普 通 高 等 教 育“十 一 五”国 家 级 规 划 教 材
微分的概念及应用
第二章 导数与微分 · 第 7 次课
教材：《医科高等数学》第四版（张选群 主编）
高等数学 C · 授课对象：医学生 · 2 学时
$\Delta y=dy+o(\Delta x)$ · $\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$ · 可微 $\iff$ 可导 · 一阶微分形式不变性 · $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$
💭 上课之前 · 请想一想
💊
医生把剂量从 100 毫克微调到 102 毫克，血药浓度会变成多少？
如果每调一次都去解一遍复杂的药动学方程，临床上根本来不及。实际上大家都是按"每毫克能升多少浓度"线性地估一估——这就是今天要讲的微分：用一个线性量去替代真实的非线性增量。
📏
为什么工程手册里敢写 $\sin x\approx x$（$x$ 很小时）？
因为当 $x$ 足够小的时候，$y=\sin x$ 这条曲线和它在原点的切线 $y=x$ 几乎重合。用切线代替曲线，是数学里最古老、也最省力的一招。今天我们要给它一个严格的说法：换掉之后，误差到底有多大。
✦ 带着这两个问题，进入今天的主角 ✦
🤔 增量 $\Delta y$ 能不能拆成"主要部分 + 一小块可忽略的渣"？
上一课把变化率算清楚了——那么"变化量"本身呢？
✂️拆分：$\Delta y=$ 线性主部 $+$ 高阶无穷小
📐几何：主部就是切线上的纵坐标增量
🔁等价：一元函数里可微 ⟺ 可导
🧰应用：近似计算、误差估计、换元积分的地基
先看一段动态演示：拖动滑块把 $x_0$ 附近的曲线放大，盯住那两根竖线段——长的那个是 $\Delta y$，也就是曲线上的增量；短的那个是 $\mathrm{d}y$，也就是切线上的增量。
"以直代曲"不是偷懒，而是把问题降级：
非线性换成线性，误差控制在高阶无穷小以内。
—— 一条贯穿整个微积分的方法论
📐
以直代曲：人类最耐用的一招
从量地、造轮子，到解方程、算积分，凡是遇到不好算的曲线，
先拿一段直线顶上去——这不是近似凑合，而是一种可证明的方法
📖 为什么"直线"这么有吸引力
直线的脾气最好：只要知道它经过哪一点、倾斜多少，就能把它在任何位置的纵坐标写成一个一次式。曲线就难对付得多——函数值要一个个算，有时候甚至没有初等表达式。
于是有一个极其自然的策略：在你要研究的那个点附近，用曲线在该点的切线去顶替曲线本身。顶替得好不好，取决于两件事——离这个点有多远，以及曲线的弯曲程度有多剧烈。前者就是 $\Delta x$，后者则被导数与高阶导数记录着。
🧭 有方向切线的倾斜由 $f'(x_0)$ 给出，替代方案不是随便挑的
✂️ 能拆分$\Delta y$ 被拆成线性主部 $\mathrm{d}y$ 与高阶无穷小，各归各位
📉 可估计误差是 $o(\Delta x)$：$\Delta x$ 缩小，误差缩得更快
♻️ 可复用同一招能反复叠加，演化出泰勒公式、数值求解与最优化算法
🕰️ 从"差不多"到"有据可依"
用直线代替曲线，古已有之——量不规则的地块时把边界拉直，造轮子时把圆周一段段近似成直线，都是同一个念头。但古人能凭的只有手感：误差到底有多大，说不清，也没法证明。
17 世纪，牛顿与莱布尼茨各自独立建立微积分，把变化率与变化量写成了可以运算的符号；导数的出现，让"该取哪条直线"变成了一件有唯一答案的事情——取切线，而不是随口拉一条直线。
不过最初那套符号里的 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 到底是什么，长期引起争论：它们是无穷小量吗？如果是，一个无穷小量的平方又算什么？直到 19 世纪，数学家用极限把微分重新定义为"增量的线性主部"——$\Delta y=A\,\Delta x+o(\Delta x)$ 里的那个 $A\,\Delta x$。争论到此消解：不谈无穷小的玄妙，只谈一个可以逐条检验的等式。
上一课我们问的是"变多快"（导数）；这一课问的是"变了多少，能不能估"（微分）。
答案可以浓缩成一句：变化的量 ≈ 变化率 × 自变量的改变量，误差是高阶无穷小。
💡 学这一课之前
上一课我们学会了求导，也知道了导数的几何意义是切线斜率。但导数的定义式里藏着一个比值：$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$。极限只告诉我们"这个比趋于一个数"，它并没有直接告诉我们 $\Delta y$ 本身等于多少。今天要做的，就是把这个比值还原成一句关于增量的等式——这一步还原，就是微分。
🔗
一、从"比值"到"等式"
既然 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(x_0)$，那么两者之差就是一个趋于 0 的量。把这句话写成乘法：$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha\,\Delta x$，其中 $\alpha\to0$。换句话说，$\Delta y$ 的大小几乎完全由 $f'(x_0)\Delta x$ 决定，剩下的部分虽然不为零，但它比 $\Delta x$ 小得多。
🩺
二、为什么医学生必须学它
临床上的大多数判断题，都不是"从零到一"的大变化，而是在某个工作点附近的小调整：剂量加一点、通气量调一点、滴速改一点，血药浓度或指标会怎么走？这类问题的标准答法就是微分：变化量约等于导数乘改变量。导数在这里的角色，正是"灵敏度"——每改变一个单位，输出跟着动多少。
🎯
三、本课的四条主线
①定义：$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，微分为 $\mathrm{d}y=A\,\Delta x=f'(x)\mathrm{d}x$；②几何：$\mathrm{d}y$ 是切线上的纵坐标增量，$\Delta y-\mathrm{d}y=o(\Delta x)$；③运算：微分四则运算法则 + 一阶微分形式不变性；④应用：近似计算与误差估计，落点在医学的线性小扰动估计。
✦ 上一课算"斜率"，这一课算"变化量"——两者共用同一个 $f'(x_0)$ ✦
7.1 数学文化 · 一个符号引发的争论
微积分里最有名的符号大概是 $\mathrm{d}y$ 与 $\mathrm{d}x$。它好用得让人上瘾：可以直接约、可以搬来搬去、可以两边同乘同除。但它究竟是什么，却让数学家争论了将近两百年。
🕰️ 一条从"无穷小"到"线性主部"的路
| 阶段 | 人们怎么理解 $\mathrm{d}y$、$\mathrm{d}x$ | 留下的问题 |
|---|
| 几何切线阶段 | 先有切线的直观：曲线在一点附近"几乎是一条直线" | "几乎"是多重？没有可计算的判据 |
| 无穷小阶段 | 把 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 当成"比任何正数都小的量"，靠它们做运算 | 无穷小量本身是什么？为什么可以舍去高阶项？推理被质疑 |
| 极限阶段 | 用 $\Delta x\to0$ 的极限定义导数，避开无穷小的表述 | 导数有了，但"变化量"本身还没有独立的说法 |
| 线性主部阶段 | 直接定义 $\Delta y=A\,\Delta x+o(\Delta x)$，把 $A\,\Delta x$ 叫作微分 | 表述严格、可检验；与导数等价的关系也随之明朗 |
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🌍 争论的焦点：$\Delta x$ 到底能不能"舍去"
早期微积分的一个标准操作是：算出一个含 $\Delta x$ 与 $(\Delta x)^2$ 的式子，然后把带 $(\Delta x)^2$ 的项直接划掉。这样做结果总是对的，但理由说不圆——既然 $\Delta x$ 不是零，凭什么能划掉它？如果它是零，又怎么能拿它做除数？
今天的处理方式绕开了这个尴尬。我们不宣布任何量"是零"，而是说清楚谁比谁小得更快：$\Delta y$ 与 $A\,\Delta x$ 的差在 $\Delta x\to0$ 时是比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小，记作 $o(\Delta x)$。这样一来，"舍去"就变成了一句可以证明的话——舍掉的那部分与保留的那部分相比，比值趋于零。
✒️ 记号的力量：$\mathrm{d}y=f'(x)\,\mathrm{d}x$ 把"导数"与"自变量改变量"分成两个独立的因子。这个看似多余的写法，正是后面换元积分法、微分方程中"分离变量"能够机械执行的底气——$\mathrm{d}x$ 在这些运算里真的像一个可以参与乘除的因子那样被使用。
📌 一个必须记住的分工：导数描述"变化的快慢"，是一个比值（因此无量纲化之后就是"每单位变化多少"）；微分描述"变化的多少"，是一个量（带有与函数值相同的量纲）。临床上"每增加 1 毫克剂量、血药浓度上升多少"是导数；"这次调整 2 毫克、浓度大约上升多少"才是微分。两者用同一个数 $f'(x_0)$ 串起来，但回答的是两个不同的问题。
7.2 微分的定义 · 可微与可导等价 · 本课重点
定义微分的思路只有一句话：把 $\Delta y$ 拆成"线性主部 + 一小块渣"。拆得干净利落，就叫可微。
✏️ 定义
设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 与 $x_0+\Delta x$ 都在这个区间内。如果函数的增量
$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$
可以表示成
$$\Delta y=A\cdot\Delta x+o(\Delta x)$$
其中 $A$ 是与 $\Delta x$ 无关的常数，$o(\Delta x)$ 是当 $\Delta x\to0$ 时比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，那么称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，并称 $A\cdot\Delta x$ 为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的微分，记作 $\mathrm{d}y$，即
$$\mathrm{d}y=A\cdot\Delta x$$
💡 定义里最要紧的四个字：与 $\Delta x$ 无关。系数 $A$ 只跟"在哪个点"有关，不随你给多大的 $\Delta x$ 而变。正因为如此，$\mathrm{d}y=A\Delta x$ 才是 $\Delta x$ 的一次函数——线性，是它能被轻松计算的全部原因。
🔗 定理：$A=f'(x_0)$，于是 $\mathrm{d}y=f'(x_0)\mathrm{d}x$
由可微的定义式两边除以 $\Delta x$（$\Delta x\neq0$）：
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$
令 $\Delta x\to0$，右端第二项趋于 0（这正是 $o(\Delta x)$ 的含义），于是左端的极限存在且等于 $A$。这就证明了：可微的系数 $A$ 只能是 $f'(x_0)$。
反过来，若 $f$ 在 $x_0$ 可导，记 $\alpha=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)$，则 $\alpha\to0$，于是 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x$。而 $\alpha\Delta x$ 确实是 $o(\Delta x)$（因为它除以 $\Delta x$ 后等于 $\alpha\to0$），所以 $f$ 在 $x_0$ 可微。两条方向合起来，得到本课最重要的结论：
$$f(x)\ \text{在}\ x_0\ \text{可微}\iff f(x)\ \text{在}\ x_0\ \text{可导}$$
⚠️ ★红线 · 这条等价关系只对一元函数成立。"可微 ⟺ 可导"是一元微积分特有的简化，靠的是"自变量只有 $x$ 一个方向可以靠近"。多元函数里这两件事不再等价——偏导数存在都推不出可微。所以现在可以放心地把"求微分"和"求导数"看成同一件事的两个面孔：会求导，就会求微分，只要再乘一个 $\mathrm{d}x$。
📌 自变量的微分与函数的微分
对 $y=x$ 用上面的公式：$\mathrm{d}y=(x)'\mathrm{d}x=1\cdot\mathrm{d}x$，即
$$\mathrm{d}x=\Delta x$$
也就是说，自变量的微分就等于自变量的增量。这不是巧合，而是上面的推导逼出来的：对恒等函数而言，$\Delta y$ 恰好就是 $\Delta x$，线性主部当然也只能是它。于是 $\mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x$ 可以写成更对称的形式：
$$\mathrm{d}y=f'(x_0)\,\mathrm{d}x$$
这个式子就是微分学里最常用的一个等式。它也顺便给导数记号 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 补上了"名分"：它不再只是一个整体记号，而是两个微分之商。
📈 动态演示：切线近似与真实曲线的差距
下图画出曲线 $y=\sin x$ 与它在 $x_0$ 处的切线。拖动 $x_0$ 改变切点，滑块同时给出 $\Delta x$ 处的 $\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$：只要 $\Delta x$ 不大，两者就非常接近。
① 为什么要求 $A$ 与 $\Delta x$ 无关
如果允许 $A$ 随 $\Delta x$ 变化，那么任何函数都可以"可微"：取 $A=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$，$\Delta y=A\Delta x$ 恒成立，误差是 0。这样的定义毫无信息量。要求 $A$ 是常数，等于要求"$\Delta y$ 与 $\Delta x$ 的比值在你退向 0 的过程中稳定下来"——这正是导数存在的意思。
② $o(\Delta x)$ 到底是什么
$o(\Delta x)$ 不是某个具体的函数，而是一类函数的统称：凡是在 $\Delta x\to0$ 时满足 $\dfrac{\text{它}}{\Delta x}\to0$ 的，都记作 $o(\Delta x)$。所以 $\Delta y-\mathrm{d}y$ 是 $o(\Delta x)$ 的意思是：当 $\Delta x$ 缩小时，这个差不仅趋于 0，而且相对 $\Delta x$ 而言越来越微不足道。换成能听懂的话：$\Delta x$ 缩小到原来的十分之一，误差缩小的速度比十分之一更快。
③ 完整证明：可微 ⟹ 可导
设 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，两边同除以 $\Delta x$（$\Delta x\neq0$）得 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=A+\dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}$。由 $o(\Delta x)$ 的定义，第二项当 $\Delta x\to0$ 时趋于 0，故 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=A$ 存在且有限。按导数定义，$f'(x_0)=A$。注意这里"存在且有限"是实质性的：$A$ 按定义就是一个常数，所以极限不可能跑到无穷去。
④ 完整证明：可导 ⟹ 可微
设 $f'(x_0)$ 存在，记 $\alpha=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)$。由导数定义，$\alpha$ 是 $\Delta x$ 的函数且 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\alpha=0$。于是 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x$，而 $\dfrac{\alpha\Delta x}{\Delta x}=\alpha\to0$，说明 $\alpha\Delta x=o(\Delta x)$。两个条件都满足，故 $f$ 在 $x_0$ 可微，且 $\mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x$。
⑤ 这条等价关系带来什么
三个直接的后果：一是判据变简单，判断可微不用回到定义式，只要求一次导数；二是结论可以搬家，导数的所有性质（可导必连续、四则运算、链式法则）都自动成为微分的性质；三是记号可以互相翻译，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 里的分子分母各自都有独立含义，为换元积分法铺好了路。
⑥ 别把 $\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$ 混成一个东西
$\Delta y$ 是真实发生的函数值改变量，$\mathrm{d}y$ 是我们造出来的近似量。它们一般不相等。对 $y=x^2$ 在 $x_0=1$ 处取 $\Delta x=0.1$：$\Delta y=1.1^2-1^2=0.21$，而 $\mathrm{d}y=2\times1\times0.1=0.20$，差 0.01。若取 $\Delta x=0.01$：$\Delta y=0.0201$，$\mathrm{d}y=0.0200$，差 0.0001——差得越来越少：绝对误差从 0.01 缩到 0.0001（缩小百倍），相对误差则从约 $4.8\%$ 缩到约 $0.5\%$（缩小不到十倍）。绝对误差是 $(\Delta x)^2$ 量级、跑得比 $\Delta x$ 快；相对误差是 $\Delta x$ 量级、只跟着 $\Delta x$ 走——这正是 $o(\Delta x)$ 的实际手感。
7.3 微分的几何意义 · 切线上的那段增量
微分有一个非常漂亮的图像解释：在同一张图上，$\Delta y$ 量的是曲线，$\mathrm{d}y$ 量的是切线。
📐 一句话看懂
在曲线 $y=f(x)$ 上取定点 $M_0(x_0,f(x_0))$ 与动点 $M(x_0+\Delta x,\,f(x_0+\Delta x))$，过 $M_0$ 作切线。当横坐标从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 时：
📈 $\Delta y$：曲线上的纵坐标增量
从 $M_0$ 竖直向上走到曲线上的 $M$ 点，这段高度是 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。它是真实发生的函数值改变量。
📉 $\mathrm{d}y$：切线上的纵坐标增量
从 $M_0$ 沿着切线方向走到横坐标为 $x_0+\Delta x$ 的位置，这段高度是 $\mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x$。它是线性近似给出的量。
✂️ 两者之差
竖直方向上的差 $\Delta y-\mathrm{d}y=o(\Delta x)$。它越小，切线越像曲线；它趋于 0 的速度比 $\Delta x$ 更快，这是"以直代曲"能成立的根本原因。
🔍 另一条腿
水平方向长度的改变量是 $\Delta x$，而自变量的微分 $\mathrm{d}x=\Delta x$。于是 $\mathrm{d}y=f'(x_0)\mathrm{d}x$ 在图上就是"切线上两段长度之比等于斜率"。
⚠️ 图上最容易看错的一点：$\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$ 都是竖直方向的长度，不是斜边。切线段本身是斜的，但我们要比较的是"横坐标相同处，曲线与切线的纵坐标之差"，所以那两者的差就是竖直方向量出来的小线段 $\Delta y-\mathrm{d}y$。画图时若把它量成切线段长度，就会得到与 $f'(x_0)$ 有关的错误表达式。
🎯 近似公式的两种精度
既然 $\Delta y\approx\mathrm{d}y$，把它写开就是本课最常用的近似公式：
$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x$$
这条式子通常写作 $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$。它说的是：在 $x_0$ 附近，曲线可以用它的切线代替。用两次近似会得到不同精度的版本：
| 层次 | 算式 | 误差 | 适用场合 |
|---|
| 零阶（最省） | $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)$ | $O(\Delta x)$ | 只关心"变没变"，不需要知道变多少 |
| 一阶（本课） | $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ | $o(\Delta x)$ | 小扰动下的定量估计：剂量微调、误差传播 |
| 高阶（后续） | 再加 $\dfrac{f''(x_0)}{2}(\Delta x)^2$ 等项 | $o\big((\Delta x)^2\big)$，比一阶误差更小 | 对精度要求更高、或一阶项恰好为零时 |
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📈 动态演示：$y=x^2$ 上的 $\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$
下图在同一个点上同时量出两条竖线段，并给出它们的长度与差。拖动滑块改变 $\Delta x$，看差如何变化。
🔢 一个可以自己核对的例子
取 $f(x)=x^2$、$x_0=1$。于是 $f'(x_0)=2$，$\mathrm{d}y=2\Delta x$，而真实增量 $\Delta y=(1+\Delta x)^2-1=2\Delta x+(\Delta x)^2$。两者的差恰好是 $(\Delta x)^2$：$\Delta x=0.1$ 时差 $0.01$，真实增量 $\Delta y=0.21$；$\Delta x=0.01$ 时差 $0.0001$，$\Delta y=0.0201$。注意"绝对误差"与"相对误差"是两件事：绝对误差是 $(\Delta x)^{2}$，相对误差要用它去除以真实增量 $\Delta y=2\Delta x+(\Delta x)^2$，于是约为 $\dfrac{\Delta x}{2}$——$\Delta x=0.1$ 时约 $4.8\%$，$\Delta x=0.01$ 时约 $0.5\%$。两者量级不同，绝不能混为一谈。
7.4 微分的运算法则 · 一阶微分形式不变性
既然 $\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$，那么每一条求导法则都可以"乘一个 $\mathrm{d}x$"翻译成一条微分法则。翻译完之后，我们会发现一件特别漂亮的事。
🧮 微分四则运算法则
设 $u=u(x)$、$v=v(x)$ 都可微，则：
$$\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm\mathrm{d}v,\qquad \mathrm{d}(uv)=u\,\mathrm{d}v+v\,\mathrm{d}u,\qquad \mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\,\mathrm{d}u-u\,\mathrm{d}v}{v^{2}}\ (v\neq0)$$
还能得到一条极常用的推论：常数可以随意进出微分号，即 $\mathrm{d}(Cu)=C\,\mathrm{d}u$（$C$ 为常数）。写成例子更直观：$\mathrm{d}(3x^2)=3\,\mathrm{d}(x^2)=3\cdot2x\,\mathrm{d}x=6x\,\mathrm{d}x$。
💡 乘积法则的来历（看图就懂）：把 $uv$ 看成矩形的面积，边长分别是 $u$ 与 $v$。当 $u$ 与 $v$ 各增加一个微小的改变量时，面积增量由三块组成：右侧竖条、上方横条、以及角上的小方块。前两块都只是"一边的长度"乘"另一边的改变量"，是改变量的一次项；第三块是两个改变量的乘积，属于更高阶的无穷小，按微分的定义应当归入 $o(\Delta x)$ 那一部分。所以 $\mathrm{d}(uv)=u\,\mathrm{d}v+v\,\mathrm{d}u$ 不是背来的，而是"只留下一次项"得来的。
⭐ 一阶微分形式不变性（本课第二个重点）
把 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合起来，看 $y$ 对 $x$ 的微分：
$$\mathrm{d}y=\bigl[f(g(x))\bigr]'\mathrm{d}x=f'(u)\,g'(x)\,\mathrm{d}x=f'(u)\,\mathrm{d}u$$
最后一步用到了 $\mathrm{d}u=g'(x)\mathrm{d}x$（这正是 7.2 节那条 $A=f'(x_0)$ 的结论用在 $u$ 身上）。请注意看这个结果：
$$\mathrm{d}y=f'(u)\,\mathrm{d}u$$
🎯 结论怎么读：无论 $u$ 是自变量还是中间变量（即另一个变量的函数），$y$ 的微分永远是"$y$ 对 $u$ 的导数"乘"$u$ 的微分"。形式一模一样，一个字都不用改。这条性质叫一阶微分形式不变性。
对比一下就明白它有多特别：对导数而言，$y'=f'(u)$ 与 $y'=f'(u)g'(x)$ 是两个不同的式子（链式法则），必须区分 $u$ 是不是中间变量；而对微分而言，$\mathrm{d}y=f'(u)\mathrm{d}u$ 两种情况共用同一个式子。换句话说，微分号 $\mathrm{d}$ 的动作只认"对谁求"，不认"那个人自己是不是还有依赖"。
📈 动态演示：形式不变性的"两次接力"
下图把 $y=u^{2}$、$u=x^{2}+1$ 这条复合链画出来。拖动滑块改变 $x$，程序会同时用两种算法求 $y$ 的微分——先对 $u$ 求微分再展开 $\mathrm{d}u$，与直接对 $x$ 用复合函数求导——并把两个结果并列显示，请核对它们是否一致。
① 用 $(x^2+1)$ 当例子，两种算法对一遍
取 $y=u^{2}$，其中 $u=x^{2}+1$。按复合函数直接算：$y=(x^2+1)^2$，$y'=2(x^2+1)\cdot2x=4x(x^2+1)$，故 $\mathrm{d}y=4x(x^2+1)\mathrm{d}x$。按形式不变性算：把 $u$ 当自变量，$\mathrm{d}y=2u\,\mathrm{d}u=2(x^2+1)\,\mathrm{d}(x^2+1)=2(x^2+1)\cdot2x\,\mathrm{d}x$。两式完全相同。
② 证明的关键只用了一步
关键就是 $\mathrm{d}u=g'(x)\mathrm{d}x$。这一步之所以成立，正是因为 $u$ 是自变量时我们有 $\mathrm{d}u=u'(x)\mathrm{d}x$——它本来就是 7.2 节定理的直接应用，不需要任何额外条件。所以形式不变性不是巧合，而是"微分作为线性主部"这个定义的必然结果。
③ 它到底"不变"在哪里
不变的是式子的形状，不是式子的数值。$u$ 是自变量时，$\mathrm{d}u$ 就是自变量增量；$u$ 是中间变量时，$\mathrm{d}u$ 是 $u$ 的微分（一般不等于 $\Delta u$）。所以"形式不变"说的是：公式 $\mathrm{d}y=f'(u)\mathrm{d}u$ 在两种身份下都成立，不要求 $u$ 只有"自变量"这一种身份。
④ 为什么它是后面换元积分法的地基
形式不变性把 $\mathrm{d}u=g'(x)\mathrm{d}x$ 变成了一条可以左右搬动的等式：既能"把 $g'(x)\mathrm{d}x$ 收成 $\mathrm{d}u$"（凑微分），也能"把 $\mathrm{d}u$ 展开成 $g'(x)\mathrm{d}x$"。这正是换元积分法里 $\displaystyle\int f(g(x))g'(x)\mathrm{d}x=\int f(u)\mathrm{d}u$ 能够成立的理由。如果没有它，$\mathrm{d}x$ 就只是一个记号的一部分，不能参与运算。
⑤ 一位麻醉科医师如何用它
设某药的血药浓度是给药率的函数 $C=C(R)$。R 本身又是时间或体重的函数 $R=R(w)$。当只想知道"体重变动一点，浓度大概动多少"时，可以先对 $R$ 求微分得到 $\mathrm{d}C=C'(R)\mathrm{d}R$，再把 $\mathrm{d}R=R'(w)\mathrm{d}w$ 代进去。这里两次都用同一个公式形状，不必每换一层变量就重新推导链式法则——这正是形式不变性在工程与临床计算中的实际价值。
⑥ 一个容易混的对比
请把下面两句话分清楚。对的：「无论 $u$ 是自变量还是中间变量，都有 $\mathrm{d}y=f'(u)\mathrm{d}u$」。错的：「无论 $u$ 是什么，都有 $y'=f'(u)$」。后者漏掉了链式法则里的 $g'(x)$，是复合函数求导最常见的错误。形式不变性只在微分这一层成立，在导数那一层并不成立——这正是本节开头那个对比的意义。
🔍 注意"一阶"两个字：形式不变性是一阶微分才有的性质。到了二阶微分，$\mathrm{d}^2y=f''(u)\mathrm{d}u^2$ 在 $u$ 是中间变量时不再成立（会多出与 $g''(x)$ 有关的一项）。本课只需记住一阶这一条，并知道结论的适用范围有边界。
7.5 微分的应用 · 近似计算与误差估计
微分的用处，一句话讲完：把"算一个复杂值"换成"算一个简单值再加一次乘法"。代价是引入了误差，而误差的大小是可以写出来的。
✏️ 基本近似公式与四条常用特例
在 $x_0$ 处取 $\Delta x$，由 $\Delta y\approx\mathrm{d}y$ 得
$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x$$
这条式子就是微分在近似计算里的全部内容，通常也写作 $f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$。最常用的特例是取 $x_0=0$（$f$ 与 $f'$ 在这些点上最好算）：$f(\Delta x)\approx f(0)+f'(0)\Delta x$。把常用的函数代进去，就得到几条工程与医学里天天用的近似式：
| 函数 | 近似公式（$|x|$ 很小时） | 来历 | 典型用法 |
|---|
| $(1+x)^{\alpha}$ | $(1+x)^{\alpha}\approx1+\alpha x$ | 取 $f(x)=(1+x)^\alpha$，$f(0)=1$，$f'(0)=\alpha$ | 增长率复合、按体重缩放的剂量估算 |
| $\sin x$ | $\sin x\approx x$ | 取 $f=\sin$，$f(0)=0$，$f'(0)=1$ | 小角度近似（须用弧度制） |
| $e^{x}$ | $e^{x}\approx1+x$ | 取 $f=e^x$，$f(0)=1$，$f'(0)=1$ | 连续复利、指数衰减的短时估计 |
| $\ln(1+x)$ | $\ln(1+x)\approx x$ | 取 $f=\ln(1+x)$，$f(0)=0$，$f'(0)=1$ | 相对变化率的转换 |
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⚠️ ★红线 · 适用条件：$|x|$（也就是 $|\Delta x|$）必须足够小。这些近似式前面都写着一个不起眼却决定成败的前提。以 $\sin x\approx x$ 为例：$x=0.01$ 弧度时，相对误差约六万分之一，完全可以放心用；而 $x=1$ 弧度（不到 60 度）时，$\sin1\approx0.8415$，与 $1$ 的相对误差已经接近 19%，完全不能用了。同一公式，换一个不小心的 $\Delta x$，结论就从可用变成荒谬。
🎯 ★红线 · 误差的写法：正确的完整表述是 $f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$，也就是说误差是 $o(\Delta x)$。这比"误差很小"强得多，它给出两个可用的推论：其一，误差与 $\Delta x$ 之比本身趋于 0，所以 $\Delta x$ 缩小时，误差缩小的幅度超过 $\Delta x$ 缩小的幅度；其二，绝对误差也趋于 0，相对误差同样趋于 0。以 $y=x^{2}$ 在 $x_0=1$ 处为例：绝对误差恰为 $(\Delta x)^{2}$（$\Delta x=0.1$ 时是 $0.01$），而相对误差是它除以真实增量 $\Delta y=2\Delta x+(\Delta x)^2$，约为 $\dfrac{\Delta x}{2}$（$\Delta x=0.1$ 时约 $4.8\%$）——相对误差是 $\Delta x$ 的同阶量，不是 $(\Delta x)^{2}$ 的同阶量。绝不能说"误差可以忽略"就完事——必须说明它在什么意义下可以忽略。
🔢 三个必须会算的例题（建议拿笔跟着算一遍）
例 1：求 $\sqrt[3]{1.02}$ 的近似值
取 $f(x)=\sqrt[3]{x}$、$x_0=1$、$\Delta x=0.02$。$f'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-2/3}$，故 $f'(1)=\dfrac13$。于是 $\sqrt[3]{1.02}\approx1+\dfrac13\times0.02=1+0.00667=1.00667$。（真值约 $1.006622$，误差约 $5\times10^{-5}$。）要点：先把被开方数写成"好算的点 + 小增量"。
例 2：求 $\sin 29^{\circ}$ 的近似值
先用弧度算增量：$29^{\circ}=\dfrac{29\pi}{180}$，与 $30^{\circ}=\dfrac{\pi}{6}$ 的差是 $\Delta x=-\dfrac{\pi}{180}\approx-0.01745$。以 $x_0=\dfrac{\pi}{6}$ 为基准：$\sin29^{\circ}\approx\sin30^{\circ}+\cos30^{\circ}\times\left(-\dfrac{\pi}{180}\right)=\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}\times0.01745\approx0.5-0.01511=0.48489$。（真值约 $0.484810$。）要点：三角函数的近似计算必须换弧度，度数直接代进去必定算错。
例 3：由剂量微推测浓度的变化
设稳态血药浓度与剂量近似满足 $C(D)=kD^{0.9}$（$k$ 为常数，$D$ 为剂量）。当剂量从 $D_0=100$ 微调到 $D=102$ 时，相对变化 $\dfrac{\Delta D}{D_0}=2\%$。用 $(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x$：$\dfrac{C(D)}{C(D_0)}=\left(1+0.02\right)^{0.9}\approx1+0.9\times0.02=1.018$，即浓度约上升 $1.8\%$。要点：$\alpha$ 就是"敏感度指数"——它小于 1，说明浓度对剂量的响应是"次线性"的，剂量加 2% 不会带来 2% 的浓度上升。
📈 动态演示：误差随 $\Delta x$ 减小而变小
下图把两种误差画在一起（仍以 $y=x^{2}$、$x_0=1$ 为例）：绿线是绝对误差 $(\Delta x)^{2}$，黄线是误差与 $\Delta x$ 之比（它恰好等于 $\Delta x$）。注意两条线的下降速度不同——黄线趋于 0 正是"误差是 $o(\Delta x)$"的直接证据。
🧮 程序验算：真值 vs 近似值
下面这张图由程序实时计算：蓝点是真实函数值 $f(x_0+\Delta x)$，紫线是切线近似 $f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$。拖动滑块可以同时改变函数与 $\Delta x$，标题栏给出两者的差。请特别看一眼差值的符号：曲线在切线上方还是下方，决定了近似是偏大还是偏小。
👉 提示：这张图与上一张图共用误差滑块的数值。把上一张图的 $\Delta x$ 从 0.10 拉到 1.00，看差值如何从"几乎看不见"变成"一眼就能看出"。
① 三步法：选点、算斜率、乘增量
第一步选 $x_0$：要挑一个"函数值与导数值都能心算"的点，通常取整数、$0$、$1$、$\dfrac{\pi}{6}$、$\dfrac{\pi}{4}$ 这类特殊值。第二步算 $f'(x_0)$：这是唯一的求导工作。第三步乘 $\Delta x$：$\Delta x$ 是"目标值减去基准值"，符号必须带着——目标值比基准值小，$\Delta x$ 就是负的，近似结果自然应当偏小。
② 怎么判断"足够小"
没有一条对所有函数都通用的数字门槛，但有一个可操作的判据：把误差项写出来看看它相对主项占多少。对 $y=x^2$ 在 $x_0=1$ 处，误差是 $(\Delta x)^2$，主项是 $2\Delta x$，两者之比是 $\dfrac{\Delta x}{2}$。想让相对误差不超过 $1\%$，只要 $\Delta x\le0.02$ 即可。对一般的函数，可以取二阶导数估计误差量级 $\dfrac{|f''(\xi)|}{2}(\Delta x)^2$（这属于后续内容，本课只需知道思路：先看二阶信息，再定 $\Delta x$ 的上限）。
③ 误差传播：多个变量一起动怎么办
若结果 $y$ 同时依赖 $x_1,x_2$，各自有微小扰动 $\Delta x_1,\Delta x_2$，一阶近似就是把各自的贡献相加：$\Delta y\approx\dfrac{\partial y}{\partial x_1}\Delta x_1+\dfrac{\partial y}{\partial x_2}\Delta x_2$（偏导数的记号在多元部分会正式讲，这里先看思想）。工程与医学里的"误差限"计算用的就是这一招：把每一项的贡献都取最坏情况，再合成一个总限。
④ 什么时候不能用一阶近似
三种情形要警惕。一是 $\Delta x$ 不小：此时高阶项不再微不足道。二是 $f'(x_0)=0$：线性主部整个消失，$\Delta y$ 的量级由 $(\Delta x)^2$ 决定，此时零阶近似 $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)$ 反而是更准的说法（想想抛物线顶点的两侧）。三是函数在该点不可导：切线根本不存在，以直代曲无从谈起。这三种情形说明："可微"是使用近似公式的前提条件，不是可有可无的装饰。
⑤ 相对误差与绝对误差：临床用的往往是前者
绝对误差 $|\Delta y-\mathrm{d}y|$ 带量纲，直接比较不同指标时会误导。相对误差 $\left|\dfrac{\Delta y-\mathrm{d}y}{\Delta y}\right|$ 无量纲，更适合做判断（以真实增量为基准；下面例子里分母是 $\Delta y=0.0201$，不是 $f(x_0)=1$）。例如上面 $y=x^{2}$ 的例子：$\Delta x=0.01$ 时绝对误差是 $0.0001$，但相对误差约 $0.5\%$——说"相对误差半个百分点"比说"误差是 0.0001"更清楚，因为前者不带量纲、可以直接和别的指标比。药物浓度监测中的允许偏差通常以百分比给出，正是这个道理。
⑥ 一个容易踩的坑：把 $\mathrm{d}y$ 当成精确值
近似公式给出的是 $\Delta y\approx\mathrm{d}y$，约等号是实质性的。在书写与汇报时务必保留它，不要中途改成等号：一旦改成等号，$\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$ 的差别（也就是被舍去的 $o(\Delta x)$）就被悄悄抹掉了，而它恰恰是后面判断近似是否可靠的依据。
7.6 医学中的线性小扰动 · 数学与 AI
微分在临床与工程里最常见的身份，不是"一道计算题"，而是一种思维方式：把复杂系统在工作点附近看成线性的。
💊 医学：为什么"小幅度调整"可以线性估
生物系统普遍是非线性的，但临床决策大量发生在已有基线之后。设某个生理量 $y$（血压、血药浓度、通气量、肌酐清除率等）是干预量 $x$（剂量、滴速、吸入氧浓度等）的函数 $y=f(x)$，工作点记作 $x_0$。那么在 $x_0$ 附近：
$$\Delta y\approx f'(x_0)\,\Delta x$$
📊 导数 = 灵敏度
$f'(x_0)$ 就是"每改变一个单位干预量，指标跟着改变多少"。临床上评估一个指标对药物的敏感程度，谈的正是这个量。它逐点不同——同一个药在工作点不同处灵敏度不同，这也是"个体化用药"的数学解释。
📏 微分 = 这次调整的效果
$\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x$ 把"调整多少剂量能带来多少变化"变成一次乘法。$\Delta x$ 小是它能用的前提；一旦调整幅度很大，线性估就该让位给真实计算或数值求解。
⏱️ 时间维度也一样
血药浓度随时间衰减，短时间内可近似按线性下降估计；但当药物浓度接近有效下限时，指数衰减的"弯曲"变得显著，线性估会系统性偏乐观。这提示：近似必须与工作点绑定，不能跨区间搬用。
🧪 治疗窗的数学含义
设最低有效浓度为 $C_{\text{底}}$、中毒阈为 $C_{\text{顶}}$。在剂量工作点 $D_0$ 处，剂量还可安全增加的最大幅度近似为 $\dfrac{C_{\text{顶}}-C(D_0)}{C'(D_0)}$。它把"还剩多少安全余量"翻译成了一个可以算的数——当然这只是估计，真正决策仍以监测数据与临床判断为准。
📌 必须写清的三条边界：① 微分给的是局部线性近似，不是全部真相；② 一阶近似在 $f'(x_0)=0$ 或 $|\Delta x|$ 较大时失效；③ 生物学系统的参数存在个体差异与时间变异，任何数值估计都不能替代监测。数学能做的是把"小变化带来多大影响"算清楚，不能替临床做判断。
🤖 数学与 AI：线性化是算法世界的通用语言
深度学习训练的是一个高度复杂的非线性函数，但几乎所有算法在局部都用"以直代曲"办事。理由和老前辈一样：先算变化率，再乘步长。
🧭 梯度下降：一阶微分的直接后代
参数更新式 $\theta_{new}=\theta-\eta\,\dfrac{\partial L}{\partial\theta}$ 的形状就是 $\Delta y\approx f'(x)\Delta x$。把它读成微分语言：沿着"损失对参数的变化率"的反方向走一小步，步长 $\eta$ 就是 $\Delta x$。
📐 反向传播：链式法则 + 线性传播
多层复合函数的梯度要靠链式法则逐层相乘，而每一层的"输入变化如何传到输出"本身就被该层导数线性化。形式不变性在这里的对应物是：不论你处在第几层，微分的记号与运算法则都不变。
🔍 为什么"学习率太大会发散"
线性近似只在小步长下可靠。步子迈大了，被舍掉的 $o(\Delta x)$ 变得不可忽略，实际下降量甚至可能变成上升——这就是训练发散的一个几何解释，与"$\Delta x$ 必须足够小"是同一条红线。
🧊 二阶方法：不满足于一阶
牛顿法一类的做法会引入二阶信息（相当于给近似补上 $(\Delta x)^2$ 项），在接近极值点、一阶项趋于 0 时更稳。这与 7.3 节"$f'(x_0)=0$ 时一阶近似失效、要看更高阶"完全一致。
🔍 一句话总结本节的对称性：无论是临床上"剂量调 2%，浓度上升多少"，还是训练中"参数走一步，损失降多少"，答案都是同一个数学动作——取切线、乘增量。区别只在于：临床要额外回答"这一步安全吗"，训练要额外回答"这一步会不会迈太大"。
7.7 拓展资源 · 自主加练
本课配有一条知识短片（约 8 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。
🎬 本课知识短片
📖 短片内容：以直代曲的思想 → 微分的定义与 $A=f'(x_0)$ → 可微与可导等价 → 切线上与曲线上的两段增量 → 微分运算法则 → 一阶微分形式不变性 → 四条常用近似公式及适用条件 → 误差是 $o(\Delta x)$ → 医学里的小扰动线性估计 → AI 训练中的一阶近似。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。
🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）
| 演示 | 位置 | 看什么 |
|---|
| 放大镜下的两条竖线段 | 开场（7.0 之前） | 拖动滑块放大 $x_0$ 邻域，比较 $\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$ 哪条更长 |
| 切线近似与真实曲线 | 7.2 节 | 改变切点，看切线在多大范围内还能贴合曲线 |
| $\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$ 的长度读数 | 7.3 节 | 拖动 $\Delta x$，读两条线段的数值与差，验证差是 $(\Delta x)^2$ 量级 |
| 形式不变性的链式对照 | 7.4 节 | 看中间变量变化时，$\mathrm{d}y$ 是怎么被"接力"算出来的 |
| 误差随 $\Delta x$ 减小 | 7.5 节 | 比较绝对误差与"误差与 $\Delta x$ 之比"的下降速度差异 |
| 程序验算真值 vs 近似值 | 7.5 节 | 切换函数与 $\Delta x$，看两者的差及其符号 |
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📚 公开课与教材配套资源
🎓 中国大学 MOOC
在 icourse163.org 搜索"高等数学"或"医科高等数学"，微分这一节通常归在"导数与微分"模块内。建议重点看"微分在近似计算中的应用"这一段板书推导。
📺 视频平台
搜索"微分 几何意义""微分形式不变性""近似计算 误差"，优先选有板书、有例题的视频。看的时候拿纸跟着把 $\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$ 两条线段画一遍，比只看懂结论有用得多。
📖 教材对应章节
《医科高等数学》第四版（张选群主编）第二章：微分的概念、微分的几何意义、微分的基本公式与运算法则、微分在近似计算中的应用。课后习题建议全部完成，其中"求微分"与"利用微分作近似计算"两类各做 5 道以上。
📌 复习建议：这一节最容易被"公式很短"骗过去——$\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$ 一眼就会，但一到用的时候就出错。建议按这个顺序练：先练纯求微分（把求导结果乘 $\mathrm{d}x$）→ 再练 $\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$ 的数值比较（务必手算一遍差）→ 最后练近似计算（重点练"选点"与"符号"）。检验自己是否真懂，就问一句：误差为什么是 $o(\Delta x)$，它意味着精度怎么随 $\Delta x$ 变化？能答上来，这一课就稳了。
7.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉
1️⃣ 设 $y=x^{2}e^{x}$，则 $\mathrm{d}y=$ ？
A. $2xe^{x}\,\mathrm{d}x$
B. $x(x+2)e^{x}\,\mathrm{d}x$
C. $x^{2}e^{x}\,\mathrm{d}x$
D. $(2x+e^{x})\,\mathrm{d}x$
2️⃣ 函数 $f(x)=x^{2}$ 在 $x_0=1$ 处，当 $\Delta x=0.1$ 时，$\Delta y$ 与 $\mathrm{d}y$ 分别是？
A. $\Delta y=0.21$，$\mathrm{d}y=0.20$，相差 $0.01$
B. $\Delta y=0.20$，$\mathrm{d}y=0.21$，相差 $0.01$
C. $\Delta y=0.20$，$\mathrm{d}y=0.20$，完全相等
D. $\Delta y=0.21$，$\mathrm{d}y=0.21$，完全相等
3️⃣ 利用微分近似计算 $\sqrt[3]{1.02}$，结果约为？
A. $1.0200$
B. $1.0100$
C. $1.0067$
D. $0.9933$
4️⃣ 关于一元函数的可微与可导，下列说法正确的是？
A. 可导不一定可微，可微必定可导
B. 一元函数在一点可微与在该点可导等价
C. 只要 $\Delta y$ 能写成 $A\Delta x+\alpha\Delta x$（$\alpha$ 为任意函数）就说明可微
D. $f$ 在 $x_0$ 连续是 $f$ 在 $x_0$ 可微的充分条件
5️⃣ 设 $y=\sin u$，$u=2x+1$，则 $y$ 关于 $x$ 的微分 $\mathrm{d}y=$ ？
A. $\cos(2x+1)\,\mathrm{d}x$
B. $2\cos(2x+1)\,\mathrm{d}x$
C. $2\sin(2x+1)\,\mathrm{d}x$
D. $-2\cos(2x+1)\,\mathrm{d}x$
7.9 数学思维导图 · 本课小结
🧠 微分知识思维导图
📘 微分的
概念及应用
定义
- 增量 = 线性主部 + 高阶无穷小
- 系数 A 与 Δx 无关
- 微分 dy = A·Δx
- 系数 A 就是 f'(x0)
等价与几何
- 一元函数：可微 ⟺ 可导
- dy = f'(x) dx
- dy 是切线上的增量
- Δy − dy 是 o(Δx)
运算法则
- d(u ± v) = du ± dv
- d(uv) = u dv + v du
- 商的法则（分母不为 0）
- 常数可提出：d(Cu) = C du
形式不变性
- dy = f'(u) du
- u 是自变量或中间变量都成立
- 只对一阶微分成立
- 换元积分法由此而来
近似与应用
- 用切线值代替函数值
- 四条常用近似式
- 条件：Δx 足够小
- 误差是 o(Δx) · 医学与 AI
✅ 本课小结
✂️
微分是增量的线性主部：$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$，其中 $A$ 与 $\Delta x$ 无关，$\mathrm{d}y=A\Delta x$。定义的关键词是"线性"与"高阶无穷小"——前者让它好算，后者让它可以放心替代。
🔁
一元函数可微 ⟺ 可导，且 $A=f'(x_0)$，于是 $\mathrm{d}y=f'(x_0)\mathrm{d}x$。这条等价关系让"求微分"变成"求导再乘 $\mathrm{d}x$"，也让导数的所有性质自动成为微分的性质。注意它只对一元函数成立。
📐
几何上两条竖线段：$\Delta y$ 量的是曲线的纵坐标增量，$\mathrm{d}y$ 量的是切线的纵坐标增量，二者之差 $\Delta y-\mathrm{d}y=o(\Delta x)$。差趋于 0 的速度比 $\Delta x$ 更快，这就是"以直代曲"的严格依据。
⭐
一阶微分形式不变性：不论 $u$ 是自变量还是中间变量，都有 $\mathrm{d}y=f'(u)\mathrm{d}u$。它只在微分这一层成立，在导数那一层不成立（导数必须乘链式法则里的 $g'(x)$）。它是后面换元积分法能够"凑微分"的地基。
🧮
近似计算三步：选点 → 算斜率 → 乘增量。常用的四条公式 $(1+x)^{\alpha}\approx1+\alpha x$、$\sin x\approx x$、$e^{x}\approx1+x$、$\ln(1+x)\approx x$ 都要求 $|x|$ 足够小；三角函数的近似计算务必换弧度。
📉
误差必须写成 $o(\Delta x)$，不能只说"很小"。由此得到两条可用的推论：$\Delta x$ 缩小，误差缩小得更快；相对误差也随 $\Delta x$ 趋于 0。当 $f'(x_0)=0$ 或 $|\Delta x|$ 较大时，一阶近似失效。
🏥
医学与 AI 用的是同一个动作：临床把工作点附近的小幅调整按 $\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x$ 线性估计（导数就是灵敏度）；梯度下降用同样的形状更新参数。都在"取切线、乘增量"，也都要回答"这一步是不是迈太大"。
🚀
下节预告：中值定理与洛必达法则——微分把"局部"讲清楚了，下一课要反过来，用导数去回答整体的问题：$f(b)-f(a)$ 与某点导数之间有什么关系？这就是拉格朗日中值定理 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，它也被称为"有限增量公式"，正是本课 $\Delta y\approx\mathrm{d}y$ 的精确版本。