导数的应用

9.1 数学文化 · 从"看图说话"到"算符号说话"

这一节的四个结论（单调、极值、凹凸、最值）在图像上一眼就能看懂，正因为如此，它们最容易被"凭感觉"用错。真正把它们变成可靠工具的，是把图形直觉翻译成可以逐条检验的符号判据。

🕰️ 判据是怎么一步步长出来的

9.2 函数单调性的判定 · 用 $f'$ 的符号切区间 · 本课重点

判据只有两句话，但要真正会用，关键在于把定义域切成若干个"符号不变"的小区间，然后在每个小区间里说清楚 $f'$ 是正还是负。

✏️ 单调性判定定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续、在开区间 $(a,b)$ 内可导。

证明只有一行：任取 $a\le x_1\ltx_2\le b$，由拉格朗日中值定理得 $f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$，其中 $a\lt\xi\ltb$。因为 $x_2-x_1\gt0$，右端的符号就由 $f'(\xi)$ 决定，而 $\xi$ 落在 $(a,b)$ 内，所以 $f'(\xi)\gt0$ 时必然 $f(x_2)\gtf(x_1)$。

🧭 标准四步：求单调区间的固定流程

🔢 例 1：一个三次多项式（定义域为全体实数）

求 $f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ 的单调区间。

定义域为 $\mathbb{R}$。求导并因式分解：

令 $f'(x)=0$，得驻点 $x=-1$ 与 $x=3$。这两个点把数轴切成三段，逐段取测试点：

所以 $f$ 的单调递增区间是 $(-\infty,-1)$ 与 $(3,+\infty)$，单调递减区间是 $(-1,3)$。顺便记下两个"转折点"的函数值：$f(-1)=10$，$f(3)=-22$——它们分别是局部最高与局部最低，这一信息 9.3 节马上要用。

🔢 例 2：一个分式函数（含"看错符号"的坑）

求 $g(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}$ 的单调区间。定义域同样为 $\mathbb{R}$（分母恒正）。用商的求导法则：

分母 $(1+x^{2})^{2}$ 恒为正，所以 $g'$ 的符号完全由分子 $(1-x)(1+x)$ 决定，零点为 $x=-1$ 与 $x=1$。逐段判号：

于是 $g$ 在 $(-\infty,-1)$ 与 $(1,+\infty)$ 上递减，在 $(-1,1)$ 上递增。两个转折点的函数值：

📈 动态演示：把 $f'$ 的符号画在 $f$ 旁边

下图把例 1 的函数 $y=f(x)$（青色）与它的导函数 $y=f'(x)$（黄色虚线）画在同一坐标系里。拖动滑块可以伸缩考察窗口，先盯住黄线与横轴的交点，再看青线在那里是不是刚好"转弯"。

9.3 函数的极值 · 必要条件与两个充分条件

极值问题有两步：第一步把所有"可疑点"找全，第二步逐个确认。这两步用的是完全不同的工具，混起来就会出错。

✏️ 定义与必要条件

设 $f$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若对该邻域内所有 $x\ne x_0$ 都有 $f(x)\ltf(x_0)$，称 $f(x_0)$ 为极大值，$x_0$ 为极大值点；不等号反向则为极小值与极小值点。极大值与极小值统称极值。

这条必要条件的证明很直白：若 $f'(x_0)\gt0$，则 $x_0$ 右侧的函数值比 $f(x_0)$ 大，左侧比它小，不可能是极值；$f'(x_0)\lt0$ 同理。所以只剩下 $f'(x_0)=0$ 一种可能。导数等于零的点称为驻点。

🧭 第一充分条件：看 $f'$ 在 $x_0$ 两侧是否变号

设 $f$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某个去心邻域内可导。

反之，若 $f'$ 在左侧为负、右侧为正，则 $f(x_0)$ 为极小值；若两侧同号，则 $x_0$ 不是极值点。这条判据的适用范围很广：它不要求 $f$ 在 $x_0$ 可导，所以像 $y=|x|$ 这种尖点也能用它判定（左侧 $f'=-1\lt0$，右侧 $f'=1\gt0$，由负变正，故为极小值）。

🧭 第二充分条件：看 $f''(x_0)$ 的符号

设 $f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)$ 存在。

它的好处是只要算一个数，不必讨论两侧的符号；代价是要求该点二阶可导，并且 $f''(x_0)$ 必须不为零。若 $f''(x_0)=0$，这条判据失效，只能退回第一充分条件（或者用更高阶的导数去判断）。

🔢 例 3：两条路都走一遍（$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ 续）

9.2 节已算出驻点 $x=-1$ 与 $x=3$，并且知道 $f'$ 在 $(-1,3)$ 上为负、在两侧为正。用两种方法确认：

🔢 例 4：一个"第二充分条件也能用、符号却容易看错"的例子

求 $g(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}$ 的极值。已知 $g'(x)=\dfrac{(1-x)(1+x)}{(1+x^{2})^{2}}$，驻点为 $x=\pm1$；并且由 9.2 节的符号表知道：$x=-1$ 处 $g'$ 由负变正，$x=1$ 处 $g'$ 由正变负。再用第二充分条件核对：

两条判据必须互相印证，结果是一致的：$g''(-1)\gt0$ 说明 $x=-1$ 是极小值点，极小值为 $g(-1)=-\dfrac12$；$g''(1)\lt0$ 说明 $x=1$ 是极大值点，极大值为 $g(1)=\dfrac12$。

🔢 例 5：一个完整的极值分析——关键在"变号"而不在"驻点"（$q(x)=x^{3}-3x^{2}$）

求 $q(x)=x^{3}-3x^{2}$ 的单调区间与极值。$q'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)$，驻点为 $x=0$ 与 $x=2$。逐段判号后得到：$(-\infty,0)$ 上递增、$(0,2)$ 上递减、$(2,+\infty)$ 上递增。

所以 $q$ 在 $x=0$ 处取极大值 $q(0)=0$，在 $x=2$ 处取极小值 $q(2)=-4$。注意前一段叙述里"$x=0$ 是驻点"与"$x=0$ 是极大值点"是两句话：这里之所以能下结论，是因为 $q'$ 在 $0$ 两侧确实变了号。而在 $y=x^{3}$ 中，$x=0$ 同样是驻点，但 $f'=3x^{2}$ 在两侧都是正的，不变号，于是它不是极值点——这正是"驻点不一定是极值点"的最小反例。

📈 动态演示：驻点 ≠ 极值点

下图画出 $y=x^{n}$ 与它的导函数。拖动滑块改变次数 $n$，观察 $x=0$ 处那条水平切线——它始终存在，但是否为极值点，完全取决于左右两侧的升降。

9.4 曲线的凹凸性与拐点 · 用 $f''$ 的符号定弯向

单调性告诉你曲线"往哪走"，凹凸性告诉你曲线"往哪鼓"。前者用 $f'$ 的符号，后者用 $f''$ 的符号——二阶导数是"斜率的变化率"。

✏️ 定义与判定

设 $f$ 在区间 $I$ 上连续。若曲线 $y=f(x)$ 位于其任意两点连线（弦）的下方，则称曲线在 $I$ 上是凹的（也称下凸、开口向上）；若位于弦的上方，则称曲线是凸的（也称上凸、开口向下）。

怎么理解这个符号？$f''\gt0$ 意味着$f'$ 本身在递增，也就是斜率越来越大：曲线越向右越"抬头"，于是呈现开口向上的碗形。$f''\lt0$ 则斜率越来越小，曲线越向右越"低头"，呈开口向下的拱形。

🔢 例 6：一个标准的三次函数

求 $q(x)=x^{3}-3x^{2}$ 的凹凸区间与拐点。已知 $q'(x)=3x^{2}-6x$，再求一次导：

令 $q''(x)=0$ 得 $x=1$，它是唯一的可疑点，把数轴分成两段：

$q''$ 在 $x=1$ 两侧改变了符号，所以凹凸确实发生了变化，$(1,q(1))=(1,-2)$ 是拐点。凹凸区间为：在 $(-\infty,1)$ 上凸，在 $(1,+\infty)$ 上凹。

🔢 例 7：一个更完整的例子——$g(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}$

已知 $g''(x)=\dfrac{2x\,(x^{2}-3)}{(1+x^{2})^{3}}$，分母恒为正，故只需看分子 $2x(x^{2}-3)=2x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$。它有三个零点：

三个零点把数轴切成四段，逐段判号（取 $x=-2,-1,1,2$ 作测试点）：

三个可疑点两侧符号都变了，所以都是拐点，坐标依次为：

其中 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\approx0.433$。请注意这道题里两套零点的分工：$g'$ 的零点是 $\pm1$（管极值），$g''$ 的零点是 $0$ 与 $\pm\sqrt{3}$（管凹凸拐点）。两组数完全没有重叠，正好用来说明"极值点"和"拐点"不是一回事。

🔢 例 8：$f''(x_0)=0$ 却不是拐点的反例

考虑 $p(x)=x^{4}$。$p''(x)=12x^{2}$，于是 $p''(0)=0$，$x=0$ 是一个可疑点。可是 $12x^{2}$ 在 $x=0$ 两侧都是正的（除 $0$ 点本身外恒大于零），符号并未改变，所以凹凸没有变化——

作为对照，$y=x^{3}$ 在 $x=0$ 处 $f''(0)=0$，而 $f''(x)=6x$ 在两侧一负一正，符号改变，所以 $(0,0)$ 是拐点（但它不是极值点）。同样是三次、四次幂，同样在原点有二阶导为零，拐点结论却相反——判别的唯一依据是"符号有没有变"。

📈 动态演示：凹凸与 $f''$ 的符号

下图把 $q(x)=x^{3}-3x^{2}$ 与它的二阶导 $q''(x)$ 画在一起，并用底色标出凹凸区间。拖动滑块改变下半段的显示长度，看拐点两侧的"鼓向"是怎么翻过来的。

9.5 最大值与最小值 · 闭区间比较与实际最优化

极值是局部的，最值是全局的。要求全局冠军，必须把所有"候选"都拿到一起比——驻点、不可导点、以及两个端点。

🧭 闭区间上求最值的三步

🔢 例 9：闭区间上的最值（端点胜出）

求 $f(x)=x^{3}-3x$ 在 $[-2,3]$ 上的最大值与最小值。

先找内部候选点：$f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$，在 $(-2,3)$ 内得驻点 $x=-1$ 与 $x=1$；$f'$ 处处存在，没有别的可疑点。把四个值算出来：

比较得：最大值为 $f(3)=18$，最小值为 $f(-2)=f(1)=-2$。请注意三点：第一，最大值出现在端点 $x=3$，而不是驻点；第二，最小值同时出现在端点 $x=-2$ 与驻点 $x=1$ 两处；第三，极大值 $2$ 并不是最大值，极小值 $-2$ 恰好是最小值——极值与最值同名但不是一回事。

💊 例 10：临床应用——血药浓度何时最高、最高多少

口服药物后，血药浓度常先升后降。设某药在简化模型下的浓度为

其中 $t$ 是时间（小时），$A$、$k$ 是正参数。求达峰时间与峰浓度。用乘积法则求导：

因为 $A\mathrm{e}^{-kt}$ 恒为正，$C'(t)$ 的符号完全由 $(1-kt)$ 决定，于是唯一驻点与符号表为：

于是达峰时间为 $t^{*}=\dfrac1k$，峰浓度为

用第二充分条件核对：$C''\left(\dfrac1k\right)=-\dfrac{Ak}{\mathrm{e}}\lt0$，确为极大值。数值代入：取 $A=10$（单位略）、$k=0.2/\text{h}$，则 $t^{*}=5\text{ h}$，$C_{\max}=\dfrac{10}{0.2\mathrm{e}}=\dfrac{50}{\mathrm{e}}\approx18.39$。

🥤 例 11：最优化——无盖圆柱量杯怎么最省材料

现在做本课的第二类应用题：带约束的最优化。关键动作只有一个——把约束条件代进去，把目标函数化成一元函数。

设无盖圆柱量杯的底面半径为 $r$、高为 $h$，容积 $V=\pi r^{2}h=8\pi$（单位：立方厘米）。用料（单层）就是表面积，底面一个圆加上侧面一个矩形：

由约束解出 $h=\dfrac{8}{r^{2}}$（注意 $8\pi\div(\pi r^{2})=8/r^{2}$，不是 $8\pi/r^{2}$），代进去把 $S$ 化成 $r$ 的一元函数：

这就是本课要最小化的目标函数，定义域为 $r\gt0$。求导：

令 $S'(r)=0$，得唯一驻点 $r=2$。再用第二充分条件确认它是最小值点：

所以 $r=2$ 是极小值点。因为 $S(r)$ 在 $r\gt0$ 上只有一个极值点，且当 $r\to0^{+}$ 或 $r\to+\infty$ 时 $S\to+\infty$，这个极小值也就是全局最小值：

数值比较印证了结论：$S(1)\approx53.41$、$S(2)\approx37.70$、$S(3)\approx45.03$、$S(4)\approx62.83$，$r=2$ 处的用料确实最少。此时 $h=2$，即当高与底面半径相等时最省材料（底面直径为 $4$，与高之比为 $2:1$）。

📈 动态演示：闭区间最值随端点变化

下图画出 $F(x)=x^{3}-3x$，并用滑块控制区间的右端点 $b$（左端固定为 $-2$）。图上标出该区间内的全部候选点，标题栏给出当前最大值与最小值。请特别观察：当 $b$ 从 $2$ 慢慢增大到 $3$ 时，最大值是被哪个点拿走的。

9.6 医学中的最优化 · 数学与 AI

导数在医学里最"值钱"的用法有两种：一是求最优（最省、最快、最安全），二是找转折（峰值、拐点、最优工作点）。两者的工具都是本课的判据。

💊 医学：三类常见的最优化问题

凡是要在"多与少之间取一个刚刚好"的问题，都可以写成"目标函数 + 约束条件"的形式，再用导数求解。

🤖 数学与 AI：训练算法在做什么样的"最优化"

深度学习训练本质上是一个极值问题：找到一组参数，让损失函数最小。而"找极值"这件事的数学骨架，正是本课这套判据的高维推广。

9.7 拓展资源 · 自主加练

本课配有一条知识短片（约 10 分钟，中文解说 + 同步字幕，覆盖全课主线），另有可交互演示与公开课检索入口，方便你按自己的节奏复习。

🎬 本课知识短片

📖 短片内容：$f'$ 的符号与单调性 → 求单调区间的四步流程 → 极值的必要条件与"驻点不一定是极值点" → 第一充分条件与第二充分条件 → 不可导点也可能是极值点 → $f''$ 的符号与凹凸性 → 拐点判定（$y=x^{4}$ 反例） → 闭区间最值的端点比较 → 血药浓度峰值与最省材料 → 医学与 AI 中的最优化。本片为中文解说版（配音 + 同步字幕，无背景音乐，画面与配音均由程序生成），内容依据《医科高等数学》第四版。

🧪 页内交互演示（直接拖动滑块）

📚 公开课与教材配套资源

9.8 随堂练习 · 答对撒花庆祝 🎉

9.9 数学思维导图 · 本课小结

🧠 导数应用知识思维导图

✅ 本课小结