处处不可导的曲线，就是"第 0 级满足、第 1 级全不满足"的极端例子。所以"阶数越高越光滑"描述的是趋势，而不是"多求几次就一定能求下去"的保证。
④ 医学与工程里的二阶导数
位移对时间的一阶导是速度，二阶导是加速度——这是最熟悉的例子。生理上常关心二阶导的场合包括：血压波形的加速度（用于评估血管弹性）、体温曲线拐点（用于判断发热是否被控制）、剂量—效应曲线的曲率（用于判断效应是否已接近饱和）。二阶导的符号告诉你是"越升越快"还是"越升越慢"，这在判断趋势何时反转时非常有用。
6.6 医学建模中的求导 · 数学与 AI
本课四个方法在医学与人工智能里都有直接对应的场景。这一节把它们放在一起，看"看不见的函数也能求导"这句话到底解决什么问题。
💊 医学建模：三种"写不成 y=f(x)"的真实情形
| 场景 | 为什么写不成显式形式 | 本课用哪个方法 |
|---|
| 剂量—效应关系 $E=\dfrac{E_{\max}D^\alpha}{D^\alpha+K^\alpha}$ | 式子本身含幂与商，直接求导计算量大、易出错 | 对数求导法（取对数后变成 $\ln E=\ln E_{\max}+\alpha\ln D-\ln(D^\alpha+K^\alpha)$） |
| 由方程隐含确定的关系 $e^{-kC}+\cdots=0$ | 浓度与时间通过方程绑定，解不出 $C(t)$ 的解析式 | 隐函数求导 |
| 生理信号 $x=x(t),\ y=y(t)$（如心电图的相位描述） | 两个坐标分别由相位参数给出，消去参数会得到很复杂的式子 | 参数方程求导 |
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📐 一个可算到底的医学例子：米氏方程
酶促反应速率的米氏方程写成 $v=\dfrac{V_{\max}S}{K_m+S}$，其中 $S$ 是底物浓度、$V_{\max}$ 是最大反应速率、$K_m$ 是米氏常数。它是显式形式，但用对数求导法算它的导数，比直接套商法则更省事，也更能看出结构。
| 步骤 | 操作（假设 $S\gt0$ 及各参数为正） | 结果 |
|---|
| 第一步 | 两边取对数并拆开乘除 | $\ln v=\ln V_{\max}+\ln S-\ln(K_m+S)$ |
| 第二步 | 两边对 $S$ 求导 | $\dfrac{v'}{v}=0+\dfrac1S-\dfrac{1}{K_m+S}$ |
| 第三步 | 整理右边 | $\dfrac1S-\dfrac{1}{K_m+S}=\dfrac{K_m}{S(K_m+S)}$ |
| 第四步 | 两边乘 $v$ 并代回 | $v'=\dfrac{V_{\max}S}{K_m+S}\cdot\dfrac{K_m}{S(K_m+S)}=\dfrac{V_{\max}K_m}{(K_m+S)^2}$ |
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🔬 结论怎么读
$v'=\dfrac{V_{\max}K_m}{(K_m+S)^2}$ 恒为正，说明反应速率随底物浓度单调增加；随着 $S$ 增大，分母变大，$v'$ 变小，说明增加得越来越慢——这就是"饱和"的数学表现。
🔬 二阶导再给一层信息
再求一次导得 $v''=-\dfrac{2V_{\max}K_m}{(K_m+S)^3}\lt0$。二阶导恒为负，说明曲线始终向下凹——上升的速度一直在减小，永远不会出现"越加越快"的区间。这一条结论用一次求导是看不出来的。
🩺 三条可检验的医学结论
① 什么时候增加剂量最划算
由 $v'$ 的表达式可知，$S$ 越小，$v'$ 越大；当 $S=K_m$ 时 $v'=\dfrac{V_{\max}}{4K_m}$。这意味着在低浓度区间，同样的剂量增量带来的效应增量更大；浓度越高，同样的增量越"不划算"。临床上调整剂量时，这一条解释了为什么在饱和区加量收效甚微。
② 隐函数求导解决"解不出的浓度关系"
若稳态关系写成方程形式 $C^{n}+aC-b=0$（$a,b$ 为正常数），要问"参数变化时浓度怎么变"，不必解出 $C$：两边对参数求导，把 $C$ 当作参数的函数即可。这与本节 6.3 的四个标准动作完全一样。
③ 参数方程描述周期性生理信号
心电、呼吸这类周期信号常写成相位参数的形式 $x=x(\varphi)$、$y=y(\varphi)$。要研究"横轴前进一点时纵轴上升多快"，正是 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\varphi}{dx/d\varphi}$。当 $x'(\varphi)=0$ 时切线竖直，对应的正是信号里"瞬时跳变"的位置——这类位置在临床上往往是有意义的特征点。
🤖 数学与 AI：本课方法在机器学习里的位置
训练一个神经网络，本质上是在做一件事：求出损失函数对每一个参数的导数（梯度），然后沿着导数的反方向一小步一小步地改进参数。而这些导数是怎么算出来的，与这一课讲的方法直接相关。
🧩 自动微分：计算图上的链式法则
框架并不把整个模型写成一个巨大公式再去求导，而是把每一步运算记成图中的节点，逐节点就地求导，再按链式法则把局部导数乘起来。这与隐函数求导、参数方程求导的"就地求导"是同一个思路。
🔢 对数求导法的现代身影
工程实现里大量使用"对数域计算"：把连乘变成连加，既避免上溢下溢，又让求导变简单。交叉熵损失、对数似然这些名字本身就说明，模型里到处都在用取对数这个动作。
🔄 高阶导数：二阶信息与曲率
二阶导数描述函数曲率，二阶优化方法（如牛顿法一类）就用曲率信息决定步长，理论上收敛更快，但计算量与存储量都更大。所以实践中一阶方法（基于梯度的）反而更常用——这是理论效率与实现代价之间的取舍。
🎯 实践含义
求导方法决定了"哪些模型能被训练"。凡是可以用计算图表达、且各节点导数存在的地方，梯度就能算出来；凡是引入了不可导步骤（硬阈值、取整、离散采样）的地方，梯度就会中断，必须改造成可导的近似（软阈值、重参数化）。"能不能求导"是模型设计的一个硬约束。
🔍 必须分清的一点：这一课的方法保证的是"导数的计算正确"，它不保证"沿导数方向走就一定能找到最优解"。梯度只给出局部信息，学习率、初始化、非凸性都会影响结果。把"会求导"当成"模型一定能训好"，与把"连续"当成"模型没问题"是同一类错误——都是把必要条件当成了充分条件。
6.7 拓展资源 · 自主加练
本课配有一条知识短片（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容：为什么要学新的求导方法 → 反函数求导与反三角函数 → 隐函数求导四步法 → 对数求导法与 y=x^x 的完整过程 → 参数方程求导 → 高阶导数与 sin x 的 n 阶导数 → 医学中的剂量—效应与米氏方程 → AI 里的自动微分。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
| 演示 | 位置 | 看什么 |
|---|
| 反函数与对称点 | 开场（6.0 之前） | 拖动滑块，看两条曲线上的切点如何关于 $y=x$ 对称 |
| 反函数斜率互为倒数 | 6.2 节 | 比较两处切线斜率的数值，验证乘积为 1 |
| 隐函数曲线与切线 | 6.3 节 | 让切点沿椭圆移动，找一找切线水平与竖直的位置 |
| $y=x^x$ 的曲线与极小值 | 6.4 节 | 拖动参考点，观察 $x=\dfrac1e$ 两侧的增减变化 |
| 参数曲线的切向量 | 6.5 节 | 看切向量箭头方向与 $\dfrac{dy}{dx}$ 数值的对应关系 |
| $\sin x$ 的各阶导数 | 6.5 节 | 切换阶数 $n$，观察曲线每次向左平移四分之一周期 |
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📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学"，可找到多所高校的完整课程录像。"隐函数求导""参数方程求导""高阶导数"通常归在"导数与微分"模块内。
📺 视频平台
在主流视频平台搜索"隐函数求导""对数求导法""莱布尼茨公式"，建议优先选择有配套板书、且把每一步"为什么"说清楚的视频。看的时候务必自己动手抄一遍 $y=x^x$ 的五步过程。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）第二章：反函数与复合函数的求导法则、隐函数的导数、参数方程所确定函数的导数、高阶导数。课后习题建议全部完成，其中隐函数求导与对数求导的题目各至少做 5 道。
📌 复习建议：本课的方法多、每种的"起手式"不同，最容易出现的问题是"拿到题不知道该用哪个方法"。建议按下面的顺序练：先按方法分类各做 5 道（认准起手式）→ 再做混合题（题目不给提示，自己判断用哪种方法）→ 最后练"算完自检"。自检的两个动作很有效：一看结果里是否出现了漏乘的 $y'$，二把答案代入原方程或取特殊点验证。
6.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉
1️⃣ 设 $y=\arcsin x$，则 $y'=$？
A. $\dfrac{1}{1+x^2}$
B. $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
C. $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
D. $\sqrt{1-x^2}$
2️⃣ 由方程 $x^2+y^2=25$ 确定的曲线在点 $(3,4)$ 处的切线斜率为？
A. $\dfrac34$
B. $-\dfrac34$
C. $-\dfrac43$
D. $\dfrac43$
3️⃣ 设 $y=x^x$（$x\gt0$），则 $y'=$？
A. $x^x\ln x$
B. $x^x(\ln x+1)$
C. $x\cdot x^{x-1}$
D. $x^x(\ln x-1)$
4️⃣ 设 $x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$，则 $\dfrac{dy}{dx}=$？
A. $\dfrac{1-\cos t}{\sin t}$
B. $\dfrac{\sin t}{1+\cos t}$
C. $\dfrac{\sin t}{1-\cos t}$
D. $-\dfrac{\sin t}{1-\cos t}$
5️⃣ 设 $y=\sin x$，则 $y^{(n)}=$？
A. $\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$
B. $\cos\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$
C. $\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{4}\right)$
D. $n\sin x$
6.9 数学思维导图 · 本课小结
🧠 导数计算方法思维导图
📘 导数的
计算（二）
反函数求导
- 公式：$[f^{-1}]'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}$
- 图像关于 $y=x$ 对称
- 斜率互为倒数
- 条件：$f'(x)\neq0$
隐函数求导
- 两边同时对 $x$ 求导
- $y$ 看作 $x$ 的函数
- $y^2$ 求导得 $2y\cdot y'$
- 解出 $y'$ 即可
对数求导法
- 先取对数把乘降成加
- 幂指函数 $u^v$ 必用
- $y=x^x\Rightarrow y'=x^x(\ln x+1)$
- 多因子乘除也适用
参数方程
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$
- 条件：$x'(t)\neq0$
- 二阶导要再除一次
- 尖点处切线竖直
高阶导数
- $(e^x)^{(n)}=e^x$
- $(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$
- $(x^n)^{(n)}=n!$
- 莱布尼茨公式
✅ 本课小结
🔄
反函数求导的本质是"切斜率取倒数"：因为两条曲线关于 $y=x$ 对称，对称把横纵互换。公式 $[f^{-1}]'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}$ 的分母不能为零，所以原函数水平切线之处，正是反函数不可导之处。四个反三角函数导数由此而来，$\arcsin$ 与 $\arccos$、$\arctan$ 与 $\operatorname{arccot}$ 各差一个负号。
🕳️
隐函数求导：不解出 y，也能求出 y'。做法是方程两边同时对 $x$ 求导，把 $y$ 当作 $x$ 的函数，于是 $y^2$ 求导得 $2y\cdot y'$、$e^y$ 求导得 $e^y\cdot y'$、$xy$ 求导得 $y+xy'$，最后解出 $y'$。结果里同时含 $x$ 与 $y$ 是正常的。
🔴
最大的两个失分点必须背下来：一是对 $y$ 的表达式求导漏乘 $y'$（等于把 $y$ 当常数，整题作废）；二是取对数前没检查正负、忘了两条公式条件——$(\ln|x|)'=\dfrac1x$ 要求 $x\neq0$，$[f^{-1}]'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}$ 要求 $f'(x)\neq0$。
🔢
幂指函数 $u^v$ 既不是幂函数也不是指数函数，两个旧公式一个都不能用，必须取对数求导。$y=x^x$ 的五步过程要能默写，结论 $y'=x^x(\ln x+1)$ 要能立刻说出；通用公式 $y'=u^v\left(v'\ln u+\dfrac{v u'}{u}\right)$ 把幂函数与指数函数两个旧公式都包含在内。
🎢
参数方程求导是"纵除以横"：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$，条件是 $x'(t)\neq0$。二阶导数不能简单相除，必须先求出一阶导（作为 $t$ 的函数），再对 $t$ 求导、最后除以 $x'(t)$——"再除一次"这个结构不能忘。
🔁
高阶导数把"变化率的变化率"也算清楚：$(e^x)^{(n)}=e^x$；$(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right)$（每求一次导向左挪四分之一周期）；$(x^n)^{(n)}=n!$，多项式求够次数就归零；$\left(\dfrac1x\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}$。乘积的高阶导用莱布尼茨公式，与二项式展开同形。
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医学与 AI 里这些方法都在用：剂量—效应曲线与米氏方程用对数求导法最省事（并可算出 $v'=\dfrac{V_{\max}K_m}{(K_m+S)^2}$，解释"饱和"）；解不出的浓度方程用隐函数求导；周期性生理信号用参数方程求导。机器学习的自动微分同样是"就地求导 + 链式相乘"，与隐函数、参数方程的思路一脉相承。
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下节预告：微分的概念及应用——导数刻画的是"变化率"，而微分要回答另一个问题：自变量变化一点点时，函数值大约会变化多少？我们会给出 $dy=f'(x)dx$，说明 $dy$ 与 $\Delta y$ 差在哪里，并由此得到 $\sin x\approx x$、$\ln(1+x)\approx x$ 这类近似公式，以及在医学中对小幅度扰动做线性估计的做法。